Niezbędnik ekonomisty roboczy



Pobieranie 0.94 Mb.
Strona2/13
Data10.05.2016
Rozmiar0.94 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

11 10 1


9 2

8 3


.

( α Kupowane ilości Qd 0 11

11

W ekonomii funkcje odwrotne wykorzystywane są do ilustracji zjawiska popytu i podaży. W dalszych wykładach wyjaśnimy, czym można to uzasadnić. Jeżeli np. funkcja popytu przyjmuje postać C= a – b*Qd gdzie a i b to wielkości stałe, to jej wykresem jest linią prostą, o stałym ujemnym nachylenie tgα=-b. Jeżeli jednak krzywa jest wypukła na zewnątrz bądź w kierunku początku układu współrzędnych, jej nachylenie jest zmienne, jest to zatem funkcja ze zmiennym przyrostem.


Funkcje ze zmiennym przyrostem
W ekonomii, technice i w ogóle w życiu często spotykamy sytuacje, gdy stałej zmianie wielkości niezależnej towarzyszą coraz większe lub coraz mniejsze przyrosty zmiennej zależnej. Mamy wówczas do czynienia z funkcjami ze zmiennymi przyrostami, lub, co na jedno wychodzi, z funkcjami o zmiennym nachyleniu. Oto przykład funkcji z rosnącymi skokowo przyrostami, czyli funkcji o rosnącym nachyleniu
Funkcja z przyrostem rosnącym
Wyobraźmy sobie, że analizowana firma zatrudnia kolejno coraz lepszych pracowników, co owocuje jak przedstawiono poniżej w tabeli coraz większym przyrostem produkcji Y towarzyszącym wzrostowi zatrudnienia o jednostkę X= 1 W tej sytuacji mamy do czynienie z funkcją z rosnącym przyrostem

Rys . Funkcja z przyrostem rosnącym


Y

X

ΔX

Y

ΔY

tg =Y/X

0

-

0

-

-

1

1

2

2

2

2

1

5

3

3

3

1

9

4

4

4

1

14

5

5

1 2 3 4 X

Funkcja z przyrostem rosnącym

Poniżej zamieszczamy z kolei przykład funkcji z malejącym skokowo przyrostem, czyli funkcji o malejącym nachyleniu. Wyobraźmy sobie, że firma zatrudnia kolejno coraz gorszych pracowników (zmienna X). Efektem dodatkowego zatrudnienia o X=1 są coraz mniejsze przyrosty produkcji Y. Ponieważ przyrosty są wielkości skończone (dyskretne) wykresem funkcji jest linia łamana, Gdy przyrosty są nieskończenie małe, wykresem funkcji jest linia ciągła.


Rys Funkcja z przyrostem malejącym

Y


X

X

Y

Y

tgYX

0

0

0

0




1

1

5

5

5

2

1

9

4

4

3

1

12

3

3

4

1

14

2

2



12

9
5 



 

0 1 2 3 X


Zmienne, których wielkości osiągają ekstrema.
Często się zdarza, że przyrosty funkcji zmieniają się z dodatnich na ujemne lub na odwrót. Zanim do tego dojdzie ich wartości bezwzględne stopniowo spadają. Gdy przyrost funkcji osiąga wartość zerową zmienia ona nachylenie zerowe Jednocześnie osiąga ona maksymalny lub minimalny poziom, czyli inaczej mówiąc funkcja znajduje się w ekstremu

Rys A Funkcja z maksimum Rys B Funkcja z minimum



Y Y


Y0

Y=max




Y1

Y1

Y0

Y=min

X0 X1 Xopt X X0 X1 Xopt X


Ekstremalne wielkości możemy badać jedynie dla funkcji, których zmiany zmiennej zależnej są w badanym okresie i przy danej ilości przeprowadzonych prób początkowo rosnące, następnie zaś malejące do zera lub odwrotnie wpierw malejące, do zera, a potem rosnące.

Ekstremum funkcji jest pojęciem bardzo przydatnym w ekonomii. W analizach zachowań podmiotów gospodarczych przyjmuje się, że mają one swoje możliwe do syntetycznego zapisania cele, które starają się w danych warunkach zmaksymalizować lub zminimalizować. Dla konsumenta celem tym będzie osiągnięcie maksymalnego zadowolenia (użyteczności całkowitej) z przeznaczonych na wydatkowanie środków pieniężnych. Celem producenta może być maksymalizacja zysków lub nie jest w stanie ich osiągnąć minimalizacja strat. Stąd też ekonomiści często wykorzystują w swych teoriach funkcje, które osiągają minimum lub maksimum.

Dobrym przykładem funkcji z minimum jest zależność pomiędzy szybkością jazdy X a zużyciem paliwa na 100 km Y. Przykładem funkcji z maksimum jest funkcja utargu całkowitego UC=Q*C warunkach ujemnie nachylonej liniowej funkcji popytu, liczonego jako iloczyn ceny C i sprzedanych ilości Q Przedstawia ją zamieszczona poniżej tabela


Sprzedaż (Q)

Cena ( C)

Utarg całkowity (UC)=Q*C

0

11

0*11= 0

1

10

1*10= 10

2

9

2*9 = 18

3

8

3*8 = 24

4

7

4*7 = 28

5

6

5*6 = 30

6

5

6*5 = 30

7

4

7*4 = 28

8

3

8*3 = 24

9

2

9*2 = 18

10

1

10*1= 10

11

0

11*0= 0

Po naniesieniu danych z tabeli do układu współrzędnych otrzymujemy wykresu funkcji popytu rynkowego i utargu całkowitego


Rys. Krzywe popytu rynkowego D i utargu całkowitego UC


C, UC


UC=max=30


Cp
D
C=5
D


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Q

Z tabeli i ilustrującego ją wykresu wynika, że przy liniowej ujemnie nachylonej funkcji popytu, gdy cena spada a sprzedane ilości rosną, to utarg całkowity najpierw rośnie przy cenie C= 5i 6 oraz odpowiadających im ilościach Q=5 i 6 osiąga wartość maksymalną, a następnie maleje do zera.
Funkcje z punktem przegięcia
Wyobraźmy sobie sytuację, w której wzrostowi jednej wielkości towarzyszy najpierw coraz większy przyrost (rosnące nachylenie funkcji), a potem coraz mniejszy (malejące nachylenie), by w końcu z dodatniego zmienić się na ujemny. Takie zachowanie zmiennych ilustruje poniższa tabela. Ilustracją graficzną zawartych w tabeli danych sytuacji jest funkcja z punktem przegięcia.

Rys. Krzywa Knight`a



Produkcja X Lx X X/ Lx

0 0 0

1 1 1


2 3 2 rosnący

3 6 3


4 10 4 max

5 13 3

6 15 2 malejący

7 16 1

Produkt krańcowy 4 8 Lx 8 16 (max) 0 zerowy

X/ Lx 9 15 -1 ujemny

10 13 -2


Ilość zatrudnionych Lx




4 8


Funkcja ta zwana od nazwiska jej twórcy amerykańskiego ekonomisty Franka Knight`a (1885–1972) zwana krzywą Knight`a, ilustruje graficznie krótkookresowa funkcja produkcji. Jej kształt ilustruje jedno z najważniejszych praw mikroekonomicznych, zwane prawem nieproporcjonalnych przychodów z czynnika zmiennego. Prawo to głosi, że jeśli będziemy powiększali ilości czynnika zmiennego np. pracy kolejno o takie same jednostki (w naszym przykładzie o Lx=1) i dodawali ją do stałych ilości pozostałych czynników wytwórczych (kapitału i ziemi), to uzyskiwane z dodatkowej jednostki pracy przyrosty produkcji X/Lx, zwane produktem krańcowym lub marginalnym będą najpierw coraz większe, po przekroczeniu pewnego krytycznego poziomu) punkt przegięcia funkcji) stają się coraz mniejsze, wreszcie od pewnego poziomu zatrudnienia produkt krańcowy pracy ludzkiej z dodatniego zmienia się na ujemny
Nachylenie linii ciągłych ze zmiennym przyrostem
W przypadku funkcji z nieskończenie małymi przyrostami zmianom zmiennej niezależnej X towarzyszą nieskończenie małe zmiany zmiennej zależnej Y.

Rys.A Rys. B

Y Y

60 b b

40 b`

Y

a  a `

30 X

X `` X

20 30 20 25 30

Gdy nachylenie jest zmienne (linia wygięta) możemy mieć do czynienia z krzywą wypukłą względem początku układu współrzędnych lub krzywą wypukłą na zewnątrz układu W zależności od tego czy mamy do czynienia ze zmianami dyskretnymi, czy nieskończenie małymi mierzymy na łuku lub w punkcie.

Spróbujmy najpierw obliczyć nachylenie krzywej na rysunku A na skończonym odcinku miedzy punktami a b Przy przejściu z jednego punktu do drugiego występują mierzalne różnice Y i X. Aby obliczyć nachylenie na tym odcinku, (czyli na łuku), łączymy oba punktu linię prostą Tangens kąta tej linii, czyli stosunek przyrostu zmiennej zależnej Y do przyrostu zmiennej niezależnej X. jest miarą nachylenia naszej linii ale tylko na tym odcinku W naszym przykładzie nachylenie krzywej na odcinku a b wynosi tg = Y/X czyli (60 – 30)/(30 – 20) = 30/10 = 3

Coraz mniejszym przyrostom ΔX towarzyszyć będą coraz mniejsze przyrosty ΔY, zatem odległość między punktami a i b będzie się zmniejszać. W sytuacji, gdy przyrosty będą nieskończenie małe, co zapisujemy symbolicznie jako δX i δY, odległość między punktami a i b zmniejszy się do tego stopnia (stanie się nieskończenie mała), że zleją się one tworząc właściwie jeden punkt oznaczony na rysunku poniżej literą c. Miarą nachylenia funkcji w tym punkcie jest tangens kąta nachylenia linii proste stycznej do niej w tym punkcie) tgα=δy/δx

Rys A Funkcja wypukła na zewnątrz układu Rys B. Funkcja wypukła względem początku układu




Y Y



c c


d d

( ( X ( ( X


Zwróćmy w tym miejscu uwagę na dość istotny szczegół, a mianowicie, że położenie stycznej względem funkcji wskazuje nam na jej kształt. Jeżeli styczna przylega do krzywej powyżej jej wykresu, co ilustruje powyżej rys A, matematycy powiedzą, że mamy do czynienia z funkcją wypukłą na zewnątrz układu współrzędnych. Jej nachylenie jest rosnące większe w punkcie d niż w punkcie c. Jeżeli zaś przylega do niej poniżej jej wykresu, mamy do czynienia z funkcją wklęsła względem początku układu współrzędnych. O krzywej takiej mówi się potocznie, że jest wklęsła, jej nachylenie jest malejące, mniejsze w punkcie d niż w punkcie c


Ruch wzdłuż krzywych a przesunięcia krzywych
Ruch po krzywej

Jeżeli analizujemy wpływ zmiennej niezależnej w modelu na zmienną zależną, to poruszamy się wzdłuż wykreślonej krzywej. Jeżeli jednak chcemy na wykresie uwzględnić również wpływ czynników innych, aniżeli przedstawiona na wykresie zmienna niezależna, to następuje przesunięcie wykreślonej krzywej w prawo bądź w lewo.

Zilustrujmy to na przykładzie popytu na parasolki. Zależność tą można najprościej wytłumaczyć w następujący sposób. Jeżeli cena rośnie, zaś ilość stojących do dyspozycji nabywców pieniędzy pozostaje niezmieniona, mogą oni kupić mniej parasolek, zatem kupowane ilości najprawdopodobniej zmniejszą się. Jeżeli natomiast ceny spadają, to kupowane ilości rosną.

Analizując zatem wpływ tylko jednej zmiennej niezależnej (ceny) na zmienną zależną (ilości) poruszamy się wzdłuż krzywej popytu w górę (jeżeli chcemy pokazać efekty wzrostu cen) lub w dół (jeżeli uwidaczniamy konsekwencje spadku cen). Popyt jest w ekonomii prezentowany w postaci funkcji odwróconej, zatem na os odciętych odkładamy ilości, a na osi rzędnych ceny



Rys. Ruch po krzywej

Cena Cena C IlościQ0

11 0 A

10 1 B


9 C 9 2 C

8 3 D

7 4 E

6 F 6 5 F

Ilości Q 5 6 G

2 5


Zaprezentowane poniżej funkcja popytu, przedstawiona została z przyjęciem założenia, że wszystkie pozostałe czynniki są niezmienione, co określane jest mianem klauzuli ceteris paribus.

W rzeczywistości kupowane ilości Q są uzależnione również od wielu pozacenowych czynników. Ilości Q mogą się zmieniać np. pod wpływem zmian wysokości dochodów, zmian indywidualnych gustów nabywców, mogą być również uzależnione od zmian warunków klimatycznych. Jeżeli np. ilość dni z opadami w danym roku wzrosła w porównaniu z latami ubiegłym, to kupowane przy każdym poziomie ceny „C” ilości parasolek wzrosną jak na przykładzie poniżej z Q0 do Q1.


Przesuwania krzywej
Aby uwzględnić ten pozacenowy czynnik w naszym modelu popytu, przesuwamy odpowiednio całą funkcję popytu:
* w prawo, gdy powodują on wzrost kupowanych ilości przy danych poziomach cen

* w lewo, gdy pod jego wpływem kupowane ilości zmniejszają się .


Rys Przesunięcia krzywej


Kombinacje

C

Q0

Q1

Q =Q0-Q1

a

11

0

2

2-0 = 2

b

10

1

3

3-1 = 2

c

9

2

4

4-2 = 2

d

8

3

5

5-3 = 2

e

7

4

6

6-4 = 2



Cena



9 c

7 e
Q

  1. 4 6



Przecinanie się krzywych

W ekonomii posługujemy się często modelami, w których zestawiamy i porównujemy ze sobą w jednym układzie współrzędnych dwie lub więcej funkcji. Szczególnie interesować nas będzie, jakie warunki muszą być spełnione, by obie funkcje jednocześnie przyjmowały te same wartości,

Najbar­dziej znane w ekonomii warunki równowagi to równowago popytu i podaży:
Popyt Qd = Qs Podaż

Graficznie równowagę ilustruje przecinanie tworzących model funkcji Oto kilka przykładów ułożenia krzywych w układzie współrzędnych, w których nie dochodzi do ich przecięcia. Mówiąc inaczej na obu krzywych nie ma takich wielkości zmiennej niezależnej X, przy których obie funkcje mogą mieć równą wartości Y


Y Y Y






X X X



A oto przykłady ułożenia krzywych, przy których dochodzi do ich przecięcia się w punkcie oznaczonym literą E W punkcie tym wielkości zmiennych niezależnych Xe są dla obu funkcji identyczne podobnie wielkości zmiennych zależnych przyjmują w obu funkcjach identyczne wartości Ye.


1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13


©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna