5 Równania Eulera



Pobieranie 27.95 Kb.
Data02.05.2016
Rozmiar27.95 Kb.
5.6. Równania Eulera.
Moment sił działających na bryłę względem środka układu inercjalnego

XYZ jest:



Wygodniej jest prowadzić obliczenia względem układu sztywno związanego z ciałem – układu nieinercjalnego X’Y’Z’. Transformacja wektora przy przejściu z układu inercjalnego do układu obracającego się z prędkością kątową :



gdzie

Wektor jest więc rozpatrywany w układzie wirującym.



Zatem równanie wektorowe na moment siły możemy zapisać dla trzech składowych:







Gdy Mx= My= Mz= 0 , to ciało wykonuje swobodny ruch obrotowy (precesja swobodna).



Kula.

Ixx= Iyy= Izz wówczas równania Eulera są następujące:


Skoro więc to

czyli np. Ixxx= const a zatem x= const czyli ogólnie










Obręcz.

Cienka obręcz o promieniu R.



Ixx= Iyy

Izz=mR2





równania Eulera

dla osi X :

dla osi Y :

dla osi Z :

co możemy odpowiednio zapisać:







 z = const; Lz = const

podstawiając otrzymujemy: (1)

oraz (2)

różniczkując te równania po czasie dostajemy:



skoro z (1) wynika, że to ostatecznie:

Jest to równanie analogiczne do równania ruchu harmonicznego:

ma = - kx czyli gdzie

rozwiązaniem tego równania jest: x =Asin(t + )


W przypadku obręczy: rozwiązaniem jest:

oraz

Jeżeli więc to wektor jest stały w przestrzeni, natomiast składowe x i y wektora są prostopadłe do osi symetrii obręczy i wektor obraca się wokół osi Z ze stałą prędkością kątową gdzie jest tzw. częstością precesji.

5.7. Precesja – przykłady: bąk i spin elektronu.




Bąk symetryczny.

gdzie jest momentem pędu w układzie własnym związanym z bąkiem



czyli:

skoro M = mgRsin to



mgRsin = ’Lsin

stąd

oznacza to, że prędkość kątowa precesji jest stała !!



czyli

prędkość kątowa precesji:







Precesja spinu.
Elektron krążący po orbicie.

Moment pędu (orbitalnego):



czyli

L = r mV =r2m

Orbitalny moment magnetyczny elektronu o wartości:

ponieważ więc

ostatecznie:
współczynnik giromagnetyczny czyli
Jeżeli teraz przyłożymy zewnętrzne pole magnetyczne B (0, 0, Bz)

Działa wówczas moment siły:



czyli jest precesja spinu !!



stąd

a więc Mx= LyBz; My= -LxBz; Mz= 0 czyli rzut na oś Z jest zachowany.

Częstość precesji spinu = B


Lx(t) = A sint; Ly(t) = A cost; Lz = const
Rezonans spinowy  elektronowy paramagnetyczny

jądrowy ferromagnetyczny

NMR
Pole indukcji magnetycznej zmieniającej się z częstością  składowej w kierunku X i stałej w kierunku Z:

Równania ruchu obliczamy na podstawie działającego momentu siły:



skąd Mx = LyBzMx= Ly =  C cost

My = -LxBz + LzB1sint czyli My = -Lx + LzB1sint

Mz = -LyB1sint
Założenie: Lz >> Ly to kąt precesji jest mały

Bz >> Bx = B1sint
Szukamy rozwiązań Lx(t) i Ly(t)

Lx= Asint; Ly= C cost gdzie jest takie samo jak zmiennego pola w kierunku X !

Warunek rezonansu: A i C maja wartość maksymalną !





stąd :





Lz = const
gdzie = B
Rezonans spinowy zachodzi gdy

= 




Zależność składowej Lx od częstości precesji


©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna