Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXII egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I matematyka finansowa Imię I nazwisko osoby egzaminowanej



Pobieranie 121.91 Kb.
Data28.04.2016
Rozmiar121.91 Kb.

Matematyka finansowa 07.06.2004 r.


Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy
XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r.


Część I
Matematyka finansowa


Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:
......................................................................


Czas egzaminu: 100 minut



1. Trzy osoby biorą z banku kredyty w wysokości 100 każdy, spłacane za pomocą rat płatnych na koniec każdego roku przez najbliższe 10 lat. Każda z osób ma inny plan spłaty kredytu. Osoba pierwsza spłaca kredyt za pomocą rat postaci: X, X+4, X+8,......, X+36. Osoba druga spłaca kredyt za pomocą rat postaci: Y, 2*Y, 3*Y,....,10*Y. Osoba trzecia spłaca kredyt za pomocą rat postaci: Z, 1,3*Z, 1.32*Z, .....,1,39*Z. Roczna efektywna stopa procentowa wynosi i = 10%. Ile wynoszą sumaryczne odsetki zapłacone przez wszystkich trzech kredytobiorców w całym okresie spłacania kredytów (proszę podać najbliższą wartość) ?
Odpowiedź:

A. 241

B. 251

C. 261

D. 271

E. 281


2. Bieżąca sytuacja na rynku finansowym oraz przewidywania (prawdopodobieństwa) co do jej stanu za rok przedstawiają się następująco:


cena akcji spółki krajowej – cena w PLN

Cena bieżąca

Cena za rok

Prawdopodobieństwo







66

50%




60

50

50%




kurs PLN/USD

Kurs bieżący

Kurs za rok

Prawdopodobieństwo







4,95

60%




4,7

4,4

40%




krzywa zerokuponowa PLN

Bieżąca

Za rok

Prawdopodobieństwo

w %




x/4

50%




x/3

x/2

50%




krzywa zerokuponowa USD

Bieżąca

Za rok

Prawdopodobieństwo

w %




x/3

70%




x/4

x/5

30%




akcja spółki zagranicznej - cena w USD

Cena bieżąca

Cena za rok

Prawdopodobieństwo







26

55%




20

17

45%

Która z poniższych strategii daje najwyższą oczekiwaną stopę zwrotu (w PLN) w ciągu najbliższego roku przy przyjęciu powyższych założeń:



  1. zakup 5-letniej zerokuponowej obligacji denominowanej w USD,

  2. zakup po nominale 100 PLN rocznej obligacji zamiennej na 1,6 akcji spółki krajowej z rocznym kuponem 4,5%. Wykonanie zamiany na akcje oznacza również rezygnację przez inwestora z odsetek od obligacji. Zamiana może mieć miejsce wyłącznie w dniu wykupu obligacji,

  3. zakup rocznej europejskiej opcji typu put na kurs dolara amerykańskiego z ceną wykonania 4,6 PLN za 0,075 PLN,

  4. zakup rocznej europejskiej opcji put na akcję zagraniczną z ceną wykonania 20USD za 1,3 USD,

  5. zakup rocznej europejskiej opcji call na 5 letnią obligację zerokuponową denominowaną w PLN (o nominale 100PLN)z ceną wykonania 91,2 PLN za 1,3 PLN.


Uwaga : opcje i kontrakty futures rozliczane są gotówkowo bez dostarczania instrumentu bazowego po upływie roku. Zamiana obligacji na akcję odbywa się poprzez wypłatę inwestorowi kwoty 1,6 * cena_akcji w momencie zamiany. Krzywa zerokuponowa zdefiniowana jest jako funkcja okresu do wykupu (parametr x) liczonego w latach.

3. Wartość amerykańskiej opcji typu put na akcję firmy X z ceną wykonania 45 zostaje wyznaczona przy zastosowaniu trzyokresowego modelu dwumianowego. Wiadomo, że :

  • obecna cena akcji wynosi 45,

  • w każdym z trzech okresów cena akcji może zmienić się o 15% w odniesieniu do jej wartości z początku okresu, a prawdopodobieństwa zmian są jednakowe w każdym okresie,

  • wartość opcji call na akcję firmy X wygasającej na koniec pierwszego okresu i cenie wykonania 45 wyznaczona przy zastosowaniu tego samego modelu dwumianowego wynosi 4,79

  • efektywna stopa procentowa w okresie wynosi i = 8%.

Oblicz wartość amerykańskiej opcji put (podaj najbliższą wartość):




  1. 0,93




  1. 1,22




  1. 1,48




  1. 1,71




  1. 1,97

4. Bieżący stan rynku finansowego jest następujący:

1 USD = 4 PLN

roczna depozytowa stopa PLN = 7%

roczna depozytowa stopa USD = 3%

Ceny europejskich opcji walutowych na kurs USD z okresem wykonania 1 rok (1 opcja opiewa na 1 USD):

cena wykonania opcji (w PLN)

3,95

4,1

4,25

4,35

4,45

cena opcji put ( w PLN)

0,11

0,21

0,32

0,41

0,5

Bank oferuje swoim klientom roczną lokatę otwieraną w PLN, która po roku wypłaca jedną z dwóch (wybraną w dniu wypłaty przez Bank) kwot :



  • kwota w PLN : wartość depozytu w PLN powiększoną o 15% lub

  • kwota w USD : (wartość depozytu w PLN / 4 ) * (1+X)

Przy podanej wyżej bieżącej sytuacji na rynku finansowym, jakie najwyższe X może Bank zaoferować klientowi, który chce ulokować na powyższej lokacie 1 mln. PLN, aby mieć pewność osiągnięcia na niej zysku (podaj najbliższą wartość):



  1. 9,60%

  2. 10,10%

  3. 11,60%

  4. 12,10%

  5. 12,60%



Uwaga : Bank otrzymuje pieniądze od klienta i może dokonywać lokat PLN oraz USD (po uprzednim zakupie USD), nabywać opcje lub USD. Może również pozyskiwać dodatkowe środki z tytułu wystawiania opcji i przeznaczać je na te same cele. Na koniec roku poza realizacją zawartych transakcji(depozyty, opcje) może nabyć lub sprzedać USD po kursie, który ustali się w przyszłości (dzisiaj nieznanym). Opcje nie wymagają depozytów zabezpieczających a ich rozliczenie jest gwarantowane. Na rynku nie istnieją żadne inne instrumenty poza wymienionymi. Bank nie angażuje żadnych dodatkowych środków poza pozyskanymi od klienta tytułem lokaty lub uzyskanymi z wystawiania opcji.

5. Stan fragmentu rynku walutowego, przedstawia oferta dużego banku w dniu X:

PLN/USD USD/EURO

kupno 4,5 1,2

sprzedaż 4,6 1,22

Kwotowania podawane są od strony Banku, tak więc inwestor jest np. w stanie kupić USD za 4,6 PLN (kurs sprzedaży Banku) oraz sprzedać EURO za 1,2 USD (kurs kupna Banku).

Ponadto możliwe jest dokonywanie przez inwestora depozytów i zaciąganie pożyczek według poniższych stóp procentowych (stopy w skali roku, pożyczki spłacane jednorazowo na koniec okresu wraz z odsetkami):

PLN USD EURO

oprocentowanie depozytu 5% 2% 3,5%

koszt pożyczki 6,5% 4% 5%

Kurs terminowy USD/EURO z gwarantowanym rozliczeniem transakcji za rok wynosi (nie ma wymogu depozytów zabezpieczających) – kwotowania od strony Banku:

USD/EURO

kupno 1,16

sprzedaż 1,18

Dla którego z poniższych kwotowań terminowych PLN/USD (z gwarantowanym rozliczeniem za rok, brak wymogu depozytów zabezpieczających) jest możliwy arbitraż (kwotowania podawane od strony Banku, kurs kupna jest kursem dostępnym klientowi, gdy sprzedaje on USD) ?

A) PLN/USD kupno : 4,51 sprzedaż : 4,56

B) PLN/USD kupno : 4,56 sprzedaż : 4,61

C) PLN/USD kupno : 4,61 sprzedaż : 4,66

D) PLN/USD kupno : 4,66 sprzedaż : 4,71

E) żaden z powyższych


Uwaga : PLN/USD - jest kwotowaniem w PLN za jednostkę USD

USD/EURO - jest kwotowaniem w USD za jednostkę EURO

Inwestor nie dysponuje środkami własnymi i może operować jedynie na zdefiniowanych powyżej instrumentach. Inwestor nie może dokonywać krótkiej sprzedaży walut (sprzedaż waluty lub depozyt muszą być poprzedzone zakupem waluty).
6. Firma ubezpieczeniowa posiada zobowiązania wynikające z portfela rent pewnych. Renty te są płatne w wysokości PLN 1 m na koniec każdego roku przez najbliższe 20 lat oraz w wysokości PLN 0.5 m przez kolejne 20 lat. Firma ulokowała całość swoich rezerw w 15 letniej obligacji z 10% kuponem rocznym. Oblicz różnicę pomiędzy duration pasywów i aktywów, zakładając efektywną roczną stopę zwrotu i = 6% (podaj najbliższą wartość).


  1. 1,95

  2. 2,08

  3. 2,21

  4. 2,4

  5. 2,55


7. Rozważmy dwie 20-letnie renty pewne:

  • Pierwsza z nich jest rentą o rosnących w postępie arytmetycznym ratach, płatnych rocznie z góry. Pierwsza płatność z tytułu tej renty wynosi 100 zł, kolejne przyrosty wynoszą 50 zł.

  • Druga z nich jest rentą o ratach tworzących ciąg geometryczny o stopie wzrostu 5.5% i początkowej płatności równej 1000 zł oraz ratach płatnych rocznie z dołu.

Zakładamy, że stopa procentowa r jest w każdym roku zmienną losową o następującym rozkładzie dyskretnym (stopy w kolejnych latach są niezależnymi zmiennymi):




ri

P(r = ri)

3.0%

θ

4.5%

1 – θ

Wiadomo, że wartość obecna sumy płatności z tytułu obydwu rent na koniec drugiego roku (jest to jednocześnie początek trzeciego roku) obliczona przy stopie równej wartości oczekiwanej stopy procentowej r, stanowi 96.734% zdyskontowanych sum płatności tych rent z początku roku pierwszego i drugiego.

Rozważmy wartość sumy płatności z tytułu obydwu rent na koniec dziewiętnastego roku. Obliczyć różnicę pomiędzy wartością oczekiwaną wartości obecnej tej kwoty (przy założeniu, że w każdym roku stopa procentowa r ma powyższy rozkład) a wartością obecną tej kwoty obliczoną przy stopie równej wartości oczekiwanej stopy procentowej r.
Wskaż najbliższą wartość:


  1. 1.70 zł

  2. 2.70 zł

  3. 3.20 zł

  4. 3.70 zł

  5. 4.00 zł.

8. Rozważmy 5-letnią rentę ciągłą, płatną w taki sposób, że intensywność płatności w chwili t wynosi:


Intensywność oprocentowania jest zmienna w czasie i jest funkcją , o której wiemy, że szybkość jej zmiany powiększona o kwadrat samej funkcji stale wynoszą 0, zaś w chwili t = 0 intensywność oprocentowania wynosi 1. Przy jakiej wartości parametru α wartość obecna renty jest minimalna?
Odpowiedź (wskaż najbliższą wartość):

  1. 0.1235

  2. 0.1435

  3. 0.1635

  4. 0.1835

  5. 0.2035


9. Bank inwestuje środki finansowe w wysokości 1 000 000 zł na trzy sposoby:


        1. udziela kredytu 10-letniego, ze stałym oprocentowaniem i = 10%, spłacanego w równych rocznych ratach (na koniec roku),

        2. inwestuje w portfel akcji,

        3. nabywa jednostki uczestnictwa w funduszu inwestycyjnym.

Wariancja stopy zwrotu z akcji wynosi 400%, wariancja stopy zwrotu z funduszu inwestycyjnego wynosi 225%, stopy zwrotu z akcji i funduszu inwestycyjnego są doskonale ujemnie skorelowane. Ile wynosi kwota odsetek uzyskanych przez bank w piątej racie kredytu, jeżeli wiadomo, że proporcje inwestowania w akcje i fundusz inwestycyjny są ustalone tak, aby zminimalizować ryzyko portfela, udzielony kredyt jest inwestycją bez ryzyka, natomiast bank inwestuje w akcje środki równe dokładnie połowie kwoty udzielonego kredytu?




  1. 28 803

  2. 29 811

  3. 30 854

  4. 31 809

  5. 32 713


10. Inwestor posiada kapitał w wysokości 10 000 zł. Aktualna rynkowa cena akcji spółki X wynosi 10 zł. Wiadomo, że:

  • odchylenie standardowe zmienności cen akcji wynosi σ = 0.3,

  • roczna stopa procentowa wolna od ryzyka wynosi 10%.

  • akcja nie wypłaca dywidendy.

Inwestor zakupił 3 miesięczną europejską opcję sprzedaży (put option) na 10000 akcji spółki X po cenie wykonania 9 zł a resztę kapitału przeznaczył na 1-miesięczną lokatę, z której odsetki wyniosły 1% ? Do oszacowania wartości opcji należy użyć modelu Blacka-Scholesa. Przybliżone wartości dystrybuanty rozkładu normalnego podaje tabela. Dla wartości pośrednich należy użyć aproksymacji liniowej.


T

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

N(t)

0.5000

0.5199

0.5398

0.5596

0.5793

0.5987

0.6179

0.6368

T

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

N(t)

0.6554

0.6736

0.6915

0.7088

0.7257

0.7422

0.7580

0.7734

t

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

N(t)

0.7881

0.8023

0.8159

0.8289

0.8413

0.8531

0.8643

0.8749

t

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

N(t)

0.8849

0.8944

0.9032

0.9115

0.9192

0.9265

0.9332

0.9394

t

1.6

1.6500

1.7

1.75

1.8

1.85

1.9

1.95

N(t)

0.9452

0.9505

0.9554

0.9599

0.9641

0.9678

0.9713

0.9744

t

2

2.05

2.1

2.15

2.2

2.25

2.3

2.35

N(t)

0.9772

0.9798

0.9821

0.9842

0.9861

0.9878

0.9893

0.9906

t

2.4

2.45

2.5

2.55

2.6

2.65

2.7

2.75

N(t)

0.9918

0.9929

0.9938

0.9946

0.9953

0.9960

0.9965

0.9970

t

2.8

2.85

2.9

2.95

3

3.05

3.1

3.15

N(t)

0.9974

0.9978

0.9981

0.9984

0.9987

0.9989

0.9990

0.9992

Ile wyniósł zysk inwestora z całego portfela po 1 miesiącu, jeżeli w tym czasie cena akcji spadła do 9,5 zł ? Odpowiedź (wskaż najbliższą wartość):




  1. 617

  2. 597

  3. 577

  4. 557

  5. 537

Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r.
Matematyka finansowa

Arkusz odpowiedzi*

Imię i nazwisko: .................................................................


Pesel: ...........................................
OZNACZENIE WERSJI TESTU ............


Zadanie nr

Odpowiedź

Punktacja

1

E




2

E




3

D




4

A




5

A




6

A




7

A




8

B




9

E




10

D















* Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

 Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.




©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna