Badanie upakowania modelowych proszkóW, symulacje komputerowe



Pobieranie 160.23 Kb.
Data04.05.2016
Rozmiar160.23 Kb.

Laboratorium z Nauki o Materiałach II

Ćwiczenie 1: Badanie upakowania modelowych proszków, symulacje komputerowe

________________________________________________________________________


BADANIE UPAKOWANIA MODELOWYCH PROSZKÓW, SYMULACJE KOMPUTEROWE

I. Wprowadzenie
Problem przestrzennego rozmieszczenia kul stanowi kluczowe zagadnienie wielu badań natury fizykochemicznej i inżynieryjnej. Wśród tych badań szczególne miejsce zajmują badania strukturalne nad przestrzennym rozmieszczeniem cząstek: atomów i molekuł w kryształach, substancjach amorficznych i klasterach oraz cząstek fazy stałej w roztworach koloidalnych, żelach oraz proszkach poddawanych spiekaniu. Odrębną grupę zagadnień stanowią modelowe badania nad strukturą i ruchem cieczy. Pierwszy raz problem upakowania jednakowych kul został postawiony prawie 400 lat temu przez matematyka i astronoma J. Keplera w związku z jego zainteresowaniami atomową teorią budowy materii. Wśród wszystkich możliwych kształtów atomów, kształt kulisty wydawał się najbardziej uprzywilejowany. Zatem, jeśli materia byłaby zbudowana z niepodzielnych cząstek, to każde materialne ciało powinno przypominać układ mniej lub bardziej wypełniony kulistymi atomami. Słusznie uważano, że badając sposób upakowania pomarańczy w skrzynce można poznać jeden z tajników materii. Kepler domyślił się, że struktura najgęstszego upakowania odpowiada heksagonalnemu gęstemu ułożeniu kul, ale nie potrafił udowodnić, że większego stosunku objętości kul do wypełnionej przestrzeni nie da się osiągnąć.

Z hipotezą Keplera zmagali się najwięksi matematycy. Pierwszego znaczącego postępu dokonał w XIX wieku C. F. Gauss. Dowiódł, że nie można uzyskać gęstszego upakowania kul w przypadku, gdy pakujemy je w sposób periodyczny. Obecnie wiadomo (dowód matematyczny na 250 stronach), że periodyczne ułożenie kul, odpowiadające heksagonalnemu ułożeniu, jest najgęstszym możliwym. Przeczy to hipotezie Coxetera [1,2], że chaotyczne (statystyczne) upakowanie kul może tworzyć układ o wyższej gęstości.


II, Heksagonalne i kubiczne gęste ułożenie kul
Obalonej dopiero w 1998 (!) roku hipotezie Coxetera o tym, że statystyczne rozmieszczenie jednakowych kul pozwala osiągnąć upakowanie jeszcze większe niz

wartość , znaleziona dla periodycznego gęstego upakowania, przeczą również


badania nad strukturą sieci krystalicznej. Znakomita część kryształów, realizując zasadę o minimum energii, przyjmuje taką strukturę, aby atomy ułożyły się według wzoru Keplera.

Rozmieszczenie kul zgodne z uporządkowaniem heksagonalnym

Gęsto upakowana pojedyncza płaszczyzna przypomina plaster miodu zbudowany z sześciokątów. Druga płaszczyzna przesuniętą jest względem pierwszej w taki sposób, że kule (atomy, jeśli opisujemy strukturę krystaliczną) zajmują położenia w lukach. Istnieją dwa typy luk w zależności od położenia. Oznacza się je literami B i C, podczas gdy położenia atomów pierwszej płaszczyzny oznacza się literą A (patrz Rys. 1). Dowolna kula, niezależnie od}tego. które położenie zajmuje, ma liczbę koordynacyjną l.k.= 12, tj. sąsiaduje z 12 innymi kulami.






Rys.1. Położenia A, B i C kul zgodne z modelem gęstego upakowania
Gęsto upakowane płaszczyzny mogą być nakładane na siebie na jeden z dwóch sposobów:

  • W sekwencji ABABA..., wykorzystując dwa z możliwych położeń kul i dając heksagonalne gęste upakowanie kul (Hexagonal Closed Pack - HCP) - Rys. 2

  • W sekwencji ABCABCA..., wykorzystując kolejno wszystkie trzy możliwe położenia kul i dając kubiczne (płasko centrowane) gęste upakowanie (Cubic Closed Pack - CCP) - Rys. 3













Rys. 2. Struktura heksagonalna gęsto upakowana HCP
Rys. 3. Struktura kubiczna

gęsto upakowana CCP






Pomiędzy kulami pojawiają się dwa rodzaje luk: tetraedryczne (czworościany) pomiędzy czterema kulami i oktaedryczne (ośmiościany) pomiędzy sześcioma kulami. Na pojedynczą komórkę przypada 8 luk tetraedrycznych i 4 oktaedry. przy czym tylko 1 oktaedr leży w całości w komórce a podczas, gdy 12 oktaedrów przynależy do danej komórki w 1/4.

Wyznaczanie gęstości upakowania kul

Gęstość upakowania kul ułożonych zgodnie z gęstym heksagonalnym lub kubicznym gęstym ułożeniem można wyznaczyć w oparciu o zależności podane w Tabeli II.1.



Tabela II.1 Wyznaczanie objętości zajmowanej przez kule w strukturach gęsto upakowanych.




Struktura kubiczna pasko centrowana

Struktura heksagonalna gęsto upakowana

Liczba kul w komórce

4

2

Objętość kul Vkul





Objętość komórki

a3



Zależność pomiędzy promieniem kuli a parametrami komórki




2r = a


Objętość komórki wyrażona w jednostkach promienia kuli Vkomórki







Gęstość upakowania









Wartość gęstości upakowania jest największą możliwą, jaka może być uzyskana w przypadku gdy przestrzeń wypełniają kule o tej samej wielkości. Jest ona osiągana w układach, w których kule ułożone są w sposób periodyczny.

III. Statystyczne rozmieszczenie kul
Charakterystyka przestrzennego rozmieszczenia kul

Jednoznaczne określenie przestrzennego rozmieszczenia kul. zarówno w przypadku periodycznym jak i statystycznym, wymaga podania trzywymiarowej tablicy definiującej współrzędne x, y, z środków kul. Dla celów analizy własności spiekanych proszków wystarczające są jednak dane na temat:




  • Gęstości upakowania kul (ziarn proszku) definiowanej jako stosunek objętości wszystkich kul do objętości przestrzeni wypełnionej przez te kule

(z uwzględnieniem luk)

  • Rozkładu liczby koordynacyjnej kul określającego zależność pomiędzy prawdopodobieństwem p, (ewentualnie, przeliczonym na udział procentowy) pojawienia się w układzie kuli o danej liczbie koordynacyjnej (liczbie kontaktów z sąsiednimi kulami.) a wartością tej liczby (l.k.= i, i=0,...12).

Rozkład liczby koordynacyjnej podaje się albo w postaci tabeli albo w postaci graficznej czyli histogramu reprezentującego empiryczny rozkład zmiennej losowej. W sposób ilościowy charakteryzujemy go podając:

- modę (najczęściej powtarzającą się wartość liczby koordynacyjnej)

- medianę (wartość środkową)


- wartość oczekiwaną:

- wariancję:
Badania eksperymentalne

Najprostsze doświadczenie badające statystyczne rozmieszczenie zbioru kul o jednakowej średnicy polega na umieszczeniu (nasypaniu) kul do naczynia o danej objętości i wyznaczeniu gęstości upakowania. Otrzymywane wartości są z reguły o około 15-20% niższe od gęstości upakowania w przypadku periodycznie ułożonych kul, tj. wahają się między 0.55 i 0.60. Udział objętości kul w przestrzeni wypełnionej przez ziarna - luki zależy od dwóch czynników:



  • sposobu upakowania kul i ich ewentualnego przegrupowania pod wpływem ciśnienia, wstrząsania itd.

  • zaburzenia rozkładu wprowadzonego przez ściany naczynia.

Badania eksperymentalne pokazują, że lekkie wstrząśnięcie zbiornikiem zawierającym kule powoduje zwykle nieznaczny wzrost gęstości upakowania (zagęszczenie układu) o około 1-2%. Silne wstrząśnięcie naczyniem lub wielokrotne obracanie nim wokół osi (przez około 2 minuty) powoduje zwykle spadek gęstości upakowania o około 2-5%. Ta ostatnia zmiana jest wynikiem dostarczenia do układu dodatkowej energii i tym samym zaburzenia stanu o najniższej energii [3].

Eksperyment pozwala w ten sposób określić 2 graniczne wartości upakowania kul; tzw. luźnego i gęstego statystycznego upakowania kul, różniące się o około 5-6%. Zarówno w obydwu skrajnych przypadkach jak i dla gęstości upakowania pomiędzy nimi, układy kul są sztywne w znaczeniu, że jednorodne ciśnienie wywierane w jednym kierunku nie zmienia sposobu rozmieszczenia kul. Nawet jednak minimalne odchylenie od jednorodności ciśnienia łatwo powoduje zmianę przestrzennego uporządkowania kul.

Badanie gęstości upakowania kuł w naczyniu powtarza się zwykle wykorzystując w eksperymencie kule o różnym promieniu, tak aby zmniejszyć wpływ ścian naczynia na wartość otrzymanych wyników. Błąd oszacowania maleje w miarę jak rośnie stosunek powierzchni naczynia do objętości pojedynczej kuli użytej w pomiarach.

W celi eliminacji błędu pomiarowego, można wyniki przedstawić na wykresie zależności gęstości upakowania p od N -1/3, gdzie N jest liczbą kul użytych w doświadczeniu. Dane uzyskiwane w różnych seriach pomiarowych układają się, w przybliżeniu, na jednej prostej (choć korelacja może być mała). Aproksymacja wyników do pozwala określić gęstość upakowania p z pominięciem zaburzenia wprowadzonego przez naczynie o skończonych wymiarach. Wartości oszacowane w ten sposób wynoszą [3]:



  • p = 0.63 w przypadku gęsto upakowanego układu,

  • p = 0.59 w przypadku luźno upakowanego układu,




Rys. 4 Gęstość upakowania stalowych kul wypełniających szklaną kolbę w zależności od liczby kul potrzebnych do wypełnienia kolby [3].

Doświadczenie można zmodyfikować używając cylindra i badając upakowanie układu używając każdorazowo tych samych kul lecz zmieniając wysokość (h), do jakiej kule są nasypywane. W tym przypadku wygodnie jest umieścić wyniki na wykresie: p od h-1



Rys. 5 Gęstość upakowania kul w cylindrze w zależności od wysokości do której usypano kule. Średnica kul 3 mm, średnica cylindra 63 mm [3].

Szczegółowa analiza przestrzennego rozmieszczenia kul wymaga określenia liczby kontaktów pomiędzy kulami przypadających na jedną kulę. Zwykle za kontakt pomiędzy kulami uznaje się nie tylko kontakt punktowy, ale również sytuację, kiedy kule nieznacznie się przenikają lub są oddalone od siebie o określony dystans.

Z reguły przyjmuje się, że dwie kule stykają się (a ich ewentualne odkształcenie można pominąć), jeśli ich promienie przenikają się lub są odległe o wartość nie przekraczającą 0,1r 0,15r, gdzie r jest promieniem kuli.

W przypadku statystycznego ułożenia kul oczekujemy, że liczba kul będących w kontakcie z centralną kulą waha się między 3 i 12 (choć eksperyment zwykle pokazuje, że prawdopodobieństwo pojawienia się takich wartości liczby koordynacyjnej jest równe zeru). W przypadku statystycznego gęstego upakowania kul, z największym prawdopodobieństwem pojawia się zwykle liczba koordynacyjna równa 6 [4]. Wzrost gęstości upakowania, osiągnięty na przykład przez lekkie wstrząśnięcie naczyniem lub poddanie kul działaniu niejednorodnego ciśnienia, powoduje przesunięcie rozkładu liczb koordynacyjnych w kierunku wyższych wartości.

Regularności obserwowane w przestrzennym statystycznym rozmieszczeniu gęsto upakowanych kul [5].


  1. Kule wykazują tendencję układania się w płaszczyznach.

  1. W poszczególnych płaszczyznach pojawiają się agregaty do około 5 kul tworzących, w przybliżeniu, prostoliniowe łańcuchy.

  1. Najczęściej pojawiająca się liczba koordynacyjna to 6.

  2. Pomiędzy kulami pojawia się 5 różnych rodzajów luk o geometrii:

  • czworościanu (tetraedru)

  • ośmiościanu (oktaedru)

  • graniastosłupa trygonalnego

  • graniastosłupa trygonalnego skręconego

  • dwunastościanu

Trzeba zauważyć, że tylko dwa pierwsze rodzaje luk występują w przypadku, gdy kule zachowują porządek periodyczny.

5) 73% wszystkich luk to luki tetraedryczne.

Ostatnia regularność sugeruje, że opisu statystycznego upakowania jednakowych kul można dokonać korzystając z modelu tetraedrów. Zgodnie z tym modelem statystyczne ułożenie kul może być przybliżone za pomocą aglomeratów czterech kul tworzących tetraedy. Potwierdzają to również inne wyniki eksperymentalne, według których najbardziej prawdopodobną liczbą koordynacyjną w układzie statystycznie upakowanych kul jest 6. Można to uzasadnić w następujący sposób. Aby dana kula zajmowała stabilne położenie względem ruchu w wybranym kierunku, to ruchowi temu musi przeciwdziałać układ 3 kul, które wspólnie z pierwszą kulą tworzą tetraedr. Ponieważ podobne kryterium stabilności obowiązuje w przeciwnym kierunku, uzasadnia to więc liczbę 6 kontaktów kuli centralnej z sąsiednimi. Symulacje komputerowe, przeprowadzone przy zastosowaniu modelu tetraedrów, pozwalają na "upakowanie" jednakowych kul do gęstości około 0.64 [6],

IV Wykonanie ćwiczenia

A. Badanie heksagonalnego upakowania Kul. Eliminacja błędu pomiarowego.

Ćwiczenie należy powtórzyć dla heksagonalnego ułożenia kul zarówno w sekwencji ABABA... jak i ABCAB...
Program wykorzystywany w obliczeniach, pozwala naczynie ( o wybranym wcześniej kształcie: kula, cylinder lub sześcian), wypełnić jednakowymi kulami, porządkując je w sposób periodyczny. Aby wykonać obliczenia, należy wybrać myszką przycisk - „Zmiana parametrów obliczeń" i określić rodzaj naczynia

(sześcian, cylinder, kula), typ gęstego upakowania (heksagonalne, kubiczne), ilość warstw (w przypadku naczyń o kształcie sześcianu lub cylindra), promień kulek oraz współrzędne czterech dla gęstego upakowania heksagonalnego), lub pięciu (dla gęstego upakowania kubicznego) atomów tworzących bazę. Po wprowadzeniu

prawidłowych wartości początkowych, należy wybrać myszką przycisk - „Obliczenia". W trakcie obliczeń, program wyświetla okno dialogowe, pokazujące stopień zaawansowania obliczeń w procentach upakowania kul w naczyniu. Po zakończeniu obliczeń, program wyświetla wyniki: promień kulek, liczbę kulek i gęstość upakowania.

Wykonanie ćwiczenia


  1. Wybrać kształt i wielkość naczynia (do wyboru sześcian o krawędzi 30, cylinder o promieniu podstawy 30 lub kula o promieniu 30 ). Jednostki dowolne.




  1. W przypadku, gdy naczynie ma kształt kuli, dalej postępować następująco:

  • Zadać promień kul (na początku przyjąć, że objętość kuli stanowi ok. 1/100 objętości naczynia).

  • Zadać współrzędne czterech (upakowanie gęste heksagonalne) lub pięciu

(upakowanie gęste kubiczne) kul.

  • Wykonać obliczenia.

  • Odczytać liczbę kul umieszczonych w naczyniu oraz wartość odpowiadającą gęstości upakowania w badanym układzie.




  1. Obliczenia powtórzyć dla 5 różnych wielkości kul, o objętości między ok. 1/100 i 1/1000 objętości naczynia.

  2. Wyniki zebrać w tabeli ( patrz Tabela IV.1) i następnie przedstawić na wykresie

.

Metodą regresji prostoliniowej wyznaczyć równanie prostej reprezentującej

zależność pomiędzy gęstością upakowania p a wielkością N-1/3.


  1. Znaleźć wartość upakowania dla i porównać ją z wartością obliczoną w sposób analityczny

6. Powtórzyć obliczenia, wybierając naczynie o płaskim dnie:



  • Zadać promień kul (na początku przyjąć, że objętość kuli stanowi ok. 1/100 objętości naczynia) oraz liczbę warstw.

  • Zadać współrzędne czterech ( upakowanie gęste heksagonalne ) lub pięciu

(upakowanie gęste kubiczne) kul.

  • Wykonać obliczenia dla różnej liczby warstw: 10, 100, 200, 400, 600

  • Odczytać liczbę kul umieszczonych w naczyniu oraz wartość odpowiadającą gęstości upakowania w badanym układzie.

  1. Wyniki zebrać w tabeli ( patrz Tabela IV.2) i następnie przedstawić na wykresie

p = f(h-1) gdzie h jest liczbą warstw. .

  1. Zastosować metodę regresji prostoliniowej wyznaczyć równanie prostej p = f(h -1). Obliczyć wielkość upakowania przy i porównać ją z wartością 0.7405.


Tabela IV.1. Wyznaczanie gęstości upakowania kul - naczynie w kształcie sfery.

Sekwencja ułożenia kul

l.p.

Promień kuli (r)

Liczba kul (N)

Gęstość upakowania (p)

ABABA...

1 2 3 4 5










ABCAB...

1 2 3 4 5











Tabela IV.2. Wyznaczanie gęstości upakowania kul - naczynie o płaskim dnie.

Sekwencja

ułożenia kul



l.p.

Liczba warstw (h)

Liczba kul N)

Gęstość upakowania (p)

ABABA...

1

2

3



4

5


10

100


200

400


600






ABCAB...

1

2

3



4

5


10

100


200

400


600







B. Badanie statystycznego upakowania kul.

W obliczeniach wykorzystujemy program, który za pomocą generatora liczb losowych generuje współrzędne środków kul. Aby wykonać obliczenia, należy wybrać myszką przycisk - „Zmiana parametrów obliczeń" i określić wielkość kul oraz parametru K opisanego poniżej. Przy wprowadzaniu wartości promienia kul, program podaje liczbę kul, odpowiadającą 100 % gęstości upakowania. Po wprowadzeniu prawidłowych wartości początkowych, należy wybrać myszką przycisk - „Obliczenia". Kula o losowo wygenerowanych współrzędnych, zostaje umieszczona w naczyniu tylko wtedy, gdy nie przenika innej bardziej niż do 1/10 promienia. Program przerywa umieszczanie kul w naczyniu, jeżeli K kolejnych kul nie spełni tego warunku. Liczba K zależy od promienia kuli i jest całkowitym przybliżeniem wartości 100r (r - promień kuli). W trakcie obliczeń, program wyświetla okno dialogowe, pokazujące stopień zaawansowania obliczeń w procentach upakowania kul w naczyniu. Po zakończeniu obliczeń, odczytujemy liczbę umieszczonych w naczyniu kul, gęstość upakowania oraz rozkład liczby koordynacyjnej, tj. ilość kul stykających się z zadaną liczbą sąsiednich kul (tu zaliczamy kule, których środki znajdują się w odległości 2r ± 1/10r. W trakcie obliczeń program wyświetla trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny przekroju przechodzące przez środek naczynia, co pozwala dokonać oceny sposobu rozmieszczenia kul w wybranych płaszczyznach (koła w kolorze niebieskim oznaczają przekroje kul o współrzędnych znajdujących się powyżej płaszczyzny przekroju, a koła żółte przekroje kul o współrzędnych znajdujących się poniżej płaszczyzny przekroju. Przekroje te można po zakończeniu obliczeń wydrukować i dołączyć do sprawozdania.



Wykonanie ćwiczenia

  1. Określić promień kul tak, aby ich objętość była w przybliżeniu równa 1/100 objętości naczynia.

  2. Uruchomić program, a wyniki wpisać do tabeli ( Tabela IV.3).

  1. Wydrukować otrzymane przekroje.

  2. Program uruchomić 5-krotnie, używając kul o różnych promieniach (przyjąć objętość kul z przedziału od 1/100 do 1/1000 objętości naczynia). i


Tabela IV.3. Badanie statystycznego upakowania kul.

l.p

Promień kulki

Liczba kul

Gęstość upakowania

Ilość kul o danej liczbie koordynacyjnej









1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1














































2














































3














































4














































5














































  1. Wyniki dotyczące gęstości upakowania opracować wykonując polecenia 4 i 5 z punktu IV.A.

  2. Rozkłady liczby koordynacyjnej przedstawić na odpowiednich histogramach o wysokościach słupków proporcjonalnych do udziału procentowego kul o kolejnych liczbach koordynacyjnych i = 1,…,12. Dokonać statystycznej analizy otrzymanych wyników: określić modę i medianę, wartość oczekiwaną oraz odchylenie standardowe rozkładu.

7. Opisać geometrię upakowania kul, wykorzystując do tego wydrukowane przekroje; zwrócić uwagę na ewentualne regularności ( porównaj część III).

C. Badanie związku pomiędzy gęstością upakowania, a liczbą kontaktów pomiędzy kulami.

Celem tej części ćwiczenia, jest sprawdzenie, jak rozkład liczby kontaktów przypadających na jedną kulę zmienia się, jeśli gęstość upakowania rośnie. Obliczenia wykonujemy przy zastosowaniu nieco zmodyfikowanej wersji wykorzystanego w części B programu. W kolejnych obliczeniach używamy kul o tej samej wielkości. Należy przyjąć promień najmniejszej kuli użytej do obliczeń w punkcie IV.B. Parametrem zadawanym w kolejnych seriach, jest gęstość upakowania.



Aby wykonać obliczenia, należy wybrać myszką przycisk - „Zmiana parametrów obliczeń" i określić wielkość kul, zadaną gęstość upakowania oraz liczbę prób wstawiania kul do naczynia, po jakiej program kończy wstawianie. Przy wprowadzaniu wartości promienia kul program podaje liczbę kul, odpowiadającą 100 % gęstości upakowania. Po wprowadzeniu prawidłowych wartości początkowych, należy wybrać myszką przycisk - „Obliczenia". W trakcie obliczeń, program wyświetla okno dialogowe, pokazujące stopień zaawansowania obliczeń w procentach upakowania kul w naczyniu. Jeżeli w trakcie obliczeń liczba nieudanych prób wstawienia kul do naczynia przekroczy zadaną wartość, program przerywa obliczenia, informując o zaistniałym fakcie, a następnie wyświetla wyniki, otrzymane do momentu przekroczenia liczby prób. Po zakończeniu obliczeń, odczytujemy liczbę umieszczonych w naczyniu kul, gęstość upakowania oraz rozkład liczby koordynacyjnej, zdefiniowany jak w punkcie IV.B. Analogicznie jak w poprzednim ćwiczeniu, program w trakcie obliczeń wyświetla trzy płaszczyzny przekroju, które można po zakończeniu obliczeń wydrukować i dołączyć do sprawozdania.

Wykonanie ćwiczenia

  1. W miejsce pierwszej serii obliczeń, wykorzystujemy dane uzyskane w części IV.B, które odpowiadają najwyższej gęstości upakowania. Kolejne obliczenia wykonywać, zadając żądaną gęstość upakowania, każdorazowo niższą o około 0.03, aż do upakowania 0.25.

  2. Wyniki przedstawić w tabeli (Tabela IV.4).

Tabela IV.4. Badanie zależności pomiędzy liczbą koordynacyjną, a gęstością upakowania.

l.p

Gęstość upakowania

Ilość kul o danej liczbie koordynacyjnej





1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1








































2








































3








































4








































5








































6








































7











































  1. Opracować dane dotyczące rozkładu liczby koordynacyjnej ( powtórzyć punkt IV.B.6)

  2. Narysować wykres zależności wartości modalnej od gęstości upakowania w układzie.

Wyniki aproksymować do gęstości upakowania 0.74, określić liczbę koordynacyjną
odpowiadającą najwyższemu możliwemu upakowaniu.
Literatura

[1] H.S.M. Coxeter, Illinois J. Math. 2, 746 (1958)

[2] J.D. Bernal, Naturę 183, 141 (1959)

[3] G.D. Scott, Naturę 188, 908 (1960)

[4] J.D. Bernal, J. Mason, Naturę 188, 910 (1960)

[5] J.L. Finney, Proc.Roy.Soc.Lond. A 319, 479 (1970)

[6] K. Gotoh, J.L. Finney, Naturę 252, 202 (1974)

Wymagane wiadomości

Heksagonalne gęste ułożenie kul

Statystyczne upakowanie kul

Gęstość upakowania, liczba koordynacyjna, rozkład liczby koordynacyjnej



Upakowanie rzeczywistych proszków


©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna