Modele arch I garch



Pobieranie 15.93 Kb.
Data02.05.2016
Rozmiar15.93 Kb.


Modele ARCH i GARCH

Jedną z cech typowych dla finansowych szeregów czasowych jest tzw. grupowane wariancji, wyraźnie widoczne na wykresie zwrotów z dowolnego instrumentu (czy to akcji, czy indeksów, czy kursów walutowych). W celu wykorzystania tego zjawiska w modelowaniu zmiennych finansowych skonstruowano modele ARCH, później GARCH i rozmaite ich uogólnienia.



Rys. 1. Wykresy zwrotów pewnego indeksu giełdowego

Źródło: opracowanie własne

Autorem modeli typu ARCH jest Robert F. Engle (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation, „Econometrica”, 50, s. 987–1007, 1982).

Dobry opis modeli ARCH i GARCH wraz z dokładną tablicą ilustrującą klasyfikację różnych wersji tych modelu można znaleźć w książce Janusza Brzeszczyńskiego i Roberta Kelma „Ekonometryczne modele rynków finansowych. Modele kursów giełdowych i kursów walutowych”, WIG-PRESS, Warszawa 2002, zapis wzorów w niniejszym omówieniu oparty jest właśnie na tym tekście.

Znacznie obszerniejsza jest monografia Małgorzaty Doman i Ryszarda Domana „Ekonometryczne modelowanie dynamiki polskiego rynku finansowego”, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu. Rozdział 7 tej książki poświęcony jest właśnie modelom GARCH, następne rozdziały dotyczą innych typów modeli (m.in. modele stochastycznej zmienności, modele dwuliniowe; modelowanie wartości zagrożonej ryzykiem, i in.).

Model ARCH zawiera równanie opisujące wariancję składnika losowego przy użyciu modelu autoregresji AR(S):





Proces stochastyczny kształtujący  opisany tym wzorem nazywany jest autoregresyjnym procesem z warunkową heteroskedastycznością (autoregressive conditional heteroskedasticity), stąd skrót ARCH.

Stosowany jest również zapis (Brzeszczyński, Kelm, str. 45):

 , gdzie 

Wielkość  równa jest warunkowej wartości oczekiwanej składnika losowego (warunkowo względem wartości obserwowanych w poprzednim okresie), więc warunkowa wariancja jest zmienna w czasie.

Wariancja (bezwarunkowa) jest natomiast równa .

Liniowy model zwrotów danego instrumentu finansowego, zakładający że składniki losowe generowane są zgodnie z procesem ARCH, ma postać:



, (1)

gdzie  , (2)



 (3)

W pierwszym równaniu występują dodatkowe zmienne objaśniające. Można tu w najprostszym przypadku wykorzystać model autoregresji  względem ich opóźnionych wartości, albo wzbogacić model o zmienne np. odpowiadające czynnikom fundamentalnym (zmienne makroekonomiczne itp.).

Można szacować model metodą najmniejszych kwadratów, ale metoda największej wiarygodności jest bardziej efektywna; inne metody estymacji to uogólniona metoda momentów (GMM) oraz quasi-MNW.

Test Engle’a efektu ARCH

Aby sprawdzić, czy warto w modelu liniowym zastosować drugie równanie warunkowej heteroskedastyczności, albo po prostu sprawdzić czy zwroty z danego instrumentu mają własność grupowania wariancji opisane warunkową heteroskedastycznością, stosujemy test Engle’a efektu ARCH:

Sposób przeprowadzenia testu jest następujący. Szacujemy regresję kwadratów reszt względem reszt opóźnionych

(Test ARCH)

i wyznaczamy współczynnik determinacji dla tej regresji .

Hipoteza zerowa o braku efektu ARCH odpowiada założeniu



Hipoteza alternatywna oznacza, że parametry są istotne: , i odpowiada występowaniu efektu ARCH.

Statystyka testu ma postać  i ma rozkład asymptotyczny  o S stopniach swobody; T oznacza liczbę obserwacji w próbie.

W przypadku gdy szacujemy równanie (Test ARCH) bezpośrednio metodą najmniejszych kwadratów w gretl, tabela z wynikami estymacji zawiera m.in. wartość statystyki F testu Walda łącznej istotności opóźnionych kwadratów. Podany jest poziom istotności tej statystyki.

Jeśli obliczona wartość statystyki przekracza wartość krytyczną, hipotezę zerową o braku efektu ARCH należy odrzucić. Jeśli empiryczny poziom istotności statystyki jest mniejszy niż np. 0,05, hipotezę zerową o braku efektu ARCH należy odrzucić.

Dokładnie tak samo można sprawdzić efekt ARCH dla wyjściowego szeregu zwrotów . Przypomnijmy, że dla zmiennych finansowych wyznaczamy , gdzie oznacza wycenę instrumentu w momencie t.

Oto wykresy odpowiednio zwrotów logarytmicznych dla WIG20 w okresie od początku roku 2000 do końca lipca 2009, oraz kwadratów zwrotów logarytmicznych w tym samym okresie. Widać, że w momentach kryzysów, gdy zmienność na rynkach finansowych rosła, również WIG20 wykazywał większe wahania niż przeciętnie. Na wykresie kwadratów zwrotów różnice pomiędzy wartościami w okresach spokojniejszych i w okresach kryzysów są jeszcze bardziej widoczne.

Wykres zwrotów z WIG20



Wykres kwadratów zwrotów z WIG20



Model GARCH

Model GARCH, wprowadzony przez Bollersleva [1986], ma podobne cele jak model ARCH, ale tzw. oszczędniejszą parametryzację. Funkcja wariancji warunkowej ma postać:



Zakłada się, że wyraz wolny jest dodatni, a pozostałe parametry nieujemne.

W szczególności model GARCH(1,1) ma postać:

Umożliwia zwykle dokładny opis zjawisk finansowych, przy czym jest bliskie 1 (Brzeszczyński i Kelm powołują się tu na wyniki Bollersleva i in. [1994]).

Bollerslev, T. [1986] Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity, “Journal of Econometrics”, 31, 307–327.

Bollerslev, T. , R.F. Engle, D. Nelson [1994], ARCH Models, w: Engle, R.F., McFadden, D.L. (red.), “Handbook of Econometrics”, IV, Elsevier, Amsterdam, s. 2959–3038.



Miary zgodności kierunku (Brzeszczyński i Kelm, str. 61–64)

Miara oceny predyktywnych zdolności modelu, sprawdzająca trafność przewidywania zmian kierunku:



Porównujemy liczbę obserwacji, dla których , z liczbą obserwacji, dla których obie wartości – empiryczna i teoretyczna – są niezerowe.

Zdolność przewidywania punktów zwrotnych:

Miary sprawdzające, czy model odzwierciedla duże zmiany kursowe, jaka jest wielkość błędów modelu gdy prawidłowo odwzorowuje zmiany kursowe, miary uwzględniające 1% koszty transakcyjne.



Dla modeli ARCH proponują miary oparte na relacji między zwrotami i wariancją warunkową:



©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna