Matura z matematyki – zadania z arkuszy a I p p. WsiP



Pobieranie 56.79 Kb.
Data04.05.2016
Rozmiar56.79 Kb.

Matura z matematyki – zadania z arkuszy A I p.p. WSiP



Zad.1. (3 pkt)

Rysunek poniżej przedstawia rozwiązanie nierówności z niewiadomą x. Wyznacz m.




Zad.2. (3 pkt)

W trójkącie równobocznym bok jest o 2 cm dłuższy od wysokości. Oblicz pole tego trójkąta.


Zad.3. (6 pkt)

Jednym z czynników określających opłacalność inwestycji przy zakupie akcji na giełdzie jest tak zwana stopa zwrotu. Stopę zwrotu P można wyznaczyć, korzystając ze wzoru



,

gdzie KZ oznacza kurs akcji w dniu zakupu, a KS kurs akcji w dniu sprzedaży. Na diagramie poniżej przedstawiono kursy akcji pewnej spółki.





  1. Wyznacz, z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku, stopę zwrotu dla tej spółki zakładając, że jej akcje zakupiono 25 stycznia, a sprzedano 14 lutego.

  2. Akcje kupiono 30 stycznia. Wyznacz datę sprzedaży, jeżeli stopa zwrotu wyniosła w tym czasie w przybliżeniu 2,76%.


Zad.4. (4 pkt)

Zapis min{a,b} oznacza nie większą z liczb a i b. Na przykład: min{2, -3} = -3; . Zbadaj liczbę rozwiązań równania min{x,3} = a + 1, gdzie , w zależności od a.


Z

ad.5. (6 pkt)

Obok przedstawiono wykres funkcji .

Określ znaki współczynników a, b, c funkcji f.

Odpowiedź uzasadnij.



Zad.6. (5 pkt)

Funkcja dana jest wzorem:





  1. Wyznacz liczbę miejsc zerowych funkcji f.

  2. Sprawdź, czy liczba –3 może być wartością funkcji f.


Zad.7. (4 pkt)

Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu . Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu W.


Zad.8. (5 pkt)

Dane są liczby: , , .



  1. Wykaż, że dane liczby w podanej kolejności są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

  2. Przyjmij, że liczba jest pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego (an), w którym liczba jest drugim wyrazem i wyznacz sumę czterdziestu dwóch początkowych wyrazów tego ciągu.


Zad.9. (6 pkt)

Droga krajowa o szerokości równej 8 m przecina pod kątem o mierze równej 45 drogę lokalną, która ma szerokość równą 6 m. Oblicz pole części wspólnej obu dróg. Wynik zaokrąglij do pełnych cm2.


Zad.10. (3 pkt)

W drużynie jest 11 piłkarzy, w tym jeden bramkarz. Średnia wieku piłkarzy bez bramkarza wynosi 21 lat, natomiast średnia wieku całej drużyny wynosi 22 lata. Oblicz, ile lat ma bramkarz.


Zad.11. (5 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni całkowitej jest sześć razy większe od sumy pól obu podstaw tego graniastosłupa. Oblicz cosinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z krawędzią podstawy tego graniastosłupa.



Matura z matematyki – zadania z arkuszy A II p.p. WSiP



Zad.1. (3 pkt)

Dana jest nierówność . Wyznacz wszystkie liczby pierwsze należące do zbioru rozwiązań tej nierówności.


Zad.2. (3 pkt)

Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej najmniejszą z liczb całkowitych większych od tej liczby.



  1. Naszkicuj wykres funkcji f w przedziale .

  2. Uzasadnij, że funkcja f jest funkcją rosnącą.


Zad.3. (4 pkt)

Pierwsze trzy wyrazy nieskończonego rosnącego ciągu geometrycznego (an) spełniają równanie . Wyznacz iloraz ciągu (an).


Zad.4. (4 pkt)

Liczba naturalna x jest podzielna przez 7, gdy wartość bezwzględna z różnicy między liczbą zbudowaną z trzech ostatnich cyfr liczby x (bez zmiany ich kolejności) a liczbą zbudowaną z pozostałych cyfr tej liczby (również bez zmiany ich kolejności) dzieli się przez 7.

Na przykład liczba 2286526 jest podzielna przez 7, ponieważ 526-2286 = 1757 = 7251.


  1. Stosując podaną wyżej cechę podzielności sprawdź, czy liczba 953456 jest podzielna przez 7.

  2. Oblicz, jaką cyfrą należy zastąpić literę m, by liczba 126542m była podzielna przez 7.


Zad.5. (5 pkt)

W trójkącie ABC długość boku BC = 6, a miary kątów przy wierzchołkach A i B są równe odpowiednio 45 i 75. Wyznacz stosunek, w jakim wysokość poprowadzona z wierzchołka B dzieli bok AC.


Zad.6. (5 pkt)

Dana jest funkcja f o równaniu .



  1. Wyznacz zbiór wartości funkcji f.

  2. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f w przedziale .


Zad.7. (6 pkt)

W pudełku znajdują się białe i pomarańczowe piłeczki do ping-ponga. Wszystkich piłeczek jest 2k + 2. Piłeczek pomarańczowych jest o k więcej niż piłeczek białych. Z pudełka wylosujemy piłeczkę. Zdarzenie A oznacza – wylosowano piłeczkę białą, zdarzenie B – wylosowano piłeczkę pomarańczową. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe . Wyznacz liczbę piłeczek pomarańczowych oraz prawdopodobieństwo zdarzenia B.


Zad.8. (5 pkt)

Punkty A=(0;3), B=(0;0), C=(-5;0), D=(x;3), gdzie xR są kolejnymi wierzchołkami czworokąta ABCD. Wyznacz wartość x, dla której sumy długości przeciwległych boków czworokąta ABCD są równe.


Zad.9. (5 pkt)

Lewa strona równania 4 + 1 – 2 – 5 + … + x = -546 jest sumą n początkowych wyrazów nieskończonego ciągu arytmetycznego. Rozwiąż to równanie.


Zad.10. (6 pkt)

W stożku tworząca o długości tworzy z wysokością tego stożka kąt, którego cotangens jest równy . Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy tego stożka.


Zad.11. (4 pkt)

Uzasadnij, że nie istnieją rozwiązania nierówności , które są liczbami naturalnymi.




Matura z matematyki – zadania z arkuszy A III p.p. WSiP



Zad.1. (3 pkt)

Wyznacz największą liczbę naturalną, która jest rozwiązaniem nierówności .


Zad.2. (4 pkt)

W trójkącie równoramiennym ramię jest o 6 cm krótsze od podstawy. Zapisz obwód tego trójkąta jako funkcję długości jego podstawy i podaj dziedzinę oraz zbiór wartości tej funkcji.


Zad.3. (4 pkt)

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej f są równe -1 i 5. Wykres tej funkcji przecina oś OY w punkcie (0;10). Oblicz największą wartość, jaką przyjmuje funkcja f.


Zad.4. (4 pkt)

Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość równą 12 cm. W trójkąt ten wpisano kwadrat o boku długości 9 cm w taki sposób, że dwa wierzchołki kwadratu należą do podstawy, a pozostałe dwa do ramion trójkąta. Oblicz pole tego trójkąta.


Zad.5. (5 pkt)

Senat Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie uchwalił, ze wyniki egzaminu maturalnego z matematyki i języka obcego będą w 2008 roku przeliczane na punkty rekrutacyjne według następujących zasad:



W = 4P + J, gdzie:


Załóżmy, że maturzysta A zdawał matematykę i język obcy na poziomie rozszerzonym i uzyskał wyniki z tych przedmiotów odpowiednio 48 i 60, a maturzysta B zdawał matematykę na poziomie rozszerzonym i język obcy na poziomie podstawowym i uzyskał wyniki odpowiednio 50 i 90.

  1. Oblicz, który z maturzystów otrzyma więcej punktów rekrutacyjnych.

  2. Maturzysta C zdawał matematykę na poziomie podstawowym i język obcy na poziomie rozszerzonym. Zdobył 346 punktów rekrutacyjnych. Wynik tego egzaminu z języka obcego jest o 14 wyższy niż wynik egzaminu z matematyki. Oblicz, jaki wynik uzyskał maturzysta C z matematyki, jeżeli wiadomo, że maturzysta ten z języka obcego uzyskał wynik niższy niż 75.


Zad.6. (5 pkt)

Jeżeli  jest kątem ostrym takim, że , to wartość wyrażenia można obliczyć stosując następującą metodę:



  • Obliczamy ;

  • Ponieważ , więc ;

  • Stąd ;

  • Obliczamy ;

  • Zatem .

Kąt  jest kątem ostrym takim, że . Stosując opisaną wyżej metodę, oblicz wartość wyrażenia .

Zad.7. (4 pkt)

Zapis max{a,b} oznacza nie mniejszą z liczb a i b.

Na przykład: max{2, -3} = 2; . Zbadaj liczbę rozwiązań równania max{x,3} = a + 1, gdzie , w zależności od a.
Zad.8. (5 pkt)

W pubie „Maturka” spotkało się 10 osób, których średnia wieku wynosi 19 lat. Po dwóch godzinach doszły jeszcze dwie osoby, jedna starsza o 2 lata od drugiej i średnia wieku uczestników spotkania wyniosła wtedy 20 lat. Oblicz, ile lat miała każda z osób spóźnionych na spotkanie.


Zad.9. (6 pkt)

W pudełku pierwszym umieszczono 6 kul białych i 3 zielone, a w drugim 10 kul białych i 16 zielonych. Oblicz:



  1. ile najmniej kul i jakiego koloru należy zabrać z pudełka drugiego, aby prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pudełka pierwszego było takie samo jak prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej z pudełka drugiego;

  2. ile najmniej kul i jakiego koloru należy dołożyć do pudełka drugiego, aby prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pudełka pierwszego było takie samo jak prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pudełka drugiego.


Uwaga!

Można zabierać (w pkt. a) lub dokładać (w pkt. b) tylko kule jednego koloru.


Zad.10. (5 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi bocznej jest k razy większa od długości krawędzi podstawy. Wyznacz wszystkie wartości k, dla których długości: krawędzi podstawy, przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego.


Zad.11. (5 pkt)

Dane są liczby: , 1, .



  1. Wykaż, że dane liczby w podanej kolejności są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

  2. Przyjmij, że dane liczby są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego (an). Wyznacz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.


Matura z matematyki – zadania z arkuszy A I p.r. WSiP



Zad.1. (3 pkt)

Suma wszystkich współczynników trójmianu kwadratowego T jest równa zeru. Wykaż, że trójmian T posiada co najmniej jedno miejsce zerowe.


Zad.2. (8 pkt)

Ciąg (an) dany jest wzorem an = 4n – 1, bn = – 4n – 1. Ciąg (cn) określony jest następująco:



c1 = a1

c2 = b1

c3 = a2

c4 = b2

c5 = a3

c6 = b3 itd.

  1. Wykaż, że ciąg (cn) nie jest ciągiem arytmetycznym.

  2. Oblicz c2007.

  3. Wyznacz sumę n początkowych wyrazów ciągu (cn).


Zad.3. (3 pkt)

Oblicz cyfrę jedności w liczbie 32008.


Zad.4. (4 pkt)

Funkcja f dana jest wzorem .

Wyznacz wszystkie te wartości x, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie.
Zad.5. (5 pkt)

Dany jest kąt  o mierze 60. Wewnątrz kąta  wybrano punkt A, którego odległości od ramion tego kąta są równe 10 cm i 12 cm. Oblicz odległość punktu A od wierzchołka kąta .


Zad.6. (5 pkt)

Punkty A=(0;3), B=(0;0), C=(-5;0), D=(x;3), gdzie xR są kolejnymi wierzchołkami czworokąta ABCD. Wyznacz wartość x, dla której w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.


Zad.7. (7 pkt)

Funkcja f zmiennej rzeczywistej x z dodatnimi współczynnikami b i c dana jest wzorem . Miejscem zerowym funkcji f jest liczba , a najmniejsza wartością tej funkcji jest . Oblicz największą wartość funkcji f w przedziale .


Zad.8. (6 pkt)

Kierownik sklepu przyjął następującą strategię badania jakości towaru dostarczonego przez producenta: Przyjmuje do sprzedaży partię komputerów, gdy okaże się, że na dwa wylosowane z tej partii komputery oba są sprawne. Ile maksymalnie niesprawnych egzemplarzy może zawierać partia 50 komputerów, aby prawdopodobieństwo przyjęcia przez sklep tej partii było większe niż 95%?


Zad.9. (5 pkt)

Uzasadnij, że nie istnieje para liczb całkowitych, spełniających podany układ równań.




Zad.10. (4 pkt)

Dany jest kwadrat o boku długości 24 cm. Środki sąsiednich boków i wierzchołek kwadratu nienależący do tych boków połączono, otrzymując w ten sposób siatkę ostrosłupa. Naszkicuj ten ostrosłup i oblicz jego objętość.




Matura z matematyki – zadania z arkuszy A II p.r. WSiP




Zad.1. (4 pkt)

Funkcja f określona jest wzorem . Zapisz wzór i naszkicuj wykres funkcji h(m) = k, gdzie k jest liczbą rozwiązań równania f(x) = m.


Zad.2. (4 pkt)

Ciąg (an) zdefiniowany jest następująco: .

Oblicz sumę 45 początkowych wyrazów ciągu (an).
Zad.3. (5 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie q, to .


Zad.4. (4 pkt)

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest implikacja: .


Zad.5. (7 pkt)

W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj figurę , gdzie: , , C – zewnętrze koła o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym . Oblicz pole figury F.


Zad.6. (5 pkt)

Funkcja f dana jest wzorem . Naszkicuj wykres tej funkcji w przedziale .


Zad.7. (4 pkt)

Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 4 cm. W trójkąt ten wpisano trzy okręgi o równych promieniach tak, że każdy z tych okręgów jest styczny do dwóch pozostałych okręgów i do dwóch boków trójkąta. Oblicz długości promieni tych okręgów.


Zad.8. (7 pkt)

Dany jest punkt M=(2;8). Wyznacz równanie takiej prostej k, do której należy punkt M, że na ujemnej półosi OX i dodatniej półosi OY układu BOY prosta ta wyznacza odcinki OA i OB., których suma długości jest równa 6. Oblicz obwód trójkąta AOB.


Zad.9. (6 pkt)

W pewnym kasynie są dwa rodzaje automatów do gry. Automaty te zewnętrznie się nie odróżniają. Prawdopodobieństwo wygrania na automacie I. rodzaju jest równe 20%, a prawdopodobieństwo wygrania na II. Rodzaju jest równe 15%. Automatów I. rodzaju jest o 2 mniej niż automatów II. rodzaju. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że gracz wygra, grając raz na losowo wybranym automacie, jest równe . Oblicz, ile automatów do gry jest w tym kasynie.


Zad.10. (4 pkt)

Stosunek pola podstawy stożka do pola powierzchni kuli wpisanej w ten stożek jest równy . Wykaż, że przekrój osiowy tego stożka jest trójkątem równobocznym.




Matura z matematyki – zadania z arkuszy A III p.r. WSiP



Zad.1. (3 pkt)

Zapis min{a,b} oznacza nie większą z liczb a i b. Na przykład: min{3, -2} = -2; . Oblicz, o ile istnieją, miejsca zerowe funkcji f danej wzorem .


Zad.2. (3 pkt)

Wykaz, że dla wszystkich liczb rzeczywistych a prawdziwa jest nierówność .


Zad.3. (2 pkt)

Wykaż, że reszty z dzielenia wielomianu przez dwumian x + 1 oraz przez dwumian



x – 1 są równe.
Zad.4. (5 pkt)

Funkcja f dana jest wzorem . Naszkicuj wykres funkcji f i wyznacz najmniejszą i największą wartość tej funkcji w przedziale .


Zad.5. (6 pkt)

Prostokątną kartkę papieru o wymiarach 4 cm i 6 cm złożono wzdłuż przekątnej. Otrzymane w ten sposób dwa trójkąty mają część wspólną T, która również jest trójkątem. Oblicz cosinus tego z kątów trójkąta T, który ma największą miarę.


Zad.6. (3 pkt)

Uzasadnij, że równanie nie ma rozwiązania.


Zad.7. (7 pkt)

Rozwiąż równanie .


Zad.8. (7 pkt)

Punkty A=(1;4), B=(7;2), C=3;5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wyznacz współrzędne punktu P należącego do odcinka AB tak, aby suma odwrotności pól trójkątów APC i CPB była najmniejsza.


Zad.9. (5 pkt)

Firma przeznaczyła na pomieszczenia biurowe dla swoich pracowników 20 pokoi. Poniżej zestawiono jaki procent liczby pokoi stanowią pokoje jedno-, dwu-, trzy- i czteroosobowe:




liczba pracowników w pokoju

1

2

3

4

Liczba pokoi

40%

25%

20%

15%

Na posiedzeniu zarządu tej firmy postanowiono wylosować numery trzech pokoi, w których zostaną zainstalowane kamery przemysłowe, za pomocą których będzie można monitorować bezpieczeństwo i jakość pracy urzędników. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A – monitoringiem objętych zostanie co najmniej 5 pracowników.


Zad.10. (5 pkt)

Sześcian o krawędzi a przecięto płaszczyzną zawierającą przekątną jednej ze ścian sześcianu i środki dwóch prostopadłych krawędzi przeciwległej ściany. Wyznacz długości przekątnych otrzymanego przekroju.


Zad.11. (4 pkt)

Funkcja f dana jest wzorem . Naszkicuj wykres funkcji f.







©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna