Def. Ciąg funkcyjny



Pobieranie 52.24 Kb.
Data08.05.2016
Rozmiar52.24 Kb.
Def. Ciąg funkcyjny:

Ciąg funkcyjny w zbiorze A jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokł. jednej określonej na tym zbiorze. Funkcję przyporządkowaną liczbie naturalnej n ozn. fn(x) natomiast cały ciąg będziemy oznaczać {fn (x) } który po napisaniu daje: (f1 (x) i f2 (x), ...). Jeżeli ciąg funkcyjny {fn(x)}jest określony w A, to dla każdego x0A do funkcji granicznej z ciągu funkcyjnego, otrzymamy konkretny ciąg liczbowy {fn(x0)}, który jest zbieżny lub rozbieżny.



Def. Zbieżność ciągu funkcyjnego do funkcji granicznej:

Ciąg funkcyjny {fn(x)} jest zbieżny w A do funkcji granicznej f(x), co zapisujemy limnfn(x)-f(x) lub fn(x) ne f(x)   x Vs ns. fn(x)- f(x) oprócz zbieżności ciągu funkc. mówimy o jego zbieżności jednostronnej, którą ozn. symbolem: fn(x) Af(x)   V xA fn(x)- f(x)

Dla zb. zwykłej liczba  ma istnieć dla każdego 0 i xA

Dla zb. jednostronnej ma mieć jednakową wartość dla całego zbioru A

Ze zbieżności jednostronnej wynika zbieżność zwykła

[fn(x) A f(x)]  [fn(x) e f(x)]



Tw. Granica jednostajnie zb. ciągu f. ciągłych jest f. ciągłą

Warunek Cauche’go:

Na to aby ciąg fn(x) był zbieżny jednostajnie w zbiorze A potrzeba i wystarcza aby  Vr że n>r zachodzi [fn(x) - fr(x)]<



-Szereg geometryczny:

Saqn-1 lub Saqk

1. Jeżeli a=0 to szer. zb. & S= 0

2. Jeżeli a0 to szer. geom.

-dla q1 szer. geom. zb. i S=a/1-q

-dla q1 szer. geom. rozb.



-Szereg Dirchleta: S1/na , aR, dla  sz zbieżny; dla a  sz rozbieżny.

-Szereg naprzemienny: Szereg (-1)n+1an, gdzie an>0 dla n=1,2,3,… nazywamy szer naprzemiennym.

Def. Zbieżność szeregu liczbowego:

Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny do granicy właściwej lim Sn =S ; S- suma szeregu.



Def. Równość szeregów:

Z równości szeregów wynika równość ich sum, ale nie na odwrót.



Def. Iloczyn przez liczbę:

Def. N- reszta szeregu: jeżeli w szeregu ak pominiemy n początkowych wyrazów to otrzymamy szereg:

który nazywamy n – resztą szeregu ak .



Tw. Jeżeli szeregi an; bn są zbieżne, a ich sumy wynoszą odpowiednio: S1 i S2 to (an+ bn ) i (kan) wynoszą odpowiednio S1+S2 i kS1 .

Tw Warunek konieczny zbieżności szeregu:

Jeżeli szereg an jest zbieżny, to lim an=0



Dowód:

an=Sn-Sn-1 ; lim an= lim (Sn-Sn-1) = lim Sn - lim Sn-1 = S-S=0



Tw. Zbieżność szeregu: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg ten jest zbieżny.

Dowód:

Sn=a1+ a2+ a3+…+ an  an0, ciąg Sn jest ciągiem niemalejącym, ciąg ograniczony z góry z założenia. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny  Sn -jest zbieżny.



Kryterium porównawcze:

Jeżeli wyrazy szeregów  an i  bn są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna n0 , że n> n0 i spełniona jest nierówność an bn, to:

- ze zbieżności szer bn wynika zbieżność szeregu an

- z rozbieżności szeregu an wynika rozb szeregu bn



Dowód:

Sn= an - chcemy pokazać, że jest zbieżny.

Sn = Sn0+ak  Sn0 +bk  Sn0 + B;

k= n0 +1 ciąg sum częściowych Sn =Sn0 + B jest ograniczony stąd wynika zbieżność bk\n z założenia zbieżny i równy B.



Kryterium d’Alamberta:

Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim an+1/an, to szereg an o wyrazach dodatnich jest zbieżny, gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.



Kryterium Cauchyego:

Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim nan, to szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.



Kryterium całkowe:

Niech funkcja f(x) będzie funkcją ciągłą, malejącą i dodatnią dla x n0N wówczas war koniecznym i dostatecznym zbieżności takiego szeregu jest zbieżność całki n0 f(x)dx



Kryterium Leibniza:

Jeżeli ciąg {an} jest nierosnący oraz lim an=0, to szereg naprzemienny jest zbieżny.

[Ciąg nierosnący an+1an ]

Kryterium Weierstrassa:

Jeżeli an liczb. jest zbież i jeżeli spełniona jest nierówność fn(x)an to  funkcyjny jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w zbiorze A. an nazywamy majorantą  funkcyjnego.



Dowód:

an jako zbieżny musi spełniać warunek:









- war. konieczny i dostateczny zb  funkcyjnego.



Def: Bezwzględna zbieżność szeregu:

an nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeżeli jest zbieżny  złożony z bezwzględnych wartości. Jeżeli an jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny. (an )= (an). Jeżeli  jest zbieżny to nazywamy go warunkowo zbieżnym.



Def. Iloczyn Caychy’ego szeregów:

Szereg an, gdzie an =  ak bn-k+1; n=1,2...- nazywamy iloczynem Cauchy’ego szeregów an i bn tzn:

(an ) (bn ) = an

(an ) (bn ) = an ak =ak bn - k



Twierdzenie: Jeżeli szeregi an i bn są zbieżne i chociaż jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny, to ich iloczyn jest zbieżny.

Tw. Całkowanie szeregu funkcyjnego:

Jeżeli fn(x) o wyrazach ciągłych w przedziale jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny to 0b[fn(x)]dx=0bfn(x)dx.



Tw. Różniczkowanie szeregu funkcyjnego:

Jeżeli wyrazy sz. Funkcyjnego mają ciągłe pochodne fn(x) w przedziale ,  funkcyjny fn(x) jest zbieżny w przedziale a ponadto sz.f’n(x) jest jednostajnie zbieżny w przedziale to:





Def. Promień szeregu potęgowego:

Promieniem R zbieżności  potęgowego anxn nazywamy kres górny zbioru bezwzględnych wartości x dla  ten jest  zbieżnym.



Tw. Promień szeregu potęgowego:

Jeżeli istnieje granica:



to promień zbieżności szeregu anxn wynosi:





Tw. Całkowanie szeregu potęgowego:

Jeżeli x należy do wnętrza przedziału  pot.  anxn tzn. x(-R,R) to całka:przy czym promień zbieżności tego szeregu jest taki jak szeregu wyjściowego.



Dowód: Założenia o całkowaniu szeregu są spełnione dla:

Tw. Różniczkowanie szeregu potęgowego:

Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zb.  pot.  anxn to pochodna: - promień zb. tego  jest taki sam jak szeregu wyjściowego.



Uzasadnienie: zał. Tw. o różniczkowaniu  funkcyjnego są spełnione czyli możemy różniczkować wyraz po wyrazie:



Szereg Taylora:

Niech f będzie funkcją, która ma w pewnym otoczeniu Q punktu x0 wszystkie pochodne, tzn. jest klasy C. Funkcję taką dla każdego xQ-{x0} i każdego nN możemy rozwinąć w  Taylora:





Tw. o reszcie Taylora:

Jeżeli istnieje liczba M.>0, że Spełniona jest nierówność:



czyli funkcja daje się rozwinąć w otoczeniu Q w  Taylora.



Dowód:

szacujemy moduł z reszty.

badamy zbieżność  z d’Alamberta:





Rozwinięcie w szereg Taylora:



Szereg Fouriera:

Jeżeli dana jest funkcja f:R, to szereg trygonometryczny



gdzie:


nazywamy trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji f(x) i będziemy zapisywali:



,

Warunki Dirchleta:

Mówimy że funkcja f:Warunki Dirchleta jeżeli a) funkcja ta jest przedziałem monotoniczna: b) funkcja fest cuągła za wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów w których ma nieciągłość pierwszego rodzaju



Nieciągłość usuwalna Nieciągłość nieusuwalna

Lim f(x)= lim f(x)f(x0) Lim f(x)= lim f(x)



X0- X0+ X0- X0+


Twierdzenie: Trygonometryczny szereg Fouriera dla funkcji f. która działa w przedziale f;R spełniająca warunki Dirchleta, jest zbieżny w każdym punkcie przedziału przy czym w dowolnym punkcie x0a;a+2l) w którym f. f: fest ciągła suma szeregu wynosi f(x) natomiast w punktach x0a;a+2l) w któryvh funkcja f jest nieciągła suma szeregu wynosi–śr. arytmet. granic jednostronnych

Na krańcach przedziału suma szer. wynosi



Macierze:

Def. Podobieństwo Macierzy:

Macierz kwadratową A nazywamy podobną do macierzy kw. B, jeżeli istnieje nieosobliwa macierz P (det0) taka, że B=P-1AP, macierz P. nazywamy macierzą podobieństwa



Tw: Jeżeli macierz A jest podobna do macierzy b z macierzą podobieństwa P., to macierz B jest również podobna do macierzy A z macierzą podobieństwa P-1

Dowód: B=P-1AP *P.

PB=AP  PB*P-1=A



Def. Macierz ortogonalna:

Macierz kwadratową i nieosobliwą A nazywamy ortogonalną 

1. detA=1

2. A*AT =E



Dowód:

A – ortogonalna:

AAT=E, AA-1=E

AAT=AA-1|*A-1

A-1AAT= A-1AA-1 EAT= EA-1 AT= A-1

Definicja Bazy:

Układ B{e1,e2} gdzie są wektorami liniowo niezależnymi nazywamy bazą w przestrzeni V2 (analogicznie dla B-{e1,e2,e3} (Trzy wektory liniowo niezależne jeżeli kombinacja

Bazę B nazywamy ortonormalną gdy wszystkie wektory bazowe mają dł. równą 1 i są wzajemnie do siebie prostopadłe

Macierz przejścia:


Dane są dwie bazy: B{e1,e2, e3} oraz B’{e1’,e2’, e3’} w prz.V3. Z definicji bazy:



Tw. Macierz przejścia P od bazy ortonormalnej B do bazy B’ jest zawsze macierzą ortogonalną: PT=P-1
Zmiana współrzędnych wektora przy zmianie bazy:



Def: Operacji liniowej:

Operacja A: V3V3 (A: V2V2) nazywamy liniową jeśli spełnia warunek:


  1. - warunek addytywności (analogiczności dla V2)

  2. -w jednorodności

Def: Operacji jednostkowej:

Operację A, która działa w V3V3 (lub A: V2V2 ) nazywamy jednostkową jeżeli: A=E – ozn. op. jednostkowej.



Macierz operacji jednostkowej:

Macierz operacji jednostkowej nie zależy od bazy ( w każdej bazie jest taka sama) AB’=P-1ABP; EB’=P-1EBP=P-1P=EB.

Def: Operacji symetrycznej:

Operację A:VnVn (n=2,3) nazywamy symetryczną



Def: Operacji antysymetrycznej:

Operację A:VnVn (n=2,3) nazywamy antysymetryczną



Def: Wartości własne i wektory własne:

Liczbę  nazywamy wartością własną operacji liniowej A:V3V3 (A: V2V2) jeżeli istnieje niezerowy wektor



taki, że.Wektornazywamy wektorem własnym odpowiadającym wart. własnej  przy A.

Def. Tensor o walencji 1:

Dowolny obiekt nazywamy tensorem o welencji=1, nad przestrzenią Vn (n=2,3) jeżeli w każdej bazie B tej przestrzeni jest on określony jednoznacznie za pomocą n1 liczb xi zwanych współrzędnymi tensora w danej bazie, przy czym współrzędne te transformują się przy zmianie bazy według następującej zasady:



; (xi’)=pii’xi

Def. Tensor o walencji 2:

Dowolny obiekt nazywamy tensorem o welencji=2, nad przestrzenią Vn (n=2,3) jeżeli w każdej bazie B tej przestrzeni jest on określony jednoznacznie za pomocą n2 liczb ij zwanych współrzędnymi tensora w danej bazie, przy czym współrzędne te transformują się przy zmianie bazy według następującej zasady: i’j’ =pii’pjj’ij


Tensor bezwładności: Jest on reprezentowany w bazie B przez macież

- Tensor bezwładnosci masy m Zaczepionej w punkcie M(x1,x2,x3)

Jest to tensor symetryczny na przekątnej są to momenty bezwładności m. względem osi wyznaczonej przez wektory bazowe: -moment względny x1,x2,x3

Pozostałe momenty to momenty dewiacyjne.

Def. Kwadryka:

Zbiór wszystkich punktów M(x1x2x3) o promieniach wodzących i spełniających równanie

nazywamy kwadryką tensorową tensor TB. Kwadryka tensorowa jest to pewna powierzchnia .

Równanie kwadryki i w postaci macierzowej:

Postać kanoniczna kwadryki tensorowej:



Rachunek operatorów:

Funkcja Heviside’a:

0 dla x

(x-c)= 0,5 dla x=c

1 dla x>c

Def. Przekształcenie Laplace’a:

Przekształcenie Laplace’a funkcji f(x) zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję F(s) zmiennej zespolonej s określoną wzorem:



Jeżeli całka istnieje, to funkcję nazywamy transformatą Laplace’a funkcji f(x) i oznaczali będziemy symbolem:

F(s)=L[f(x)]

Def. Klasy oryginałów:

Mówimy, że funkcja f(x) przedziałami ciągła należy do klasy oryginałów gdy spełnia następujące warunki:



  1. f(x)=0, dla x<0

  2. f(x)=0,5(f(x+)+ f(x-))

  3. Istnieją stałe M i  takie, że f(x)Mex.

Twierdzenie o podobieństwie:



Twierdzenie o tłumieniu:



I. Twierdzenie o przesunięciu:



II. Twierdzenie o przesunięciu:



Tw. O Transformacji funkcji okresowej:

Jeżeli funkcja f(x) z klasy oryginałów jest funkcją okresową o okresie T dla wszystkich xR+ , to:





Najczęściej spotykane transformaty:




Liczby Zespolone:

Kryterium porównawcze:

Jeżeli o wyrazach dodatnich jest zbieżny, to szereg zn jest bezwzględnie zbieżny.



Kryterium d’Alamberta:

Jeżeli o wyrazach zespolonych jest bezwzględnie zbieżny gdy g<1, natomiast rozbieżny gdy g>1.


Kryterium Cauchy’ego:

Jeżeli o wyrazach zespolonych jest bezwzględnie zbieżny gdy g<1, natomiast rozbieżny gdy g>1.



Tw. Warunek konieczny i dostateczny:

Warunkiem koniecznym i dostatecznym zbieżności zn o wyrazach zn=xn+yn do sumy S=S1+S2i jest jednoczesna zbieżność szeregów xn i yn odpowiedio do sum S1 i S2.



Def. Granicy według Heinego:



Def. Granicy według Cauchy‘ego:



Def. Logarytm liczby zespolonej:

Liczbę zespoloną w=u+iv nazywamy logarytmem naturalnym z liczby zespolonej z=x+iy0 w =ln z, jeżeli ew=z, ln z=lnz+i(+2k).



Def. Pochodna funkcji zesoplonej:

Pochodną funkcji w=f(z) w punkcie z0 nazywamy granicę:



,jeżeli granica istnieje i jest skończona.

Def. Holomorficzność funkcji w punkcie:

Mówimy, że funkcja jest Holomorficzna, jeśli jest różniczkowalna w punkcie z0 i pewnym jego otoczeniu.



Def. Holomorficzność funkcji w obszarze D:

Mówimy, że funkcja jest holomorficzna w obszerze D, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie tego obszaru.



Tw. Cauchy’ego-Riemana:

Jeżeli funkcja f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ma pochodną w punkcie z0=x0+ iy0 ,to istnieją w tym punkcie pochodne cząstkowe części rzeczywistej u(x,y) i części urojonej v(x,y) oraz pochodne spełniają w tym punkcie równania:





Warunek konieczny, aby f(z) miała pochodną:

Jeżeli część rzeczywista u(x,y) i część urojona v(x,y) funkcji f(z)=u(x,y)+v(x,y) spełniają warunki Cauychego-Riemana w pewnym obszarze D i ponadto pochodne cząstkowe tych funkcji są ciągłe w tym obszarze, to funkcja f(z) w każdym punkcie a=x+iy tego obszaru pochodną f’(z) określoną wzorem:





Rozwinięcia funkcji:



©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna