5. rachunek wektorowy wektor zaczepiony I wektor swobodny



Pobieranie 99.16 Kb.
Data27.04.2016
Rozmiar99.16 Kb.
5. RACHUNEK WEKTOROWY
5.1. Wektor zaczepiony i wektor swobodny


Uporządkowaną parę punktów (A, B), wyznaczającą skierowany odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B, nazywamy wektorem zaczepionym w punkcie A i oznaczamy symbolem .

Wektory to nie te same wektory chociaż AB i BA to ten sam odcinek.



Współrzędne wektora zaczepionego definiujemy następująco:



= [(xB ; yB ; zB) – (xA ; yA ; zA)] = [xBxA ; yByA ; zBzA]

Gdy punktem początkowym wektora zaczepionego jest O (0; 0; 0), to współrzędne wektora są identyczne ze współrzędnymi punktu B.



Przykład: Wyznaczyć współrzędne wektora zaczepionego w punkcie A(2; -1; 3) o końcu w punkcie B(4; 5; -1)

Rozwiązanie:

Otrzymujemy = [4 - 2; 5 – (-1); -1 – 3] = [2; 6; -4].
Po dokonaniu odejmowań pozostają jako współrzędne wektora trzy liczby. Sytuacja, w której znamy tylko współrzędne wektora, nie opisuje zatem wektora zaczepionego.

Przykład: Dane są punkty A (0; 0; 0), B (1; 2; -1), C (1; 1; 1) i D (2; 3; 0). Obliczyć współrzędne wektorów zaczepionych .

Rozwiązanie:

= [1 – 0; 2 – 0; -1 – 0] = [1; 2; -1];

= [2 – 1; 3 – 1; 0 – 1] = [1; 2; -1].

Wektory mają więc takie same współrzędne.


Wektor swobodny jest to zbiór nieskończenie wielu wektorów zaczepionych o takich samych współrzędnych (reprezentantów danego wektora swobodnego).

W dalszych rozważaniach zarówno wektory zaczepione jak i swobodne będziemy krótko nazywać wektorami.


5.2. Współrzędne kartezjańskie wektora



Współrzędnymi kartezjańskimi prostokątnymi wektora w przyjętym układzie współrzędnych OXYZ, oznaczanymi przez ax , ay , az , nazywamy współrzędne tego wektora na kolejnych osiach układu, utworzone przez umieszczenie początku wektora w początku układu współrzędnych.

Rzutując zaczepiony w początku układu współrzędnych wektor, będący reprezentantem wektora swobodnego , na osie układu współrzędnych, otrzymujemy wzory:
ax = a cos , ay = a cos , az = a cos ,

gdzie , , są to kąty, jakie tworzy wektor z osiami OX, OY, OZ. Liczba a we wzorach (6.2) to długość wektora . Współrzędne wektora można więc zapisać w postaci



= [ax ; ay ; az] = [a cos ; a cos ; a cos ]


Przykład: Dane są kąty kierunkowe wektora o długości a =5: =/6, = /3, = /2. Obliczyć współrzędne wektora .

Rozwiązanie:

ax = a cos = 5 cos /6 = 5 cos 30 = 5 = 4,33

ay = a cos = 5 cos /3 = 5 cos 60 = 5 0,5 = 2,50

az = a cos = 5 cos /2 = 5 cos 90 = 5 0 = 0
5.3. Długość wektora. Wersory
Jeśli = [ax ; ay ; az], to długość wektora , oznaczaną lub a (bez strzałki), obliczamy ze wzoru



Długość wektora oznaczamy lub po prostu AB


Przykład: Obliczyć długość wektora o początku w punkcie

A (2; -1; 3) i końcu w punkcie B (4; 2; -1).

Rozwiązanie:

= (4 – 2)2 + (2 – (-1))2 + (-1 –3)2 = 4 + 9 + 16 = 29

Stąd

= AB = 5,385
Wektory o długości równej 1 (wektory jednostkowe), nazywamy wersorami.

Dla każdego wektora (oprócz wektora zerowego) można zbudować odpowiadający mu wersor. Jeżeli = [ax ; ay ; az] , to wektor o współrzędnych równych ma długość 1. Stąd dla kosinusów kierunkowych wektora mamy związek:



cos2 + cos2 + cos2 = 1

Dwa wektory, , są zgodnie równoległe, gdy współrzędne jednego z tych wektorów można otrzymać ze współrzędnych drugiego, mnożąc je przez liczbę dodatnią. Gdy ta liczba musi być ujemna – mamy wektory przeciwnie równoległe



Wersorem niezerowego wektora = [ax , ay , az], oznaczonym , nazywamy wektor

= [ cos , cos , cos ]

Szczególnymi wersorami są wersory osi układu współrzędnych.




.

5.4. Działania na wektorach
Wprowadzimy następujące działania na wektorach:

- dodawanie wektorów (wynik jest wektorem),

- mnożenie wektora przez liczbę(wynik jest wektorem),

- mnożenie skalarne wektorów (wynik jest skalarem, tzn. liczbą),

- mnożenie wektorowe wektorów (tylko w R3; wynik jest wektorem).

Sumą wektorów = [ax ; ay ; az] oraz = [bx ; by ; bz] jest wektor

= [ax + bx ; ay + by ; az + bz]


Przykład:

Obliczyć sumę wektorów:

= [3; -2; 5] , = [-1; 4; -7] , = [-4; -1; 2]

Rozwiązanie:

= [3 – 1 – 4; -2 + 4 –1; 5 – 7 + 2] = [-2; 1; 0]


Iloczynem różnej od zera liczby R i niezerowego wektora nazywamy wektor [ax ; ay ; az]

Jest to wektor o długości , zgodnie równoległy z wektorem , gdy > 0, a przeciwnie równoległy, gdy < 0.


Suma iloczynów wektorów i liczb nosi nazwę kombinacji liniowej wektorów i jest – oczywiście – wektorem:

,

i = 1,2, . . . ,n.

Dwa liniowo zależne wektory (dla których istnieje równa wektorowi zerowemu kombinacja liniowa o współczynnikach różnych od zera, tzn. istnieją 1 i 2 takie, że ) nazywamy współliniowymi.


Przykład:

Wektory = [4; -6; 5] i = [-2; 3; -2,5] są liniowo zależne, gdyż . Można stąd wyliczyć, że - czyli są one zgodnie równoległe. Ponieważ są to wektory swobodne, więc można wybrać reprezentanta każdego z nich, zaczepionego np. w punkcie O (0; 0; 0). Wówczas wektory te leżą „jeden na drugim”, przy czym wektor jest dwa razy dłuższy od wektora .


Iloczynem skalarnym dwóch niezerowych wektorów , oznaczanym , nazywamy liczbę, określoną następująco:

= axbx + ayby + azbz

Iloczyn skalarny niezerowego wektora przez siebie daje wynik równy kwadratowi długości tego wektora:



= axax + ayay + azaz = a2 czyli

Tabliczka mnożenia skalarnego wersorów osi:



i

j

k

i

1

0

0

j

0

1

0

k

0

0

1


Przykład:

Obliczyć iloczyn skalarny wektorów = [2; 3; -1] i = [-1; 3; 2].

Rozwiązanie:

= 2 (-1) + 3  3 + (-1)  2 = -2 + 9 – 2 = 5

Kątem niezerowych wektorów , oznaczanym , nazywamy kąt, jaki tworzy jeden z tych wektorów z osią zgodnie równoległą do drugiego z wektorów.

Wprowadzimy teraz wzór na kosinus kąta pomiędzy wektorami . Z rysunku widać, że , skąd , albo , skąd mamy



c2 = a2 - + b2

Z tw. kosinusów mamy:



c2 = a2 + b2 – 2ab cos

Stąd = 2ab cos

lub



Warunek prostopadłości niezerowych wektorów:




W przypadku wektorów w przestrzeni wektorowej n-wymiarowej, mówimy o ortogonalności: dwa niezerowe wektory są ortogonalne, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero.




Iloczynem wektorowym wektorów w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej, oznaczanym , nazywamy trzeci wektor, , mający następujące cechy:

1.

2.

3. trójka wektorów , zaczepionych w tym samym punkcie, jest ustawiona w takiej samej kolejności, jak wersory osi i, j, k (wektory tworzą – analogicznie jak wersory osi – tak zwaną prawoskrętną trójkę wektorów).

Dla wersorów osi:



j i = -k

k j = -i

i k = -j
Tabliczka mnożenia wektorowego

´

i

j

k

i




k

-j

j

-k




i

k

j

-i




Własności iloczynu wektorowego.



Własności iloczynu wektorowego:

1. (antyprzemienność)

2. (rozdzielność względem dodawania)

3. dla dowolnego ∈R

4.


Przykład

Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów = [2; 3; -1] i = [-1; 3; 2].

Rozwiązanie:

Mamy = 2i + 3j – k oraz = -i + 3j +2k

przekształcimy to wyrażenie do postaci następującej:


← współrzędne wektora

← współrzędne wektora




Stąd

Uogólniając, dla wektorów = [ax ; ay ; az] i = [bx ; by ; bz]:






PAMIĘTAJMY:




Przykład:

Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów

= [2; 3; -1] i = [-4; -6; 2].

Rozwiązanie:



Wektory  i  są równoległe.

Wzór na sin kąta między wektorami:




5.5. Rachunek wektorowy – podsumowanie
Wprowadziliśmy dwa podstawowe rodzaje wektorów: wektor zaczepiony i wektor swobodny.

Dla każdego wektora określone zostały:



długość (nazywana także modułem) – tak samo jak długość odcinka,

kierunek – od punktu początkowego do końcowego, a także

zwrot – czyli zgodna lub przeciwna równoległość w stosunku do drugiego wektora lub równoległej osi.

Położenie każdego wektora względem osi układu współrzędnych można określić przy pomocy kątów kierunkowych lub kosinusów kierunkowych.

Wektor o długości jednostkowej otrzymał nazwę „wersor”.

Wersory osi układu współrzędnych oznaczone zostały literami i, j, k. Tworzą one bazę przestrzeni wektorowej trójwymiarowej.

Wprowadzone zostały działania na wektorach:

- dodawanie wektorów (wynik jest wektorem), zapisywane: ;



- mnożenie wektora przez liczbę (wynik jest wektorem), zapisywane bez żadnego znaku między liczbą a wektorem: R ;

- mnożenie skalarne wektorów (wynik jest skalarem, tzn. liczbą), zapisywane z użyciem kropki: ;

- mnożenie wektorowe wektorów (tylko w R3 ; wynik jest wektorem), zapisywane z użyciem krzyżyka: .

Określone zostały warunki

- prostopadłości (ortogonalności) wektorów – z wykorzystaniem iloczynu skalarnego

- równoległości wektorów – z wykorzystaniem iloczynu wektorowego;

- współliniowości dwóch wektorów (znikanie ich kombinacji liniowej).

Wprowadzono wzory na kosinus kąta między wektorami ( z wykorzystaniem iloczynu skalarnego) i na sinus kąta między wektorami (z wykorzystaniem modułu iloczynu wektorowego).


5.6. Zadania


  1. Dane są punkty A = (1; 1; 3) , B = (0; -1; 4) i C = (3; -5; 0). Wyznaczyć wektory

  2. Dany jest punkt A = (1; -2; 3). Wyznaczyć punkt B, wiedząc, że a) = [3; 5; -4] , b) = [0; 2; 0] , c) = [-1; 2; -3].

  3. Dane są wektory: = [1; 3; 4] , = [-3; 0; 1] , = [1; 3; 3] oraz = [-1; -3; -2]. Wyznaczyć wektor                                 .

  4. Dwa wektory, , mają wspólny początek A ( 1, 2, 0), tę samą długość h = 2 i tworzą kąt a) Narysować te wektory oraz ich sumę i różnicę.                                                              b) Narysować kilka wektorów – reprezentantów wektora swobodnego , którego reprezentantem jest wektor .          c) Obliczyć moduł sumy i moduł różnicy wektorów

  5. Dany jest równoległobok o bokach AB, BC, CD, DA. Wyrazić wektory przez wektory .

  6. Wektory są sąsiednimi bokami sześciokąta foremnego ABCDEF. Wyrazić wektory za pomocą wektorów .

  7. Wektory o długościach u = 1, v = 2, tworzą kąt = 60. Obliczyć .

  8. Wektory mają moduły u = 4, v = 2, w = 6 i każde dwa z tych wektorów tworzą kąt równy /3. Obliczyć:            a) b) c)

  9. Dane są trzy liniowo niezależne wektory . Zbadać liniową zależność wektorów.

  10. Mając dane wersory tworzące kąt 45, utworzono wektory i zbudowano na tych wektorach równoległobok. Obliczyć długości przekątnych tego równoległoboku.

  11. Wyznacz długość wektora , jego rzuty na osie układu współrzędnych, kąty, jakie tworzy z osiami współrzędnych dla następujących danych:                                                                    a) A (-1; 0; 3) , B (-2; 5; 0)                                                             b) A (0; 3; -4) , B (4; 0; -3)                                                             c) A (1; 2; -3) , B (-2; -4; 6)

  12. Obliczyć wersory wektorów z zadania 3.

  13. Obliczyć iloczyn skalarny wektorów , wiedząc, że            a) a = , b = 3 , = /3                                                      b) a = 2 , b = 5 , = 0                                                      c) a = 2 , b = 5 , = 120                                                      d) a = 1 , b = 5 , = /2                                                      Obliczyć kąt wiedząc, że                                                      a) a = , b = 5 , = 5                                                         b) a = 2 , b = 3 , = 6                                                          c) a = 2 , b = 3 , = 0                                                         d) a = 2 , b = 3 , = -6

  14. Dane są punkty A = (0; -1; 3) , B (6; 5; -2) , C = (1; -2; 3).    Wykazać, że .

  15. Dla jakich wartości parametru m                                             a) wektory [m2 + 1; m; 1] i [10; 4; m] są równoległe?                   b) wektory [m2; -3; 0] i [m; m; m +2] są prostopadłe?

  16. Zbadać, czy dwa poniższe wektory są równoległe lub prostopadłe. W przypadku równoległości wyrazić jeden z nich przez drugi:                                                                                 a) = [1; 3; 4] , = [-3; 0; 1]                                                        b) = [1; 5; 0] , = [2; 10; 1]                                                         c) = [1; 1; 1] , = [-1; 1; 0]

  17. Dane są cztery wektory. Wyrazić jeden z nich jako kombinację liniową pozostałych:                                                                  a) = [1; 3; 4] , = [-3; 0; 1] , = [1; 3; 3] , = [-1; -3; -2]     b) = [1; 2; 1] , = [-1; 0; 1] , = [3; 0; 0] , = [0; 1; -2]      c) = [6; 0; 1] , = [1; 1; 2] , = [-1; 0; 1] , = [0; 0; 1]      d) = [3; 0; 1] , = [1; 4; -2] , = [5; 8; -3] , = [2; -4; 3]

  18. Wyznacz wektory prostopadłe do danych dwóch wektorów:      a) = [1; 3; 4] , = [-3; 0; 1]                                         b) = [1; 5; 0] , = [2; 10; 1]                                         c) = [1; 1; 1] , = [-1; 1; 0]                                         d) = [2; -3; 1] , = -4; 6; -2]

  19. Wektor tworzy z osiami OX i OY kąty /3 i /4. Obliczyć kąt, który ten wektor tworzy z osią OZ.

  20. Zbadać, czy oś o kosinusach kierunkowych 1/2, 1/2, jest prostopadła do osi o kosinusach kierunkowych 0,

  21. p ma kosinusy kierunkowe 1/3, -2/3, 2/3. Obliczyć kosinusy kierunkowe osi s, wiedząc, że .

  22. Udowodnić, że delta Kroneckera, może być zdefiniowana w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej przy wykorzystaniu iloczynu skalarnego wektorów bazy, jeżeli osie układu współrzędnych nazwiemy OX = OX1 , OY = OX2 , OZ = OX3, a wersory osi: i = e1 , j = e2 , k = e3. Rozszerzyć rozumowanie na przestrzeń n-wymiarową.





4.




©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna