Algebra z teorią liczb



Pobieranie 9.08 Kb.
Data05.05.2016
Rozmiar9.08 Kb.
Program nauczania przedmiotu

Algebra z teorią liczb

Studia uzupełniające magisterskie, rok pierwszy

Wymiar 60 godzin wykładu, 60 godzin ćwiczeń.

Przedmiot kończy się egzaminem


1. Teoria grup.

Komutanty, abelianizacja, centrum grupy. Twierdzenie Cauchy’ego o podgrupach cyklicznych grup skończonych, p-grupy, grupy symetrii. Grupy rozwiązalne, rozwiązalność p-grup, rozwiązalność i nierozwiązalność grup symetrycznych. Iloczyn prosty grup, twierdzenia o rozkładzie skończonej grupy abelowej na p-grupy i grupy cykliczne.

2. Pierścienie

Pierścienie ilorazowe. Ideały pierwsze i maksymalne. Pierścienie wielomianów i szeregów formalnych. Pierwiastki wielomianów. Pierścienie ilorazowe pierścieni wielomianów na ciałem.

Elementy pierwsze i nierozkładalne, pierścienie Gaussa, największy wspólny podzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Pierścienie: neotherowskie, ideałów głównych , Dedekinda i Euklidesa. Algorytm Euklidesa. Pierścień wielomianów nad pierścieniem Gaussa, przywiedlność i nieprzywiedlność wielomianów.

Pochodne wielomianu, pierwiastki wielokrotne.

3. Teoria liczb

Równania diofantyczne. Kongruencje. Twierdzenie Lagrange’a o pierwiastkach kongruencji. Twierdzenia Eulera i Wilsona. Twierdzenie chińskie. Kongruencje kwadratowe, reszty kwadratowe, kryterium Eulera, symbole Legendre’a. Pierwiastki pierwotne i logarytmy dyskretne.

Pierścień funkcji arytmetycznych, splot Dirichleta, twierdzenie o odwróceniu Möbiusa. funkcja Eulera. Funkcje multiplikatywne, funkcja Möbiusa i inne funkcje multiplikatywne oraz związki między nimi.

Rozmieszczenie liczb pierwszych. Twierdzenie Euklidesa, sito Eratostenesa. Twierdzenie Dirichleta, twierdzenie Bertranda-Czebyszewa (informacyjnie). Funkcja π(x) i jej asymptotyczne przybliżenia, n-ta liczba pierwsza. Ułamki łańcuchowe liczb wymiernych i niewymiernych.

4. Teoria ciał

Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia proste, algebraiczne i skończone. Postać rozszerzenia algebraicznego K(a) i ciała z nim izomorficzne. Twierdzenie o pierwiastkach wielomianu nad ciałem w jego rozszerzeniu. Ciało rozkładu wielomianu, ciało algebraicznie domknięte, domknięcie algebraiczne ciała, ciało elementów algebraicznych. Twierdzenie Abela o elemencie prymitywnym.

Ciała skończone i ich konstrukcje. Izomorfizm ciał skończonych. Elementy prymitywne w ciałach skończonych.

Automorfizmy ciał. Grupa Galois, rozszerzenia Galois. Podstawowe twierdzenia teorii Galois.



Rozszerzenia rozwiązalne, rozszerzenie przez pierwiastniki. Równania rozwiązywalne i nierozwiązywalne przez pierwiastniki. Zastosowania do konstrukcji geometrycznych. Niewykonalność pewnych konstrukcji klasycznych.



  1. Literatura podstawowa




  1. A. Białynicki-Birula, Algebra

  2. A. Białynicki-Birula, Zarys Algebry

  3. G. Birkhoff, S. Mac Lane, Przegląd algebry współczesnej

  4. J. Browkin, Wybrane zagadnienia z algebry

  5. J. Browkin, Teoria ciał

  6. M. Bryński, Elementy teorii Galois

  7. W.J. Gilbert, K.W. Nicholson, Algebra współczesna za zastosowaniami

  8. A. I. Kostrykin, Wstęp do algebry, tom 3

  9. S. Lang, Algerba,

  10. W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementarna teoria liczb

  11. W. Narkiewicz, Teoria Liczb

  12. Z. Opial, Algebra wyższa

  13. W. Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna

  14. S.Y. Yan , Teoria liczb w informatyce.



  1. Literatura uzupełniająca

  1. T.W. Hungerford, Algebra, Springer

  2. J. Stillwell, Elements of Algebra, Springer


©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna