Ciąg Fibonacciego elementarne formuły i tożsamości



Pobieranie 35.04 Kb.
Data08.05.2016
Rozmiar35.04 Kb.
Ciąg Fibonacciego - elementarne formuły i tożsamości

Literatura – internet http://faculty.oxy.edu/jquinn/home/pubs.html


ćwiczenie 0. Niech oznacza liczbę dopuszczalnych (w prawo i do przodu) dróg z punktu 0 do punktu n - tak jak przedstawia to rysunek.
........

1 3 5


0 2 4 6

Wykaż-zauważ, że = + 0 ; =0 , =1


ćwiczenie 1. Wykaż, że

= -1 .

ćwiczenie 2. Wykaż, że

= - ;

= , .

ćwiczenie 3. Wykaż, że [s4] , [1]

NWD(,) = .



ćwiczenie 4. Wykaż, że każda liczba naturalna jest dzielnikiem jakiejś liczby z ciągu Fibonacciego gdzie 0< d n2 . [1]
ćwiczenie 5. Wykaż, że przy k < n & 0  r(n,k) < gdzie

= q + r(n,k)

r(n,k) = lub



ćwiczenie 6. Wykaż, że

= .

ćwiczenie 7. Wykaż, że (Jean-Dominique Cassini 1680 [2])

-2 = , n > 1.

ćwiczenie 8. Ciąg liczbowy nazywamy zupełnym , jeśli każda liczba naturalna jest sumą skończonej liczby elementów tego ciągu. Słynne przykłady : ak = 2k lub ak = 10k . Wykaż, że ciąg jest ciągiem zupełnym.

ćwiczenie 9. Wykaż twierdzenie (E. Zeckendorf) : każdą liczbę naturalną można przedstawić jako sumę różnych elementów ciągu .
Pomoc do ćwiczeń [1-9] & source of earlier references & other identities :

[1] Werner E. Hoggat Jr. „Fibonacci and Lucas Numbers” 1969 , Houghton Mifflin Company , A publication of The Fibonacci Associacion, University of Santa Clara

Santa Clara , CA 95053 (jest w Bibl. I. Inf. UwB)



ćwiczenie 10. Wykaż, że

N.

Pomoc do ćwiczenia 10 : (str. 324-354; w szczególności ćw. 86)

[2] R.L.Graham, D.E.Knuth, O.Patashnik „Matematyka konkretna” PWN Warszawa 1996
ćwiczenie 11.

W 1680 roku Jean-Dominique Cassini wykazał,że -2 = , n > 1.

Tę słynna tożsamość Cassiniego uogólnił potem Catalan [10]. Wykaż i Ty prawdziwość tożsamości Catalana tj. prawdziwość

-2 = 2 , n > 1, r > 0.

Wywiedź stąd identyczność Gelin-Cesàro tj. tożsamość:



4 - = 1 .

.

ćwiczenie 12. Niech oznacza liczbę dopuszczalnych (w prawo i do przodu) dróg z punktu 0 do punktu n - tak jak przedstawia to rysunek.
........

2 5 8


1 4 7 10



...........12

3 6 9
Wykaż-zauważ, że dla wartości n = 1 mod 3 = ++ 0 ; = 0 , =1 , = 1 . A co z pozostałymi?

Odp. n = 0 mod 3 = + ; n = 2 mod 3 = +

ćwiczenie 13. Wykaż, że [P2],[P3] , [03] , [04]

= + .

Jaka jest interpretacja kombinatoryczna ?



ćwiczenie 14. Wykaż, że [05]

2 +2 = .

ćwiczenie 15. Wykaż, że [06]

= + ,

gdzie =

podczas gdy = x+ 0 ; =0 , =1.
ćwiczenie 16. Wykaż, że [s7] liczba Id() wszystkich filtrów w ścieżce (path) zwanej “fence” (“płot”) wynosi Id() = Fn+2 , gdzie to ciąg Fibonacciego zaś n oznacza liczbę wierchołków w częściowo uporządkowanym zbiorze .

Wyjaśnienia:


; n = 5

1 3 5


0 2 4

[03] Hoggat V. E. Jr. “Fibonacci Numbers and Generalized Binomial Coefficients” The



Fibonacci Quarterly vol. 5.4 (1967) : pp. 383-400

[04] D. E. Knuth „The art of computer programming” vol.1 Addison-Wesley Publ. 1968

1.2.8. exercise 29 po ros. str. 119

vol. 7 (1969) : pp.23-40



[05] Melham R. S. “Some Analogues of the Identity 2 +2 =The Fibonacci Quarterly 37.4 (1999): 305-311

[06] Richardson T. M. “The FilbertMatrix” The Fibonacci Quarterly 39.3 (2001): 269-275
Praźródła

[P1] Leonardo Fibonacci [Pisano] „Liber abaci” (1202) wyd. pierwsze-zaginione, wydanie drugie 1228 w , second edition reproduced as Il Liber Abbaci di Leonardo Pisano publicato secondo la lezione Codice Maglibeciano by Baldassarre Boncompagni in Scritti di Leonardo Pisano vol. 1 , (1857) Rome

[P2] Eduard Lucas „Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques” American Journal of Mathematics , Volume 1 (1878), pp.184-240 (Translated from the French by Sidney Kravitz , Edited by Douglas , Lind Fibonacci Association 1969.

[P3] R. D. Carmichael „On the numerical factors of the arithmetic forms Annals of Math. 15 (1913), 30-70.

Standardy i pomocnice



[s1] Brother U. Alfred „An introduction to Fibonacci discovery” 1965 , San Jose,

California, Fibonacci Quarterly 1963



[s2] Werner E. Hoggat Jr. „Fibonacci and Lucas Numbers” 1969 , Houghton Mifflin Company , A publication of The Fibonacci Associacion, University of Santa Clara

Santa Clara , CA 95053 (jest w Bibl. I. Inf. UwB)



[s3] Brother Alfred Brousseau „Linear recursion and Fibonacci sequences” 1971, A publication of The Fibonacci Associacion, San Jose State College, San Jose Calif. 95114

[s4] Vorob`ev N. N. „Chisla Fiboonacci” Moscow, Nauka , 1978

[s5] Werner E. Hoggat Jr. & Marjorie Bicknell-Jonson (Eds) „Collection of Manuscripts Re;ated to the Fibonacci sequence” 1980 , Santa Clara , California

[s6] R.L.Graham, D.E.Knuth, O.Patashnik „Matematyka konkretna” PWN Warszawa 1996

(str. 324-354; w szczególności ćw. 86)

[s7] Gould H.W. “The Bracket Function and Fontené-Ward Generalized Binomial

Coefficients with Appplications to Fibonomial Coefficients” The Fibonacci Quarterly



[s8]  I. Beck „Partial Orders and the Fibonacci Numbers” The Fibonacci Quarterly 26

fibonacci - FENCE! (1990) pp. 272-274

the member of the Institute of Combinatorics and Applications

a.k.kwaśniewski a.k.k.








©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna