2. rachunek macierzowy



Pobieranie 102.8 Kb.
Data03.05.2016
Rozmiar102.8 Kb.

2. RACHUNEK MACIERZOWY




Macierzą prostokątną o wymiarze m n, m, nN, nazywamy tablicę, w której znajduje się mn liczb, ustawionych w m wierszach i n kolumnach w sposób przedstawiony niżej:



Macierz o wymiarze m n (czytaj: „em na en”) zapisujemy także:

[aik] m n , [aik] , Am n lub A



Przykład

Wyznaczyć macierz o elementach aij = ij.
Rozwiązanie

Poszukiwana macierz ma dwa wiersze i trzy kolumny. Mamy kolejno

a11 = 1  1 = 0, a12 = 1  2 =  1, a13 = 1  3 =  2,

a21 = 2  1 = 1, a22 = 2  2 = 0, a23 = 2  3 =  1,

zatem


. 

2.1. SZCZEGÓLNE TYPY MACIERZY


Macierz zerowa, to taka macierz, której elementami są same zera. Na przykład

, .

Macierz jest kwadratowa, gdy ma tyle samo wierszy ile kolumn. Na przykład



, , .

Elementy aii macierzy kwadratowej A tworzą tak zwaną przekątną główną.

Kwadratowa macierz, która poza przekątną główną posiada same zera nazywa się macierzą diagonalną. Na przykład

, , .

Macierz jednostkowa, to taka macierz diagonalna, która na przekątnej głównej posiada same jedynki. Na przykład



, , .

Macierz, która ma tylko jeden wiersz, nazywamy macierzą wierszową lub wektorem wierszowym.


Przykład
Macierz ma wymiar 13, gdyż ma 1 wiersz i 3 kolumny.


Macierz, która ma tylko jedną kolumnę, nazywamy macierzą kolumnową lub wektorem kolumnowym.


Przykład
Macierz ma wymiar 31, gdyż ma 3 wiersze i 1 kolumnę.


Dwie macierze, A i B, są macierzami równymi, co zapisujemy A = B, jeżeli mają ten sam wymiar m n i jeżeli aik = bik dla (i, k) ∈ {1,2, . . . ,m}  {1,2, . . . ,n}.



2.2. DZIAŁANIA NA MACIERZACH






Transpozycją macierzy A, oznaczaną AT, nazywamy odwzorowanie, w wyniku którego macierz Amxn zostaje przekształcona w macierz Bnxm = AT, której elementy spełniają równość bij = aji dla (i, j) ∈{1,2, . . . ,m} {1,2, . . . ,n}.



Przykład: Obliczyć .

Rozwiązanie

. 

Własności transpozycji:
(AT = B)  (A = BT)

(AT)T = A


Mnożenie macierzy przez liczbę polega na pomnożeniu każdego elementu macierzy przez tę liczbę, czyli c[aij] = [caij].
Przykład

Obliczyć .


Rozwiązanie

. 

Dodawanie dwóch macierzy określone jest tylko dla macierzy tego samego wymiaru. Polega ono na dodaniu odpowiadających sobie elementów, czyli

[aij]mxn + [bij]mxn = [aij + bij]mxn

Własności dodawania macierzy

1) A + B = B + A – przemienność,

2) (A + B )+ C = A + (B + C) – łączność,

3) elementem neutralnym dodawania macierzy jest macierz zerowa odpowiedniego wymiaru.


Przykład

Obliczyć


a) , b) ,

c) .


Rozwiązanie

a) działanie jest niewykonalne, gdyż macierze mają różne wymiary.

b) .
c) . 

Niech A będzie macierzą wierszową 1  n o elementach aik, zaś B – macierzą kolumnową n  1 o elementach bik. Iloczynem tych macierzy A i B, oznaczanym AB, jest liczba rzeczywista wyliczana w następujący sposób:



= a11b11 + a12 b12 + . . . + a1n b1n




Iloczyn macierzy AB jest określony tylko wtedy, gdy macierz A ma tyle kolumn ile macierz B ma wierszy.

Niech A będzie macierzą mp, a B – macierzą pn. Iloczyn macierzy A i B, oznaczany AB, jest macierzą C o wymiarze mn, której ij-ty element cij jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B:



A B C

=

i-ty wiersz j-ta kolumna element ij-ty

Zapisując pokazane działanie w języku algebry powiemy, że iloczyn C = AB jest określony wzorem



gdzie i = 1,2, . . . ,m oraz j = 1,2, . . . ,n.







Własności mnożenia macierzy:

1. A (BC) = (AB) C (łączność mnożenia)

2. A (B+C) = AB +AC (rozdzielność mnożenia lewo-                                   -stronnego względem dodawania)

3. (A+B) C = AC +BC (rozdzielność mnożenia prawo-                                       -stronnego względem dodawania)

4. AmnIn = ImAmn = Amn (istnienie lewo- i prawo-                       -stronnego elementu neutralnego mnożenia).

Macierz In jest macierzą kwadratową nn, nazywaną macierzą jednostkową. Ma ona postać:


In =





Mnożenie macierzy nie jest działaniem przemiennym!

Przykład

Obliczyć :




Obliczyć a) ,

b) .


Rozwiązanie

a) Działanie jest niewykonalne, gdyż pierwsza macierz ma trzy kolumny a druga dwa wiersze.

b) . 

Symbolem, wygodnym do zwartego zapisywania macierzy diagonalnych, skalarnych, a także jednostkowych, jest delta Kroneckera.




Deltę Kroneckera definiujemy następująco:
1 gdy i = j

            ij =       , i, j = 1,2, . . . ,n.



0 gdy i j

2.3. WYZNACZNIK MACIERZY


Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy liczbę oznaczaną det A lub , która jest określona następująco:

gdzie oznacza macierz otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Wyznacznik macierzy kwadratowej A zapisuje się przy pomocy symboli podobnych do zapisu macierzy. Oto zestawienie dwóch najczęściej spotykanych sposobów zapisu obu tych wielkości matematycznych:
Macierze kwadratowe: Wyznaczniki:

A = [aik] A = det [aik] = det A

Reguły obliczania wyznaczników stopnia drugiego i trzeciego:






Reguła Sarrusa (pokazać na wykładzie) - sposób obliczania nią wyznacznika nie przenosi się na wyznaczniki wyższych stopni.
Prawdziwe są wzory (tw. Laplace’a):

i = 1, 2, ..., n

j = 1, 2, ..., n

których prawe strony nazywamy odpowiednio rozwinięciem wyznacznika według i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.




Przykłady

1. Obliczyć wyznacznik


Rozwiązanie

Korzystając z własności, wyłączamy przed wyznacznik: czynnik 10 z pierwszego wiersza i czynnik 50 z drugiego, a następnie czynnik 5 z drugiej kolumny:




2. Rozwiązać równanie


Rozwiązanie

Rozwijamy wyznacznik metodą np. Sarrusa. Otrzymujemy równanie



Dzieląc stronami przez 2 i wprowadzając pomocniczą niewiadomą , dostajemy



,

skąd łatwo wyliczyć, że lub . Wracając do niewiadomej x otrzymujemy



lub

Pierwsze z powyższych równań nie posiada pierwiastków, zaś rozwiązaniem drugiego jest . 


Własności wyznaczników

  1. Wyznacznik macierzy kwadratowej jest równy wyznacznikowi macierzy względem niej transponowanej.

  2. Jeżeli wszystkie elementy wiersza (kolumny) wyznacznika pomnożymy przez liczbę, to wartość wyznacznika zostanie pomnożona przez tę liczbę.

  3. Jeżeli wiersz (kolumna) wyznacznika jest kombinacją liniową innych wierszy (kolumn), to wyznacznik jest równy zeru.

  4. Jeżeli do wiersza (kolumny) wyznacznika dodamy kombinację liniową innych wierszy (kolumn), to wartość wyznacznika nie zmieni się.

3. Obliczyć wyznacznik






Rozwiązanie

Korzystając z własności wyznaczników, odejmiemy od pierwszego wiersza podwojony wiersz trzeci, by otrzymać trzy zera w trzeciej kolumnie a następnie rozwiniemy wyznacznik względem trzeciej kolumny:



Rozwijamy otrzymany wyznacznik (stopnia trzeciego) względem drugiej kolumny



Ostatecznie


Usuwając z macierzy danego wyznacznika pewną liczbę wierszy i taką samą liczbę kolumn, zachowując przy tym kolejność pozostałych wierszy i kolumn, otrzymuje się macierz kwadratową niższego stopnia. Wyznacznik tak otrzymanej macierzy nazywany jest podwyznacznikiem wyznacznika macierzy wyjściowej.




Minorem wyznacznika, przynależnym do elementu aik macierzy tego wyznacznika, nazywamy ten podwyznacznik, który otrzymamy usuwając z macierzy rozważanego wyznacznika wiersz i kolumnę, na przecięciu których znajduje się element aik. Minor ten oznaczamy symbolem Mik.

Wartość wyznacznika dzieli macierze kwadratowe na macierze osobliwe (ich wyznacznik jest równy zeru) i nieosobliwe (wyznacznik różny od zera).

W wielu przypadkach macierzy prostokątnych postępuje się w ten sposób, że przez skreślenie niektórych wierszy lub kolumn tworzy się (mówimy: wyjmuje się) z nich macierze kwadratowe. Nazywa się je podmacierzami danej macierzy. Wyznaczniki tych podmacierzy nazywa się minorami danej macierzy.



Rzędem macierzy A o wymiarze mn nazywamy:

1) liczbę R(A) równą najwyższemu ze stopni jej różnych od zera minorów, gdy macierz jest niezerowa;

2) liczbę zero, gdy macierz jest zerowa (gdy wszystkie jej elementy są równe zeru).

Rząd macierzy A spełnia następującą nierówność:


oR (A)  min (m, n)




2.4. MACIERZ ODWROTNA


Macierzą odwrotną macierzy nieosobliwej A nazywamy macierz taką, że , gdzie I oznacza macierz jednostkową odpowiedniego wymiaru.

Jeżeli macierz jest nieosobliwa, to



,

gdzie nazywamy macierzą dołączoną, zaś podwyznaczniki nazywamy dopełnieniami algebraicznymi elementów aij .


Przykład:
Znaleźć
Rozwiązanie

a)

, ,

, ,

, ,



Zadania


2.1. Napisać w postaci jawnej macierz o wymiarach , której elementami są liczby aij

  1. m = 2, n = 2 aij = i + j,

  2. m = 3, n = 2 aij = 2i  3j,

  3. m = 3, n = 4 .

2.2. Dane są macierze: , , .

Określić wymiar każdej macierzy a następnie obliczyć jeśli to możliwe:

a) transpozycję każdej macierzy, b) 2A , c) –4C, d) A + B, e) BTC, f) 2B  4CT.

2.3. Kiedy AT = A ?

2.4. Macierz C przedstawia ceny trzech rodzajów paliw od dwóch dostawców



  1. wyznaczyć o ile zdrożeje każdy rodzaj paliwa po podwyżce cen o 5%,

  2. wyznaczyć ceny paliw po podwyżce o 10%,

  3. wiadomo, że podatek akcyzowy stanowi 45% ceny paliwa; wyznaczyć cenę paliw po podwyżce podatku akcyzowego o 2%.

2.5. Macierze S oraz L przedstawiają ilości sprzedanych trzech produktów w dwóch sklepach należących do jednego właściciela odpowiednio w styczniu i w lutym

,

  1. jaka była łączna sprzedaż w styczniu oraz lutym w poszczególnych sklepach tych produktów ?

  2. obliczyć i zinterpretować LS.

2.6. Elementy eij macierzy E przedstawiają wartości eksportu i-tego kraju do kraju j-tego

.

  1. wyznaczyć bilans handlowy każdego z krajów,

  2. wyznaczyć macierz opisującą import tych krajów.

2.7. Określić, w którym przypadku mnożenie macierzy jest wykonalne

a) A3x4B3x4 , b) A2x3B3x5 , c) A3x8B8x3.

2.8. Co można powiedzieć o wymiarze macierzy A, jeśli wiadomo., że wykonalny jest iloczyn AA?

2.9. Dane są macierze , , , . Obliczyć a) AB , b) BA, c) AC d) BC , e) CTBT , f) BD g) CTD , h) (B+CT)D , i) A2I , gdzie I-macierz jednostkowa.

2.10. Dana jest macierz . Obliczyć


  1. XTX

  2. XI oraz IX, gdzie I  macierz jednostkowa odpowiedniego wymiaru.

2.11. Rozwiązać równanie macierzowe (o ile rozwiązanie istnieje)

  1. ,

  2. ,

  3. ,

  4. .

2.12. Rozwiązać układ równań macierzowych (o ile rozwiązanie istnieje)

  1. ,b).

2.13. Macierz W przedstawia ilości zakupionych jabłek, pomarańczy i bananów . Macierz C przedstawia ceny tych owoców . Wykorzystując działania na macierzach wyznaczyć wielkość poniesionych wydatków.

2.14. Macierze L oraz S przedstawiają ilości sprzedanych samochodów marki Opel przez dwóch dealerów w lipcu oraz sierpniu



, .

Macierz C przedstawia ceny tych samochodów (w cenach stałych DM)



.

Obliczyć oraz zinterpretować

a) L+S , b) SL , c) LCT

d) SCT , e) (S+L)CT.

2.15. Właściciel dwóch sklepów warzywniczych zaopatruje się w pomarańcze u czterech dostawców. Odsetek pomarańczy od tych dostawców w sklepach przedstawia macierz

.

Macierze W oraz P przedstawiają ilości sprzedanych pomarańczy w tych sklepach odpowiednio we wrześniu oraz październiku (w kg) , . Wyznaczyć ilości sprzedanych pomarańczy przez poszczególnych dostawców w danych miesiącach.

2.16. Obliczyć następujące wyznaczniki stopnia drugiego:

a) b) c) d)e)f)

2.17. Metodą Sarrusa rozwinąć wyznaczniki:

a) b) c) d)

2.18. Rozwiązać równania:

a) b) c)

2.19. Rozwiązać nierówności:

a) b) c)

2.20. Nie rozwijając wyznaczników wykazać, że dla dowolnych wartości a, b, c i d zachodzą równości:

a) b)


2.21. Napisać rozwinięcie Laplace’a podanego wyznacznika względem wskazanego wiersza lub kolumny:

a) ; wzgl. 3-go wiersza b) ; wzgl. 1-szej kolumny

2.22. Obliczyć następujące wyznaczniki

a) b) c)

d) e) f)

2.23. Wykazać, że wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów głównej przekątnej, tzn., że jeśli dla i > j (ewentualnie dla i < j), to .

2.24. Napisać wyznacznik stopnia czwartego, którego wartość jest równa zeru i w którym żadne dwa wiersze ani żadne dwie kolumny nie są proporcjonalne.

2.25. Napisać wyznacznik stopnia trzeciego , którego wartość wynosi a) 18 b) 50 c) 1200 d) 0 i taki, że .

2.26. Wyznaczyć wartość parametru t, dla której następująca macierz jest osobliwa:

a) b) c) d)

2.27. Znaleźć macierze odwrotne do danych:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

2.28. Wyznaczyć macierz X z równania

a) b) c)

d) e)



f)


2.




©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna