Macierze definicja: Niech X będzie ustalonym niepustym zbiorem oraz m, nN



Pobieranie 35.37 Kb.
Data04.05.2016
Rozmiar35.37 Kb.
MACIERZE
DEFINICJA:

Niech X będzie ustalonym niepustym zbiorem oraz m, nN . Funkcję A określoną na zbiorze P={1,2...m}{1,2,...n} o wartościach w zbiorze X nazywamy macierzą wymiaru mn

A : P  X
Jeśli X = R, macierz nazwiemy liczbową rzeczywistą,

jeśli X = C – liczbową zespoloną.


Funkcja zwana macierzą ma zawsze skończoną liczbę wartości. Wartości te zapiszemy w tablicy
tak lub tak A =
Niech A = .

aijX - elementy macierzy

Oczywiście i  {1,2...m} , zaś j {1,2,...n}.
Elementy ai1, ai2,..., ain nazywamy i-tym wierszem (i{1,2...m}), natomiast a1j, a2j,..., amj nazywamy j-tą kolumną (j {1,2,...n}).

Tak więc macierz wymiaru mn ma m wierszy i n kolumn.


Zbiór wszystkich macierzy liczbowych rzeczywistych wymiaru mn oznaczymy Mmn .
UWAGA:

Macierze A = i B = o elementach z tego samego zbioru X są równe, jeśli



  1. mają ten sam wymiar

  2. elementy macierzy A i B stojące w tych macierzach na odpowiednich miejscach są sobie równe, tzn.

aij = bij dla i{1,2...m} oraz j {1,2,...n}.
Elementy macierzy A mogą być także macierzami. Wtedy dla dowolnej pary wskaźników ( i, j) element aij macierzy A jest także macierzą. Jeżeli wszystkie macierze ustawione w tym samym wierszu macierzy A mają tę samą liczbę wierszy i wszystkie macierze ustawione w tej samej kolumnie macierzy A mają tę samą liczbę kolumn, to macierz A nazwiemy blokową, zaś każdy z jej elementów blokiem.

Np.


A = a11= itd.

DEFINICJE:

Niech A = oznacza macierz liczbową wymiaru mn.



  1. Macierz, której wszystkie elementy są równe 0 nazwiemy zerową i oznaczymy (lub , jeśli wymiar tej macierzy jest znany) np.



  1. Jeśli m = n, macierz nazwiemy kwadratową stopnia n. Elementy a11, a22,..., ann nazwiemy główną przekątną macierzy A.



  1. Macierz kwadratową stopnia n>1 taką, że lub nazywamy trójkątną np.

macierz A= nazwiemy trójkątną górną,

zaś B= trójkątną dolną.



  1. Macierz kwadratową stopnia n>1 taką, że nazwiemy diagonalną np.

A=.

  1. Taką macierz diagonalną, w której nazwiemy macierzą jednostkową stopnia n i oznaczymy In lub po prostu I, jeśli nie budzi to żadnych wątpliwości np.

I4 = .

  1. Macierz B = określoną następująco: nazywamy macierzą transponowaną do A i oznaczamy AT. Tak więc



Zaobserwujmy proste własności transponowania macierzy


TWIERDZENIE 1:

Jeśli macierz A ma wymiar mn , to macierz AT ma wymiar nm.

TWIERDZENIE 2:


Dla dowolnej macierzy A mamy (AT)T=A.


DZIAŁANIA NA MACIERZACH LICZBOWYCH


Niech A= oraz B= będą macierzami o elementach z ciała K. Założyliśmy, że macierze A i B mają ten sam wymiar mn.


DODAWANIE:

Sumą macierzy A i B ( oznaczaną A+B) nazywamy taką macierz C= , że

cij = aij +bij dla i{1,2...m} oraz j {1,2,...n}.

MNOŻENIE MACIERZY PRZEZ LICZBĘ:


Niech K. Iloczynem macierzy A przez liczbę  (oznaczaną A) nazywamy taką macierz D = , że

dij=  aij dla i{1,2...m} oraz j {1,2,...n}.

Ćwiczenie:

A= , B= ,  = -3 ,  = 2. Obliczyć A+B. W zadaniu K = R.


WŁASNOŚCI DODAWANIA MACIERZY I MNOŻENIA MACIERZY PRZEZ LICZBĘ.
TWIERDZENIE:

Niech A, B i C będą macierzami liczbowymi tego samego wymiaru mn o elementach z ciała K. Wtedy:




  1. A + B = B + A

  2. A + = +A = A Zbiór (Mmn , +) jest grupą

  3. (A + B) + C = A + (B + C) abelową.

  4. A + (-1)A =

Ponadto:


    1. (A + B) = A + B

    2. 1 A = A

    3. ( + )A = A + A

    4. ()A =  (A)

    5. (A + B)T = AT + BT

10) ( A)T =  AT
DEFINICJA:

Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n.

Macierz A nazywa się symetryczną, jeśli A = AT, zaś antysymetryczną , gdy A = -AT.

UWAGI:


  1. Macierz A= jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy .

  2. Macierz A= jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy .

W szczególności, jeśli i = j, to musi być


aii = -aii, zatem aii=0.
TWIERDZENIE:

Każdą macierz kwadratową A można przedstawić w jeden tylko sposób jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej.

Dowód: .....

ILOCZYN MACIERZY

DEFINICJA:

Niech A = [aij] będzie macierzą wymiaru mn, zaś B = [bij] macierzą wymiaru nk. Iloczynem macierzy A i B (oznaczanym AB) nazywamy taką macierz C = [cij], że



.
MNOŻENIE MACIERZY NIE JEST PRZEMIENNE !!!
WŁASNOŚCI ILOCZYNU MACIERZY:

  1. Niech A będzie macierzą wymiaru mn, zaś B, C macierzami wymiaru nk. Wtedy
A(B + C) = AB + AC
  1. Niech A i B będą macierzami wymiaru mn oraz C macierzą wymiaru nk. Wtedy

(A + B)C = AC + BC
  1. Niech A będzie macierzą wymiaru mn , B macierzą wymiaru nk oraz K. Wtedy

A(B) = (A)B = (AB)
  1. Niech A będzie macierzą wymiaru mn, B macierzą wymiaru nk oraz C macierzą wymiaru kl. Wtedy
(AB)C =A(BC)
  1. Niech A będzie macierzą wymiaru mn. Wtedy

ImA = A = A In

  1. Niech A będzie macierzą wymiaru mn , B macierzą wymiaru nk. Wtedy

(AB)T = BTAT .


©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna