Drgania I fale mechaniczne



Pobieranie 26.15 Kb.
Data02.05.2016
Rozmiar26.15 Kb.
DRGANIA I FALE MECHANICZNE

Ruch harmoniczny

Szczególnym przypadkiem ruchu drgającego jest ruch harmoniczny. Jest to ruch jaki wywołuje siła wprost proporcjonalna do wartości wychylenia (względem położenia równowagi) i skierowana przeciwnie niż wychylenie: F = -kx


gdzie: k - współczynnik proporcjonalności
x - wychylenie z położenia równowagi
A - wychylenie maksymalne, amplituda wychylenia.

Kinetyczne równanie ruchu harmonicznego ma postać: x = A sin(ωt + φo)


gdzie:
A – amplituda drgań
ω- częstość kołowa (pulsacja)
T- okres drgań
f -częstotliwość drgań
φ = ωt + φo - faza ruchu harmonicznego
φo - faza początkowa (pozwala określić wychylenie z położenia równowagi w chwili to = 0)
np. jeśli w chwili to = 0 ciało jest w położeniu równowagi x = 0 to φ = 0 → x = Asinωt

Prędkość w ruchu harmonicznym


v = dx/dt = Aω·cosωt = vo·cosωt
gdzie vo-prędkość maksymalna

Przyspieszenie w ruchu harmonicznym


a = dv/dt = – Aω2sin ωt = – aosinωt
ao = Aω2 -maksymalna wartość przyspieszenia
ponieważ x = Asinωt więc a = – ω2 x

Wykresy przedstawiają zależność wychylenia, prędkości i przyspieszenia od czasu w ruchu harmonicznym, gdy φo = 0

Siła w ruchu harmonicznym
Z II zasady dynamiki F = ma , więc: F = -mω2 x lub F = -kx
gdzie k=mω2

Energia układu drgającego ruchem harmonicznym

Całkowita energia układu drgającego jest równa pracy, jaką wykonuje siła zewnętrzna, wychylając układ z położenia równowagi. Np. podczas rozciągania sprężyny w sytuacji jak na rysunku.
Po ustaniu działania siły zewnętrznej energia całkowita (EC) jest sumą energii potencjalnej (EP) i energii kinetycznej (EK) EC = EP + EK

EP = ~kx~ _ ~mwzAzsin2~wt+cpo~l

Ek = ŹmVz = ŹmwzA2cosz~wt+cpo~

Po podstawieniu E~ _ ~ mc~zAz ~sin2 ~wt + cpo~+cosz ~wt + cpo ~~ wyrażenie w nawiasie kwadratowym równe jest 1, dlatego:

Ec = ~ mcozAz = ~ kAz

Zależność energii od czasu przedstawiają wykresy:





dla cpo=0

Zależność energii EP, Ek, i E~ od wychylenia:

Wahadło sprężynowe - ciało o masie m zaczepione na sprężynie o współczynniku sprężystości k.





lub


Układy przedstawione na rysunku wykonują ruch harmoniczny, gdy pominiemy działanie wszystkich sił oprócz siły sprężystości. Wówczas:

-kx --mto2x (~

T = 2~' i -= T-okres drgań układu w - 2yl k

T

176



Wahadło matematyczne - małe ciało zawieszone na długiej, nieważkiej i nierozciągliwej nici.

Siłą odpowiedzialną za ruch wahadła jest wypadkowa siły ciężkości Q = mg' i siły sprężystości nici FS (rys.).

Jej wartość wyraża się wzorem: F =-mg sin a

Znak minus oznacza, że siła skierowana jest przeciwnie do wychylenia.

Ponieważ dla małych wychyleń (do 7°) sinus kąta równy jest jego wartości wyrażonej w radianach, otrzymujemy:

x F =-mg­

l gdzie x jest długością łuku i jednocześnie wychyleniem z położenia równowagi.

Widzimy, że siła ta jest wprost proporcjonalna do wychylenia i skie­rowana ku położeniu równowagi, co oznacza, że dla małych wychyleń ruch wahadła jest ruchem harmonicznym.

Porównując otrzymany wzór ze wzorem ogólnym wyrażającym siłę w ruchu harmonicznym, wyznaczymy okres drgań.

x -mg ~ --mc~2x

T = 2~s 2~

w=­T


Drgania wymuszone. Rezonans

Drgania układu zachodzące bez oddziaływania z otoczeniem nazywamy drganiami własnymi lub swobodnymi. Jeżeli na oscylator działa zmieniająca się okresowo siła zewnętrzna, np.

F = F° sin S2t

gdzie: F°-maksymalna wartość siły

S2 - częstość kołowa siły zewnętrznej,

to drgania nazywamy wymuszonymi. Drgania wymuszone odbywają się z częstotliwością z jaką zmienia się siła wymuszająca. Amplitudę drgań wymuszonych obliczamy (gdy nie ma tłumienia) ze wzoru:

A = gdzie: w - częstość kołowa drgań własnych oscylatora, w = .I­

mlw2 -~,=I V m

Ze wzoru wynika, że amplituda drgań wymuszonych jest największa, gdy częstotliwość siły wymuszają cej (S2) jest bliska częstotliwości drgań własnych (w). Zjawisko takie nazywamy rezonansem mechanicz­nym.





Rezonans, gdy nie ma tłumienia Rezonans, gdy jest tłumienie

177

Przyklad ).l.l. (199CIł,)



miału wykuuujc urgaua harmoniczne o okresie T = 3 s i amplitudzie A = 10 cm. W chwili początko­wej znajduje się w położeniu równowagi. Po upływie 1/4 sekundy odległość ciała od położenia rów­nowagi wyniesie:

A. 2 cm B. 5 cm C. 7 cm D. 10 cm

Rozwiązanie W chwili początkowej ciało znajduje się w położeniu równowagi tzn., że cpo= 0

x = A sin cot = A sin Z~ t T x =1 Ocm sin 3~ ~ ~ .~ = l Ocm sin 6 = l Ocm sin 30° = Scm

(l,lp~~v,i~~1' T3

Prtykls

1'uWwumrialn~ ~.~.;l:uuuj;~uy drgania harmoniczne o okresie T jest w chwili czasu t o =0 w maksymalnej odległości od położenia równowagi. Odległość ta zmaleje do połowy w chwili:

A.t= T B.t= T C.t= T D. t= T 8 6 4 2 Rozwiązanie

W chwili t~= 0 punkt materialny znajduje się w maksymalnej odległości od położenia równowagi tzn., że

cpo=~ x=Asin(wt+~)=Acoswt

ponieważ x= 2 A , otrzymujemy:

1 A=Acos~t 2

= cos au ~ cot = 3 (60° )

2n -t=­T 3

T t=­6

Odpowiedź B



x2=Asin~t (bowchwilito=0 xZ=0)

~'oLykl~t~1 x).1.3.

Punktu 1 i ~ (rys.) drgają ruchem harmonicznym prostym względem punktu 0, o amplitudzie A i okresie T. Czas, no którym oba punktu spotkają się, wynosi:
A. T B. T/2 C. T/8 D. T/6
Rozwiązanie

W chwili spotkania wychylenia obu punktów x, i x2 są jednakowe x,=Acoscot (bowchwilitU=0 x,=A)

xi = x2

A sin wt = A cos wt



sin cyt = cos ~t ~ cot = 4 ~45° 2~ ~rz

-t = ­T 4

178

T t =­


8 Odpowiedź C

Yr~~kład 9.1.4. (I99(I,%L)

Punkt r~~umri.~lm ,~.v.~.~~nuje drgania harmoniczne o amplitudzie A i okresie T. Jeżeli zwiększymy dwukrotnie okres drgań, a amplituda nie zmienia się, to jego maksymalna energia kinetyczna:

A. nie ulegnie zmianie B. zmaleje dwukrotnie C. wzrośnie dwukrotnie D. zmaleje czterokrotnie

Rozwiązanie Maksymalna energia kinetyczna ma wartość równą energii całkowitej. Ekm~ = E~.

z Ekm~ = 2 m~zAz = 2 m Tz Az

Gdy okres T wzrośnie 2 razy, a amplituda A pozostanie stała, to maksymalna energia kinetyczna zmaleje 4 razy

Odpowiedź D

Jeżeli maksymalna energia kinetyczna punktu wykonującego drgania harmoniczne wynosi Eo, to w odle­głości od położenia równowagi równej trzy czwarte amplitudy, energia ta jest równa:

A. 1 E o B. ~ E o C. 9 E o D. 15 E o 16 16 16 16

Rozwiązanie E~ = Eo = ~ kAz (tak jak w przykładzie 4) E =lkxz=lk(3A)z=9.1kAz=9Eo

2 2 4 16 2 16

E~ =Ep+Ek

Ek = E~ - EP = Eo - 6 Eo = 6 Eo Odpowiedź B

Przykład 9.1.6.

~V:~I~:~,Ił~~ ~n,minatyczne umieszczone na powierzchni Ziemi posiada okres drgań To . Jeżeli wahadło to umieścimy na powierzchni planety o masie 4 razy większej i 2 razy większym promieniu od Ziemi, to okres T wahadła wyniesie:

A. 2To B. 2° C. 4To D. 4 To E. To

Rozwiązanie

lR z T° = 2~~ To = 2tr

GM = M T=2n ~~ ~j -2tc ~M -T

g -o Odpowiedź E

Przykład 9.1.7. (199/_~IIS 1TaP)

~~ ~.~in~i~i~h~~~.vic~;~~~m~.~;,h.~,lla~.~.~.;;,garścienny.Zegarbędziesięspieszył,gdywinda: A. jedzie z przyspieszeniem skierowanym w górę C. spada swobodnie B. jedzie z przyspieszeniem skierowanym w dół D. stoi w miejscu

179


Rozwiązanie Zegar w windzie będzie się spieszył, gdy okres drgań wahadła zmaleje ~l

T = 2~c.1 ug+a Siła bezwładności działająca na ciężarek wahadła skierowana jest zgodnie z siłą grawitacji, co oznacza, że przyspieszenie windy skierowane jest pionowo do góry.

Odpowiedź A.

Wiuik u macic IU kg ugina płytę matową, na której stoi o 1 cm. Częstotliwość rezonansowa drgań tego układu wynosi w przybliżeniu:

A. 0.5 ś' B. 5 ś' C. 500 ś' D. 5000 ś'

Rozwiązanie Zakładamy, że odkształcenie płyty jest sprężyste. Siła sprężystości równoważy ciężar silnika

mg=kx ~ k=mg x T = 2rc ~n

k f_ 1 - 1 ~- 1 mg - 1

T 2~I m 2~c mx 2~r x 1 9'gl nz 1

f = s =5_ 2 3,14 O,OIm s Odpnwie!1? B

Prtyl;f:~d 9.1.9. (1998110

Cięrar~l_ <,auieszony na sprężynie wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie 5 cm i częstotliwości 4/~ Hz. W chwili przejścia przez położenie równowagi ciężarek ma prędkość:

A. 0,2 m/s B. 0,3 m/s C. 0,4 m/s D. 0,5 m/s

Rozwiązanie .



W chwili przejścia przez położenie równowagi ciężarek ma prędkość maksymalną. Maksymalną prędkość ciała poruszającego się ruchem harmonicznym liczymy ze wzoru: Vp = Aco , gdzie co = 2~cf .

Po podstawieniu danych otrzymujemy: Vc = 5 ~ 10-z m ~ 2~ 4 s-1 = 4 ~ 10-~ ms-~ = 0,4m / s Odpowiedź C


©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna