§18. Zmienna losowa i jej parametry



Pobieranie 21.17 Kb.
Data03.05.2016
Rozmiar21.17 Kb.
§18. Zmienna losowa i jej parametry.

Niech oznacza przestrzeń prawdopodobieństwa (Ω – zbiór zdarzeń elementarnych, F – sigma - ciało zbiorów mierzalnych, P – funkcja prawdopodobieństwa).



Def. 1. Zmienną losową o wartościach w R nazywamy odwzorowanie X: o własności

gdzie X-1(A) – przeciwobraz zbioru A.



Def. 2. Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nazywamy funkcję PX określoną na borelowskich podzbiorach zbioru R, PX : B(R) → R zdefiniowaną wzorem



Def. 3. Mówimy, że zmienna losowa ma rozkład dyskretny, jeśli istnieje taki przeliczalny zbiór A zawarty w R, że PX (A) = 1.

(zmienna losowa ma wtedy co najwyżej przeliczalny zbiór wartości)

Def. 4. Wektorem losowym o wartościach w Rn nazywamy odwzorowanie X: takie że

Jeżeli zbiór zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem skończonym to za F można przyjąć rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru Ω. Wtedy każda funkcja rzeczywista określona na Ω jest funkcją losową oraz ma rozkład dyskretny. W dalszej części paragrafu będziemy zakładać taką właśnie sytuację.


Wartość oczekiwana zmiennej losowej


Def. 5. Niech Ω będzie zbiorem skończonym. Wartością oczekiwana zmiennej losowej X: przyjmującej n wartości nazywamy liczbę

(44)



Własności:

(i) E (X) = X dla X przyjmującej tylko jedną wartość

(ii) E (aX) = a E(X), dla dowolnej liczby rzeczywistej a

(iii) E(X +Y) = E(X) + E(Y), dla dowolnych zmiennych losowych X, Y

(iv) E(X + a) = E(X) + a, dla dowolnej liczby rzeczywistej a

Wniosek 1.


(45) E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y), gdzie a, b – dowolne liczby rzeczywiste

E(X-E(X)) = 0


Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym

Def. 6. Niech – jak poprzednio - Ω będzie zbiorem skończonym. Wariancją zmiennej losowej X: przyjmującej n wartości nazywamy liczbę

(46)

Wariancję oznacza się również symbolem Var X.

Stwierdzenie 1. Wariancja zmiennej losowej X może być obliczona ze wzoru

(47) Var X = E(X2) – (E(X))2



Dowód. E[(X-E(X))2] = E(X2 – 2XE(X) + (E(X))2) = E(X2) –2 E(XE(X)) + E(E(X))2 =

= E(X2) – 2 (E(X))2 + (E(X))2 = E(X2) – (E(X))2.

Własności wariancji


(i) Var X > 0

(ii) jeżeli X przyjmuje tylko jedną wartość, to Var X = 0

(iii) Var (aX) = a2 VarX (dla dowolnej liczby rzeczywistej a )

(iv) Var (a +X) = VarX



Def.7. Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy wartość pierwiastka kwadratowego z jej wariancji

(48)


Niezależność zmiennych losowych


Def. 8. Zmienne X, Y o rozkładzie dyskretnym, przyjmujące odpowiednio n i m wartości, nazywamy niezależnymi zmiennymi losowymi, gdy spełniony jest warunek

(49)



Uwaga 1. Analogicznie można zdefiniować niezależność l różnych zmiennych losowych; prawdopodobieństwo dowolnej koniunkcji zdarzeń dotyczącej wielu zmiennych jest równe iloczynowi prawdopodobieństw związanych z poszczególnymi zmiennymi.

Twierdzenie 2. Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

  1. E(XY) = E(X) E(Y)

Dowód.



Uwaga 2. Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe przy dowolnej ilości niezależnych zmiennych losowych.

Twierdzenie 3. Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

(51) Var (X + Y) = Var X + Var Y



Uwaga 3. Wariancja sumy większej liczby niezależnych zmiennych losowych jest także równa sumie wariancji tych zmiennych.

Kowariancja i współczynnik korelacji zmiennych losowych


Def. 9. Kowariancją zmiennych losowych X, Y nazywamy liczbę

(52)



Uwaga 4. Kowariancję zmiennych losowych X, Y można przedstawić w postaci

(53)

lub inaczej .

Rzeczywiście:

E[(X-EX)(Y-EY)] = E(XY - X EY – Y EX + EX EY) = E(XY) – E(XEY) – E(YEX) + E(EX EY) = E(XY) – EY EX – EX EY + EX EY = E(XY) – EY EX.

Def. 10. Jeśli Cov (X,Y) = 0, to zmienne X,Y nazywamy nieskorelowanymi, w przeciwnym wypadku mówimy, że zmienne są skorelowane.

Twierdzenie 4. Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to są nieskorelowane.

Dowód wynika z twierdzenia 2 oraz wzoru (50).


Własności kowariancji (a dowolna liczba rzeczywista):

(i) Cov(X,Y) = Cov(Y, X)



(ii) Cov(X,X) = Var X

(iii) Cov(aX,Y) = a Cov(X,Y)

  1. Cov(a+X,Y) = Cov(X,Y)

  2. Cov(X + Y,Z) = Cov(X,Z) + Cov(Y,Z)

Wniosek 2.

(54) Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)


Można wykazać że zachodzi nierówność

(55) ,

przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy P( X = aY + b ) = 1, dla pewnych rzeczywistych a,b.

Szczególny przypadek. Jeżeli każda ze zmiennych losowych X,Y przyjmuje n wartości oraz

(56)


Współczynnik korelacji


Współczynnikiem korelacji zmiennych losowych X, Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczbę

(57)

Z nierówności (57) wynika następująca nierówność dla tego współczynnika

(58)

Będziemy zamiennie używać symbolu Cor (X,Y)

Własności ( zakładamy, że zmienne losowe X, Y mają dodatnie odchylenia standardowe)

(i) Cor (X,X) = 1,


  1. Cor (X,Y) = Cor (Y,X)

  2. Cor (aX,X) = 1, gdy a > 0 ; Cor (aX,X) = -1, gdy a < 0

  3. Cor (aX,Y) = Cor (X,Y), gdy a > 0 ; Cor (aX,Y) = - Cor (X,Y), gdy a < 0

  4. Cor (a + X,Y) = Cor (X,Y),

  5. Cor (aX,aY) = Cor (X,Y), gdy a różne od zera

Wariancja sumy zmiennych losowych


Twierdzenie 5. Jeżeli X i Y są dyskretnymi zmiennymi losowymi, to

(59) Var (X + Y) = Var X + Var Y+ 2Cov (X,Y)



Dowód. Zgodnie ze wzorem (49) Var (X + Y) = E(X + Y)2 – (E(X + Y))2 = E(X2 + 2XY + Y2) + – (E(X) + E(Y))2 = E(X2) + E(2XY) + E(Y2) – (E(X))2 – (E(Y))2 - 2E(X)E(Y) = E(X2) +

+ 2E(XY) + E(Y2) – (E(X))2 – (E(Y))2 - 2E(X)E(Y) = (E(X2) – (E(X))2 ) + (E(Y2) – (E(Y))2 )+ +2E(XY)- 2E(X)E(Y) = Var X + Var Y+ 2Cov (X,Y)



Wniosek 3. Dla kombinacji liniowej dwóch zmiennych losowych prawdziwy jest wzór

  1. Var (aX + bY) = a2 Var X + b2 Var Y+ 2ab Cov (X,Y)

(wynika z tw. 5 oraz własności wariancji i kowariancji)

Wniosek 4. Dla sumy trzech zmiennych losowych mamy

(61) Var (X +Y+Z) = Var X + Var Y+ VarZ + 2 Cov (X,Y) + 2 Cov (X,Z) + 2 Cov (Y,Z)

(wynika z tw. 5 oraz własności (v) dla kowariancji).



Wniosek 5. Dla kombinacji liniowej trzech zmiennych losowych mamy

(62) Var (aX + bY + cZ) = a2 Var X + b2 Var Y + c2 VarZ + 2abCov (X,Y) + 2ac Cov (X,Z) + + 2bc Cov (Y,Z)

(wynika z wniosku 4 oraz odpowiednich własności wariancji i kowariancji).


©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna