Konkurs matematyczny – etap wojewódzki 2003/2004



Pobieranie 67.84 Kb.
Data07.05.2016
Rozmiar67.84 Kb.

KONKURS MATEMATYCZNY – etap wojewódzki 2003/2004

Na udzielenie wszystkich odpowiedzi masz 120 minut.

Zestaw zadań

Zadanie 1.


Adam, Bartek i Czarek wykonują różne zawody: architekta, bankiera i lekarza. Najstarszy z nich zarabia najwięcej, Czarek zarabia 75% tego co najstarszy, a bankier tego, co Czarek. Łącznie zarabiają 7200 zł. Stosunek wieku trzech mężczyzn jest równy 2 : 3 : 4, łącznie mają 108 lat. Pan, który jest najmłodszy nie jest architektem i nie zarabia najmniej. Najstarszy z panów nie ma na imię Adam. Ile zarabia, ile ma lat i w jakim zawodzie pracuje każdy z mężczyzn?

Zadanie 2.


Wykaż, że jest liczbą całkowitą.
Zadanie 3.

Liczbę a powiększono o p%, a następnie otrzymaną liczbę zmniejszono o p%. Jak


i o ile procent zmieniła się liczba a? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 4.


Pociąg, jadący ze stałą prędkością, mija stojącego obserwatora w czasie 4 sekund.
Przez most o długości 60 metrów przejeżdża w czasie 7 sekund. Jaka jest długość tego pociągu? Zapisz obliczenia i odpowiedź.

Zadanie 5.


Wyznacz liczby całkowite x, y, z spełniające układ równań.

Zadanie 6.


Sikorka siedzi na czubku topoli, a wróbel na czubku sosny o wysokości 4 m. Pomiędzy drzewami, w odległości 3 m od sosny, znajduje się źródło, do którego przylatują ptaki. Jeżeli ptaki wystartują jednocześnie, to równocześnie dolecą do źródła. Sikorka lata dwa razy szybciej niż wróbel. Odległość między drzewami jest równa 11 m. Oblicz wysokość topoli. Wykonaj rysunek.

Zadanie 7.


Punkt P jest dowolnym punktem wewnętrznym trójkąta równobocznego o boku a. Oblicz sumę odległości punktu P od boków trójkąta. Wykonaj rysunek.
Zadanie 8.

W trapezie równoramiennym ABCD przekątne przecinają się pod kątem prostym. Oblicz pole tego trapezu, jeżeli jego wysokość wynosi h. Wykonaj rysunek.


Zadanie 9.

Objętość i pole powierzchni całkowitej walca wyrażone są tą samą liczbą. Jaka jest długość promienia podstawy i wysokość tego walca, jeżeli wiadomo, że wyrażone są one liczbami całkowitymi. Podaj wszystkie możliwości.




wiek

24

36

48

zarobki

2400 (zł)

1600 (zł)

3200 (zł)

imię

Czarek

Adam

Bartek

zawód

lekarz

bankier

architekt
Odpowiedzi:

1)

2) =1 + 22+ … + 298 jest liczbą całkowitą 3) o 0,01p2% mniejsza od liczby a

4) 80m 5) 1; 1; 0 6) 6m 7) 8) h2

9) r = 3 H = 6 r = 6 H = 3 r = 4 H = 4
SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ ETAPU WOJEWÓDZKIEGO KONKURSU MATEMATYCZNEGO 2003/2004

Za każde inne niż w schemacie, poprawne i pełne rozwiązanie, przyznajemy maksymalną liczbę punktów za zadanie.




L. pkt.

Poprawne rozwiązanie

Zasady przyznawania punktów

1.

4 p.

Obliczenie zarobków:

xzarobki najstarszego

x + 75%x +  75%x = 7200

x = 3200 (zł) – zarobki najstarszego

75%  3200 = 2400 (zł) – zarobki Czarka



 2400 = 1600 (zł) – zarobki bankiera

Obliczenie liczby lat każdego z panów:

2y + 3y + 4y = 108

y = 12

2 y = 24 – wiek najmłodszego

3y = 36 – wiek środkowego

4y = 48 – wiek najstarszego




wiek

24

36

48

zarobki

2400 (zł)

1600 (zł)

3200 (zł)

imię

Czarek

Adam

Bartek

zawód

lekarz

bankier

architekt




metoda wyznaczenia zarobków

1 p.

metoda obliczenia wieku

1 p.

poprawne obliczenia zarobku i wieku

1 p.

ustalenie imion, zawodów, wieku i zarobków każdego z mężczyzn

1 p.

2.

4 p.

Przekształcenie wyrażenia:

== ... =1 + 22 + .... + 298

Otrzymana liczba 1 + 22 + .... + 298 jest liczbą całkowitą.



pogrupowanie składników sumy

1 p.

wyłączenie z każdej sumy wspólnego czynnika przed nawias

1 p.

doprowadzenie do postaci 1 + 22 + .... + 298

1 p.

stwierdzenie, że otrzymana liczba jest całkowita

1 p.

3.

5 p.

Zapisanie liczby po zwiększeniu o p%:

a + p% a = (1 + )a

Zapisanie i uproszczenie otrzymanej liczby po zmniejszeniu o p%:

(1 + )a – p%(1 + )a = (1 + )a – ( + )a = a + aaa = aa = aa = a% a

Otrzymana liczba jest o % mniejsza od liczby a.



zapisanie liczby a po zwiększeniu o p%

1 p.

zapisanie liczby (1 + )a po zmniejszeniu o p%

1 p.

doprowadzenie otrzymanej liczby

do najprostszej postaci



1 p.

wyznaczenie, o ile procent zmieni się liczba a

1 p.

sformułowanie wniosku, że liczba zmniejszyła się

1 p.

4.

4 p.

x – długość pociągu

- prędkość pociągu

– prędkość pociągu

=

x = 80 (m)

Odp: Długość pociągu wynosiła 80 metrów.




analiza zadania

1 p.

ułożenie równania

1 p.

rozwiązanie równania

1 p.

zapisanie poprawnej odpowiedzi

1 p.

5.

3 p.

Z pierwszego równania wynika, że xy > 0.

Zatem liczby x i y muszą być obie dodatnie lub obie ujemne.

Skoro x + y = 2, a liczby x i y są całkowite, to x = 1, y = 1.

Zatem z = 0.

Trzy liczby całkowite spełniające układ równań to x = 1, y = 1 i z = 0.



uzasadnienie, że xy > 0

1 p.

sformułowanie wniosku, że liczby x i y są tego samego znaku

1 p.

wyznaczenie liczb całkowitych x, y, z spełniających układ równań

1 p.

6.

3
4m
p.



(vt)2 = 32 + 42 i (2vt)2 = 82 + x2

Zatem x = 6 (m)

Odp: Wysokość topoli jest równa 6 m.



wykonanie rysunku z oznaczeniami

1 p.

zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

1 p.

rozwiązanie równania (obliczenie wysokości topoli)

1 p.

7.

3 p.

PABC = PABP + PAPC + PBPC



= ax +ay + az

x + y +z =

wykonanie rysunku z oznaczeniami

1 p.

zapisanie zależności dotyczącej pól trójkątów

1 p.

wyznaczenie sumy odcinków x, y, z

1 p.

8.

4 p.

O


Trójkąty ABO i CDO są prostokątne i równoramienne, zatem ich kąty ostre mają miary 45.
W szczególności kąt ABD ma 45. Wynika stąd, że trójkąt DEB jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Zatem EB = ED = h.

Pole trapezu ABCD jest równe polu kwadratu EBFD, zatem

PABCD = PEBFD = h2


sporządzenie rysunku z oznaczeniami

1 p.

uzasadnienie, że kąt ABD ma miarę 45

1 p.

uzasadnienie, że trójkąt DEB jest równoramienny

1 p.

uzasadnienie, że pole trapezu jest równe polu kwadratu o boku h i zapisanie jego pola

1 p.

9.

4 p.

Wiadomo, że V = Pc walca. Zatem

r2H = 2r2 + 2rH



rH = 2(r +H)

= 2

Promień podstawy i wysokość walca są liczbami całkowitymi. Zatem są trzy pary liczb spełniające warunki zadania:



r = 3 i H = 6

r = 6 i H = 3

r = 4 i H = 4

zapisanie za pomocą wzorów równości objętości i pola powierzchni całkowitej walca

1 p.

przekształcenie równości do prostszej postaci

1 p.

wyznaczenie wszystkich par liczb całkowitych równych promieniowi

i wysokości walca



Jeśli uczeń poda tylko jedną lub dwie pary liczb, to otrzymuje 1 p

2 p.








©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna