Niezbędnik ekonomisty roboczy



Pobieranie 0.94 Mb.
Strona3/13
Data10.05.2016
Rozmiar0.94 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

Rys A Rys B

Y

D S E

Ye

Ye E





Xe X Xe X

Ekonomistę interesować będzie ponadto, a może przede wszystkim, jaki prawa i mechanizmy w analizowanym modelu ekonomicznym prowadzą do ukształtowania się identycznych wielkości w stosowanych w modelu funkcjach.
Zadanie
Przyjmiemy, że funkcja popytu na masło (X) jest określona wzorem: Qd=700 - 4*Cx, a funkcja podaży masła Qs = 100 + 2*Cx. Ile wynoszą:cena i ilości równowagi rynkowej?
Rozwiązanie
W warunkach równowagi Qs= Qd
100+2C= 700-4C

6C= 600


C=100

Qs=100-200= Qd= 700- 400= 300


Przyjmijmy teraz, że rząd ustanawia minimalną cenę pszenicy na poziomie Cx.=12 zł za kwintal i jest zdecydowany kupować i magazynować powstałe nadwyżki. Ile kwintali pszenicy rząd będzie musiał skupić przechowywać i ile wyniosą dopłaty do produkcji pszenicy?
Rozwiązanie

Qd= 700-4x120zł=220 Qs=100+2x120=240

Rząd musi skupić nadwyżkę podaży nad popytem Qs-Qd i zapłacić za nie ustaloną cenę

Qs-Qd= 220q-240q=20q*100zł/Q= 200zł.


Funkcje pochodne
W analizach ekonomicznych często wykorzystywane są funkcje pochodne Jest to jedno z podstawowych pojęć rachunku różniczkowego
Niech y = f(x) oznacza funkcję ciągłą i określoną w przedziale (a, b); jeśli argumenty x oraz x + Δxx — przyrost) należą do przedziału (a, b) i jeśli istnieje granica [f(x + Δx) – f(x)]/Δx, to granicę tę nazywa się pochodną funkcji f(x) w punkcie x i oznacza symbolem f '(x) lub df(x)/dx; wyrażenie [f(x + Δx) – f(x)]/Δx nazywa się przy tym ilorazem różnicowym, a pochodną df(x)/dx ilorazem różniczkowym. Geometrycznie pochodna funkcji f(x) przedstawia nachylenie stycznej, czyli tangens kąta α, który styczna do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie P (x, f(x)) tworzy z dodatnim kierunkiem osi odciętych (osi x-ów); w różnych punktach pochodna f '(x) może mieć różne wartości, a więc odpowiadająca jej styczna do wykresu — różne nachylenia względem osi odciętych.

Nie wdając się w szczegóły w naszych dalszych analizach funkcje pochodne przedstawiają zależność miedzy zmiennymi niezależnymi a przyrostami zmiennej zależnej


Utarg całkowity przeciętny i krańcowy
Weźmy dla przykładu poznaną już wcześniej zależność pomiędzy rozmiarami sprzedaży a wielkością utargu całkowitego

Przychód (utarg)całkowity UC (ang. total revenue-TR) jak pamiętamy jest to wartość sprzedanych przez firmę produktów. Obliczamy go mnożąc sprzedaną ilość Q przez ich cenę rynkową C.

UC= C * Q


Jeśli zbiór wartości utargów całkowitych i sprzedawanych ilości naniesiemy na układ współrzędnych, to otrzymany wykres funkcji utargu całkowitego względem dwóch zmiennych: sprzedawany ilości i cen zbytu

Przychód (utarg) przeciętny Up (ang. average revenue- AR) lub inaczej utarg jednostkowy, to iloraz przychodu całkowitego i wielkość sprzedanej produkcji Q
UC Q*C

Up = ------- -=-------- = C

Q Q
Utarg (przychód) krańcowy Uk (ang. marginal revenue- MR) to przyrost przychodów całkowitych UC wywołany wzrostem sprzedaży o Q. Obliczamy go dzieląc przyrost utargu całkowitego przez przyrost sprzedanych ilości:
UC UC – UC0

Uk= --------- = ---------------- = tg 

Q Q1 – Q0
Gdy Q= 1 wówczas Uk = UC

Operację obliczania różnic dla zmiennych skokowych (dyskretnych) w matematyce nazwa się różnicowaniem, a dla zmiennych ciągłych różniczkowaniem



Utargi krańcowe tworzą funkcję pochodną
Obliczane jako różnice utargu całkowitego wartości utargu krańcowego tworzą zbiór liczb zależnych od poziomu utargu całkowitego. Jeśli miedzy zmiennymi całkowitymi i krańcowymi zachodzi, zależność funkcyjna, to funkcja utargu krańcowego Uk=UC/Q jest pochodna względem funkcji utargu całkowitego

Jeśli zbiór przedstawiających różnice liczb naniesiemy na układ współrzędnych, to otrzymany wykres funkcji pochodnej od funkcji utargu całkowitego.


Utarg całkowity to suma utargów krańcowych
Znając wartości różnic, czyli utargów krańcowy możemy bez trudu ustalić wartość utargu całkowitego Wystarczy je ze sobą zsumować
UC= ∑Uk
Suma różnic daje nam wartość utargu całkowitego. Operacja dodawanie do siebie tych różnic w celu uzyskania wielkości całkowitych nazywana jest w matematyce całkowaniem

Utarg całkowity przeciętny i krańcowy w warunkach stałej ceny
Przyjmijmy, że firma jest w stanie sprzedawać dowolną wielkość wytwarzanej produkcji, po jednej cenie C=const za sztukę Jej funkcję utargów całkowitych opisuje równanie

UC= C*Q
Przyrost utargu całkowitego UC wynikać może w praktyce z przyrostu ceny C z przyrostu ilości Q, albo z przyrostu obu tych wielkości jednocześnie

Przyrost utargu całkowitego UC obliczmy jako różnicę miedzy utargiem całkowity po zmianie ilości i ceny UC1 =Q1 * C1 a utargiem całkowitym przed jej zmianą UC0= Q0 * C 0
UC= UC1 – UC0 = Q1* C1 – Q0 * C0
A ponieważ Q1 =Q0 + Q, zaś C1 =C0 +C, zatem wyrażenie UC1 możemy przedstawić jako:
UC1 = (Q 0+Q) * (C0+C)
a po przemnożeniu wyrażeń zawartych w nawiasach otrzymujemy
UC1 = Q0 * C0 + Q0 * C + Q * C0 + Q * C
Przyrost utargu całkowitego możemy obecnie przedstawić jako różnicę:

UC = (Q0 *C0 + Q0 * C + Q * C + Q * C ) - Q0 * C0


która po uproszczeniach przyjmuje postać
UC = Q* C + Q * C + Q * C
W naszym przykładzie firma sprzedaje dowolną wielkość swojej produkcji po stałej cenie, Gdy C= const , to C= 0,oznacza to, ze przyrost utargu całkowitego jest wyłącznie wynikiem wzrostu sprzedanych ilości, czyli UC = Q*C.

Każda dodatkowo sprzedana jednostka Q=1 daje zatem firmie przyrost utargu całkowitego UC, czyli utarg krańcowy Uk równy:


UC Q * C

Uk = ------- = ------------- = C

Q Q

Wynika z tego, że gdy cena jest stała utarg krańcowy jest stały i równy cenie



Poniższa tabela przedstawiają hipotetyczne zależności pomiędzy sprzedanymi ilościami Q utargami całkowitymi UC, przeciętnymi Up i utargami krańcowymi


Hipotetyczny przykład utargów w warunkach stałości ceny zbytu

Q

Q

C= const

Utarg całkowity

UC= ∑Uk



Utarg przeciętny

Up= UC/Q


Przyrost utargu UC=UC1– UC0

Utarg krańcowy

Uk=UC/Q



0




10

0






-

1

1

10

10

10

10

10 – 0 =10

2

1

10

20

10

10

20 – 10=10

3

1

10

30

10

10

30 – 20=10

4

1

10

40

10

10

40 – 30=10

Przedstawione w tabeli wielkości i zachodzące między nimi zależności można przedstawić w postaci zamieszczonych wykresów funkcji

Rys Utarg całkowity przeciętny i krańcowy firmy

UC

UC

UC1

UC


UC0 )

Q




)

Q0 Q1 Q


Uk

Uk=UC/Q= C



Q0 Q1 Q
Ponieważ utarg krańcowy jest stały i dodatni krzywa utargu krańcowego jest linią prostą poziomą o stałym nachyleniu równym C=0 Utarg całkowity otrzymujemy sumując otrzymane przez firmę utargi krańcowe UC= Uk. Krzywa utargu całkowitego jest zatem linia prostą o nachyleniu dodatnim,równym wartości utargu krańcowego, czyli ceny



Utarg całkowity przeciętny i krańcowy w warunkach spadającej ceny
A teraz weźmy dla przykładu sytuację, w której firma, gdy chce sprzedać większe ilości., musi obniżyć cenę. Zależności pomiędzy hipotetycznymi ilościami cenami a wielkością utargu całkowitego przeciętnego i krańcowego przedstawia zamieszczona poniżej tabela


Q

C

Utarg całkowity ( UC)=Q*C

Utarg przeciętny Up=UC/Q

Utarg krańcowy Uk= UC/Q

0

11

0*11= 0

-

-

1

10

1*10= 10

10

10 – 0 = 10

2

9

2*9 = 18

9

18 – 10 = 8

3

8

3*8 = 24

8

24 – 18 = 6

4

7

4*7 = 28

7

28 – 24 = 4

5

6

5*6 = 30

6

30 – 28 = 2

6

5

6*5 = 30

5

30 30 = 0

7

4

7*4 = 28

4

28 – 30 = -2

8

3

8*3 = 24

3

28 – 24 = -4

9

2

9*2 = 18

2

18 – 24 = - 6

10

1

10*1= 10

1

10 – 18 = - 8

11

0

11*0= 0

0



Wszystkie przedstawione w tabeli wielkości można, jak to zrobiono na rysunku powyżej, wprowadzić do układu współrzędnych. W ten sposób zależności pomiędzy nimi przedstawimy przy pomocy wykresu interesujących nas funkcji


Rys. Krzywe popytu rynkowego utargu całkowitego przeciętnego i krańcowego
C, UC ,Uk

UC=max=30




Cp=11
D
C=5

0

Q=6 Uk Qa =11 Q


Z tabeli wynika, że funkcję popytu rynkowego przedstawia linia prosta o stałym nachylenie o ujemnym C/Q.

Przecina ona oś rzędnych przy cenie Cp=11, którą określa się jako prohibicyjną, gdyż przy takim poziomie ceny, wielkość popytu spada do zera. Krzywa ta przecina oś odciętych w punkcie, dla którego wielkość Qa= 11 odpowiada poziomowi sprzedaży, przy której rynek jest nasycony. Nawet gdyby cena dobra spadła do zera, konsumenci nie chcieliby mieć go więcej.

Z tabeli wynika również, że gdy cena maleje, to całkowity przychód ze sprzedaży, obliczany jako iloczyn UC= Q*C najpierw rośnie, przy pewnym poziomie ceny i wielkości sprzedaży osiąga maksimum a potem maleje. Funkcja utargu całkowitego przyjmuje zatem postać paraboli skierowanej wierzchołkiem do góry

Zastanówmy się teraz, jakie są przyczyny takiego przebiegu funkcji utargu całkowitego oraz przy jakim poziomie ceny i sprzedawanych ilości utargu całkowity osiąga maksimum i zmienia się z rosnącego na malejący.

Jak wiemy utarg całkowity to suma utargów krańcowych UC=∑UC/Q, aby go obliczyć dla dowolnego poziomu sprzedaży, wystarczy je zsumować.

Nietrudno domyślić się, że utarg całkowity rośnie tylko wtedy, gdy utarg krańcowy jest większy od zera. Gdy utarg krańcowy jest równy zero utarg całkowity pozostaje bez zmian, natomiast, gdy jest ujemny, utarg całkowity maleje

W naszym przykładzie spadkowi ceny i wzrostowi kupowanych ilości towarzyszy malejący utarg krańcowy Uk Przy C=5 i Q=6 spada on do zera. W tym punkcie krzywej popytu utarg całkowity osiąga wielkość maksymalną UC=30. Natomiast przy cenach niższych utarg krańcowy przyjmują coraz większy wyrażeniu bezwzględnym wartości ujemne, zatem utarg całkowity maleje do zera.
Cena (utarg przeciętny) a utarg krańcowy (podejście analityczne)
Z tabeli powyżej wynika, że poza pierwsza sprzedaną jednostką przychód krańcowy z każdej kolejno sprzedanej jednostki Uk=UC/Q) jest zawsze mniejszy przychodu przeciętnego (Up =Q*C/Q=C), czyli ceny. Zobaczmy, skąd biorą się te różnice

Niech punktem wyjścia naszej analizy miedzy ceną i utargiem krańcowym będzie wyprowadzona z funkcji popytu funkcja utargu całkowitego:

UC = Q * C
Jak pamiętamy przyrost utargu całkowitego obliczamy według formuły:

UC = Q * C + Q * C + Q * C


Jeżeli teraz ze względu na znikomą wartość pominiemy wyrażenie Q*C, wówczas otrzymujemy :

UC = Q * C + Q * C


Aby obliczyć utarg krańcowy musimy obie strony równanie podzielić przez Q
UC C*Q Q * C

Uk = ---- = --------- + ---------

Q Q Q
A po odpowiednich uproszczeniach otrzymujemy:

Q * C


Uk = C + -----------

Q
W realnym świcie cena C jest zawsze dodatnia, natomiast przy ujemnie nachylonej krzywej popytu wyrażenie:


C

Q * -------

Q
ma zawsze wartość ujemną. Wynika z tego, że obliczony według powyższego wzoru utarg krańcowy jest zawsze niższy od ceny rynkowej dokładnie o wartość tego wyrażenia

Ponieważ krzywa popytu przedstawia różne poziomy ceny (utarg przeciętny), dlatego też funkcja utargu krańcowego (pochodna od funkcji utargu całkowitego) przebiegać będzie pod funkcją popytu (linią ceny). Zauważmy dalej, że w miarę obniżania ceny i wzrostu sprzedaży rozpiętość pomiędzy ceną a utargiem krańcowy powiększa się.

Rys Utarg krańcowy opada dwa raz szybciej niż cena

C, UC ,Uk

UC=max

UC= a*Q-b*Q



Cp
C=a-bQ

Uk= a-2*b*Q

0

(a/2*b) (a/b) Q

Jeżeli funkcję popytu rynkowego przedstawia równanie C=a-b*Q wówczas funkcję przychodów całkowitych UC=C*Q ilustruje parabola o postaci UC= a*Q-b*Q. Pochodna od niej funkcja przychodu krańcowego ma postać Uk= a-2*b*Q. Jak widać nachylenie funkcji utargu krańcowego 2*b jest dwa razy większe od równego b nachylenia linii ceny , a to znaczy , ze jest ona dwa razy bardziej stroma

Gdy cena jest równa zero funkcja popytu przecina oś odciętych w punkcie a/b podczas gdy funkcja utargu krańcowego w punkcie a/2b, a to z kolei oznacza, że funkcja utargu krańcowy przecina oś odciętych Q w połowie odległości pomiędzy początkiem układu a punktem przecięcia się linii ceny z osią odciętych Rzutując ten punkt na krzywą popytu można zauważyć ze utarg krańcowy osiąga wartość równą zero dokładnie w połowie krzywej popytu. Jednocześnie w punkcie tym utarg całkowity osiąga maksimum. W wyjaśnieniu tego pomocna nam będzie pojecie elastyczności cenowej popytu.Związkiem między elastycznością a utargami całkowitymi i krańcowymi zajmiemy się w następnym punkcie przedtem jednak parę słów o narzędziach analizy trygonometrycznej
Utarg krańcowy i przeciętny a cena rynkowa. Analiza trygonometryczna
Dla naszej dalszej analizy szczególnie przydatna będzie kategoria utargu krańcowego oraz jej związek z utargiem przeciętnym Można to łatwo przedstawić trygonometrycznie.

W każdym punkcie krzywej utargu całkowitego jest równy wartości tangensa kąta nachylenia stycznej do tej funkcji, czyli tg. Natomiast utarg przeciętny w dowolnym punkcie krzywej utargu całkowitego to wartość tangensa kąta nachylenia linii łączącej ten punkt z początkiem układu współrzędnych, czyli tg β


Rys. Trygonometryczny sposób przedstawia utargu krańcowego i przeciętnego




UC UC









Q β Q




Uk UC

Uk

Q Q

0 0 Uk

Jeżeli każdej wartości utargu całkowitego przyporządkujemy odpowiednią wartość tg, czyli utargu krańcowego, to otrzymamy funkcję utargu krańcowego – pochodną od funkcji utargu całkowitego. Ponieważ wraz ze spadkiem ceny kąt nachylenia stycznej maleje do zera, również do zera maleje utarg krańcowy. Jeżeli każdej wartości utargu całkowitego przyporządkujemy odpowiednią wartość tg β, to otrzymamy funkcję utargu przeciętnego. Ponieważ utarg przeciętny jest równy cenie, jest ona tożsama z funkcją popytu



Zauważmy, że dla każdego poziomu utargu całkowitego tgβ>tg, a ponieważ utarg przeciętny równy jest cenie zatem dla każdego poziomu utargu całkowitego cena jest wyższa od utargu krańcowego. Wynika z tego, ze w przypadku niedoskonałej konkurencji utarg krańcowy jest mniejszy od ceny. Z geometrycznego punktu widzenia można powiedzieć, że krzywa marginalnych przychodów zawsze leży poniżej krzywej ceny – popytu).W dodatku wraz ze spadkiem ceny, odległość miedzy nimi powiększa się. Utarg krańcowy spada dwa razy szybciej niż cena

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13


©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna