3. rachunek macierzowy układy równań liniowych



Pobieranie 58.31 Kb.
Data03.05.2016
Rozmiar58.31 Kb.

3. RACHUNEK MACIERZOWY

3.1. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH


Układ m równań liniowych z n niewiadomymi zapisujemy w postaci

Z układem (1) związane są macierze


, , ,


które nazywamy: Amacierzą współczynników, X kolumną niewiadomych, B  kolumną wyrazów wolnych. Wykorzystując powyższe oznaczenia układ (1) możemy zapisać w postaci macierzowej

AX=B.

Jeżeli kolumna B jest macierzą zerową, to układ nazywamy układem jednorodnym, w przeciwnym wypadku nazywamy go układem niejednorodnym.



3.2. Wzory Cramera

Układem Cramera nazywamy układ n równań liniowych z n niewiadomymi w którym macierz A jest nieosobliwa. Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami



gdzie W = det A , natomiast Wk oznacza wyznacznik powstały z wyznacznika macierzy A poprzez zastąpienie w macierzy A k tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Przykład

Określić dla jakich wartości parametru p układ jest układem Cramera i znaleźć rozwiązanie przy przyjętych założeniach



.

Rozwiązanie

Wyznacznik macierz układu jest równy




Dany układ jest układem Cramera gdy , więc .

Mamy


, ,

.

Zatem dla i otrzymujemy



, , . 

3.2. Macierzowa metoda rozwiązywania układów Cramera


W celu rozwiązania układu Cramera metodą macierzową postępujemy według schematu:

1. Układ Cramera zapisujemy w postaci macierzowej

AX = B , det A  0

2. Mnożymy lewostronnie równanie przez A1

A1AX = A1B

Wykorzystując zależność A1A = I otrzymujemy równanie macierzowe



X = A1B

Przykład

Rozwiązać układ równań metodą macierzową

.
Rozwiązanie:

W rozważanym przykładzie

, czyli układ jest układem Cramera

Wyznaczamy macierz odwrotną do macierzy A



Zatem


. 

3.3. Twierdzenie KroneckeraCapellego


Dla układu równań określamy macierz rozszerzoną (uzupełnioną) U dopisując do macierzy współczynników A kolumnę wyrazów wolnych

.

Układ ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy



R(A) = R(U) = r ,

przy czym, gdy n = r , to układ na dokładnie jedno rozwiązanie, gdy r < n , to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n r parametrów.



Przykład

Zbadać rozwiązalność poniższych układów równań i znaleźć ich rozwiązania (o ile istnieją)

a) , b).


Rozwiązanie

a) Tutaj macierz współczynników oraz macierz rozszerzona są następujące

, .

Ponieważ det A = 0 szukamy niezerowego minora stopnia drugiego. Jest nim np. , co oznacza, że rząd macierzy współczynników jest równy 2. Natomiast rząd macierzy rozszerzonej jest równy 3, bowiem . Stąd R(A)  R(U), więc układ ten jest sprzeczny.

b) Układ jest jednorodny. Macierz współczynników oraz macierz rozszerzona są następujące

, .

Wyznaczamy rząd macierzy rozszerzonej.

Wybierając np. minor mamy, że R(A) = R(U) = 2, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów. Wyjściowy układ jest równoważny układowi złożonemu z dwóch pierwszych równań, który rozwiązujemy, biorąc pod uwagę wyliczony minor, ze względu na x3 i x4. Po dodaniu stronami równań otrzymujemy równanie , z którego wyznaczamy x3, tzn. . Po podstawieniu do drugiego równania wyrażenia wyznaczamy x4. Ostateczne rozwiązanie układu jest następujące:, , . 

3.4. Metoda operacji elementarnych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą operacji elementarnych polega na przekształceniu macierzy rozszerzonej U do postaci kanonicznej



gdzie Ik jest macierzą jednostkową stopnia k, Dk(n+1 k) dowolną macierzą o wymiarze k(n+1 k), a 0 oznacza macierz zerową o odpowiednim wymiarze.

Przekształcenie macierzy rozszerzonej do postaci kanonicznej dokonuje się w oparciu o następujące operacje elementarne na wierszach macierzy U:



  1. przestawienie dwóch dowolnych wierszy ,

  2. pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera ,

  3. dodanie do dowolnego wiersza liniowej kombinacji pozostałych wierszy .

Uwaga 1.

Przy wykonywaniu operacji elementarnych można zmienić kolejność dwóch kolumn z jednoczesnym przemianowaniem oznaczeń niewiadomych, pod warunkiem, że zmiana nie dotyczy ostatniej kolumny macierzy U .


Uwaga 2.

Rozwiązując układy równań liniowych metodą operacji elementarnych można przekształcić macierz rozszerzoną U do postaci podobnej do postaci kanonicznej, gdzie zamiast macierzy jednostkowej jest macierz trójkątna.



Przykład

Rozwiązać układy równań metodą operacji elementarnych
a) , b)

Rozwiązanie

a)

















Z ostatniego przekształcenia odczytujemy



Stąd mamy rozwiązanie
i z R.
b)














Z ostatniego przekształcenia odczytujemy



co oznacza, że układ jest sprzeczny. 

3.5. Zadania


3.1. Napisać równanie:

  1. prostej przechodzącej przez punkty A(1, 1) i B(1, 2),

  2. paraboli przechodzącej przez punkty A(1, 8), B(1, 0), C(2, 10),

  3. wielomianu stopnia trzeciego, którego wykres przechodzi przez punkty A(1, 0), B(2, 0), C(0,5;0), D(1, 6).

3.2. Dla jakich wartości parametru pR podane układy równań są układami Cramera:

a), b), c), d) ,

3.3. Korzystając ze wzorów Cramera rozwiązać układy równań:

a), c), d),



    1. Rozwiązać układy równań z zadania poprzedniego metodą macierzową.

3.5. Dietetyk planuje posiłek na bazie trzech składników zawierających białko, tłuszcze i pewną wartość energetyczną. Zawartość białka, tłuszczu i kaloryczności w 100 g dla składnika I jest następująca: 10g białka, 20g tłuszczu, 300 kalorii, dla składnika II: 10g białka, 20g tłuszczu, 100 kalorii, dla składnika III: 20g białka,100 kalorii. Jaki powinien być skład posiłku, gdy ma on zawierać dokładnie 100g białka, 80g tłuszczu i mieć 900 kalorii?
3.6. W gospodarstwie doświadczalnym ustalono, że karma dla zwierząt jest odpowiednia wtedy, gdy każde ze zwierząt otrzymuje w dziennej racji 18 jednostek składnika A, 13 jednostek składnika B oraz 19 jednostek składnika. C. Przy karmieniu stosuje się trzy rodzaje karmy zawierające odpowiednie ilości poszczególnych składników w 100 g: pierwsza karma zawiera 2 jednostki składnika A i po jednej jednostce składnika B oraz C, druga karma zawiera 4 jednostki składnika A, 2 jednostki B oraz jednostkę C, trzecia karma zawiera jednostkę B i 3 jednostki C. Jaka ilość każdej z karm powinna znaleźć się w dziennej racji żywnościowej, aby była ona prawidłowa?
3.7. Wykonanie pewnego pojemnika o pojemności 1 litra wymaga od pracownika trzech czynności: wycięcia, złożenia modelu i jego pomalowania. Ilość poszczególnych czynności wykonanych przez pracownika w pierwszych trzech dniach tygodnia przedstawia tabela:





Wycięcie

Złożenie

Pomalowanie

Poniedziałek

20

10

10

Wtorek

16

8

12

Środa

30

6

12

Oblicz czas wykonania poszczególnych czynności przez pracownika, jeżeli w kolejnych dniach łączny czas pracy wynosił odpowiednio: 5 godzin i 20 minut, 4 godziny i 48 minut, 5 godzin i 48 minut.

3.8. Trzech agentów handlowych sprzedaje artykuły A, B i C. Pierwszy agent sprzedał 6 jednostek artykułu A, 2 jednostki B oraz jednostkę C. Drugi agent sprzedał 3 jednostki A oraz jednostkę artykułu B. Natomiast trzeci agent sprzedał po 3 jednostki artykułu A oraz B i 2 jednostki artykułu C. Wpływy (w tys. zł) ze sprzedaży dla poszczególnych agentów są następujące: agent I - 17 , agent II - 7, agent III - 24. Wyznaczyć ceny poszczególnych artykułów.

3.9. Rozwiązać układy równań:

a), b), c),

d), e), f),

g), h), i).
3.10. Zbadać rozwiązalność podanych układów równań i znaleźć ich rozwiązanie ( o ile istnieje):

a) ,b), c),


d), e),
f), g).

3.11. Przedyskutować ilość rozwiązań układu w zależności od parametru m:

a), b),

c), d), e)




3.




©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna