Niezbędnik ekonomisty roboczy



Pobieranie 0.94 Mb.
Strona7/13
Data10.05.2016
Rozmiar0.94 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13

Rysunek Elastyczność cenowa a rodzaj liniowej funkcji podaży




C

S1 S2 S3

C1

C0



Qs0 Qs1 Qs2 Qs3

Zbadajmy najpierw, jakie wielkości przyjmuje wskaźnik elastyczności podaży przy cenie, Co dla funkcji wychodzącej z początku układu, dla funkcji przecinającej oś odciętych (Qs) i dla funkcji przecinającej oś rzędnych ( C) powyżej zera Dla lepszego wyjaśnienia posłużymy się poniższym rysunkiem

Na rysunku powyżej widzimy trzy krzywe podaży. W przedziale cen C0 - C1 Krzywa S2 jest bardziej elastyczna niż krzywa S1, krzywa S3 bardziej niż S2 bowiem gdy cena wzrasta z C0 do C1, przyrost podaży na krzywej S1 (z Qs0 do Qs2 ) jest większy niż na krzywej S1 (z Qs0 do Qs1 ) Ta sama zależność wystąpi w dowolnym przedziale cen Wynika z tego ,że wartość wskaźnika elastyczność zależy od położenia krzywej podaży w układzie współrzędnych


Krzywa o elastyczności zawsze większej od jedności

Jeżeli przyjmiemy liniowy charakter zależności, to krzywą podaży elastyczną na całej swej długości przedstawia linia prosta, S3, która przecina, jak na poniższym rysunku, pionową oś układu współrzędnych powyżej początku układu.


Rys. Krzywa podaży o elastyczności większej od jedności

C



S=f(C)

C1

α ΔC

C0

ΔQ

α ) β ) Qs



Qs0 Qs1

Aby to uzasadnić podobnie jak w analizie popytu przekształcimy standardową formułę elastyczność

ΔQs ΔC


Es= ---------: --------

Qs C
do bardziej w tym momencie przydatnej postaci jak poniżej


Stałe nachylenie liniowej krzywej podaży mierzy tg α =C/Qs Z kolei wyrażenie Qs/C to nic innego tylko odwrotność stałego nachylenia krzywej, czyli ctg α lub inaczej Qs/C =1/ tg α Wartość tego wyrażenia jest stała na całej długości funkcji .Wyrażenie C/Qs =tg β to stosunek ceny do oferowanych ilości Jego wartość zmienia się wraz ze wzrostem podaży a dokładnie maleje .

Używając symboli trygonometrycznych wskaźnik elastyczności podaży ·możemy zapisać w postaci, poniższej formuły
Es= tg β *ctg α = tg β/tg α

Ponieważ na całej długości funkcji kąt β > α zatem ma również zawsze miejsce nierówność tg β> tgα , a to oznacza, że elastyczność cenowa podaży Es= tg β/tg α jest na całej długości funkcji większa od jedności.

Zauważmy, że ponieważ w miarę wzrostu podaży kąt β maleje, zatem wartość współczynnika elastyczności podaży maleje asymptotycznie do jedności.
Krzywa o elastyczności zawsze mniejszej od jedności
Z podaż nieelastyczną mamy do czynienia, gdy procentowa zmiana wielkości podaży jest ·mniejsza od procentowej zmiany ceny, czyli współczynnik Es < 1.

Nieelastyczną na całej swej długości krzywą podaży w postaci linii prostej przedstawia krzywa podaży SS, która zaczyna swój bieg (lub jej przedłużenie) z poziomej osi układu współrzędnych na prawo od początku układu współrzędnych.

Rys Funkcja liniowa o elastyczności mniejszej od jedności

C

S=f(C)






C1
α)

C0
β ) α) Qs


Qs0 Qs1


Na całej długości tak skonstruowanej ·krzywej tg β< tg α, a to oznacza, że mierzony z ich pomocą wskaźnik elastyczności cenowej popytu Es= tg β/ tg α) < 1

Zauważmy dalej, że ponieważ wraz ze wzrostem podaży rośnie tg β natomiast ·tg α pozostaje niezmieniony, zatem współczynnik elastyczności podaży rośnie asymptotycznie do jedności


Krzywa o stałej elastyczności jednostkowej
Podaż o elastyczności jednostkowej ilustruje linia prosta wychodząca z początku układu niezależnie do tego, pod jakim kątem jest ona nachylona

C C

S

C1

S

C0 C1


C0

α) α)


Qs0 Qs1 Qs0 Qs1






Elastyczność na krzywej o rosnącym nachyleniu
W okresie krótkim krzywa podaży ma tradycyjny kształt linii nachylonej dodatnio, a to znaczy, że podaż zmienia się w tym samym kierunku co cena. Jednak krzywa podaży nie jest linią prostą jak na rysunku po lewej stronie, tylko staję się, jak to przedstawiono po prawej stronie poniższego rysunku coraz bardziej stroma.
Rys. krzywa podaży w okresie krótkim




C S C S


C1 ΔC


C0

ΔQs


Qs Qs

Qs0 Qs1 Qs0 Qs1


Taki kształt krzywej jest związane ze wzrostem kosztów dodatkowej produkcji, czyli kosztów krańcowych. Aby firmy chciały wytworzyć dodatkową produkcję jednakowym przyrostom produkcji towarzyszyć musi coraz większy przyrost ceny. Im bardziej rosną koszty, tym bardziej muszą rosnąć ceny, podczas gdy produkcja i podaż rosną, ale wolno Wynika z tego, że w krótkim okresie krzywa podaży ma nachylenie dodatnie, które w dodatku rośnie

Rys Krótkookresowa krzywa podaży



C

S

C2
C1





C0

Qs0 Qs1 Qs2


Im mniejsza produkcja, tym łatwiej przedsiębiorstwa zwiększają produkcję i podaż w odpowiedzi na wzrost ceny. Im bardziej płaska jest mierząca nachylenie krzywa tym bardziej elastyczna jest podaż. Ale kolejne jej wzrosty wymagają coraz większego wzrostu ceny, a to oznacza, ze podaż jest coraz mniej elastyczna.

Zależności te ilustruje zamieszczona powyżej krótkookresowa krzywa podaży SS dowolnej firmy. Przyjmijmy, że w punkcie wyjścia cenie C0 odpowiada podaż równa Qs0. Zwiększenie podaży do poziomu Qs1 wymaga wzrostu ceny do poziomu C1.



Efekty mnożnikowe, czyli jak wykorzystuje się szeregi
W ekonomii mamy często do czynienia z się efektami kumulującymi o charakterze mnożnikowym. Na początek wyjaśnimy skąd się one biorą i jak przebiegają, a następnie pokażemy jak można obliczyć siłę zachodzących w gospodarce zmian.

Zacznijmy od schematycznego przykładu pokazującego związek, jaki w warunkach niepełnego wykorzystania zdolności wytwórczych zachodzi między zmianami poziomu wydatków inwes­tycyjnych a ruchem innych wielkości gospodarczych, takich jak poziom zatrudnienia i produkcji oraz dochodów i konsumpcji. Aby uniknąć nieporozumień, przyjmijmy, że inwestycje występują tu jedynie jako jeden z wydatków kształtujących łączne wydatki w gospodarce. Naszym zadaniem jest wytłumaczyć, dlaczego, gdy wydatki inwestycyjne wzrosną o pewną wielkość, to łączne wydatki wzrosną o dużo większą kwotę, czyli w sposób mnożnikowy (będą stanowiły wielokrotność pierwotnej kwoty wzrostu). Przyjmiemy następujące założenia i dane wyjściowe:

1) gospodarka składa się z dwóch działów: dział I wytwarza dobra inwestycyjne, dział II produkuje dobra konsumpcyjne.

2) W obu działach występuje niepełne wykorzystania zdolności wytwórczych.

3)) Wychodzimy z ogólnego założenia, że całkowite, zarobione w wyniku produkcji, dochody Y są wydawane na dobra konsumpcyjne K lub oszczędzane Os, co zapisujemy Y=K+Os; w takim przypadku całkowity przyrost dochodu ΔY rozkłada się na część pochodzącą od konsumpcji i część wynikającą z oszczędności: ΔY= ΔK+ ΔOs.

4) Zagregowana przeciętna stopa konsumpcji jest określona jako stosunek wydatków konsumpcyjnych do całości dochodu K/Y.

5) Zagregowana krańcowa stopa konsumpcji, wskazująca jaka część przyrostu dochodu jest wydatkowana na konsumpcję wynosi c=ΔK/ΔY, natomiast zagregowana krańcowa stopa oszczędzania jest równa s= ΔOs/ΔY.

6 ) Ponieważ ΔY=ΔK+ ΔOs, zatem ΔY/ΔY= ΔK/ΔY+ ΔOs/ΔY=1, a to oznacza, że c+s =1.

6) Przyjmiemy, że krańcowa stopa konsumpcji wynosi c = 2/3 i jest równa przeciętnej stopie konsumpcji. W tej sytuacji krańcowa stopa oszczędzania s = 1- 2/3= 1/3.

7) W badanym okresie decyzje (zamówienia) inwestycyjne są takie, że wydatki inwestycyjne I w okresie (t + 1) wzrosły w stosunku do okresu t o ΔI= 120 mld jednostek pieniężnych, np. dolarów.

W takiej sytuacji, w dziale I zwiększa się wykorzystanie aparatu produkcyjnego oraz zatrudnienie i w efekcie rośnie produkcja dóbr inwestycyjnych. Wartość przyrostu produkcji finalnej odpowiada przyrostowi dochodów brutto w tym dziale (tj. przyrostowi płac i zysków brutto na łączną sumę 120 mld dolarów. Ten przyrost, który nazwiemy roboczo pierwotnym wzrostem dochodu (zysków brutto i płac), jest równy:
ΔY0= ΔI=120
Część tego pierwotnego wzrostu dochodu zostaje przeznaczona na zakupy konsumpcyjne, a część zostania zaoszczędzona. Zwiększone zapotrzebowanie na dobra konsumpcyjne może być zrównoważone dodat­kową produkcją dóbr konsumpcyjnych, ponieważ w dziale II istnieje niewykorzystany aparat wytwórczy, a na rynku pracy — nie zatrudnieni robotnicy.

Dodatkowa produkcja, a następnie sprzedaż środków konsumpcji wygeneruje dodatkowe dochody, czyli płace i zyski w dziale wytwarzającym środki konsumpcji. Dochody te powiększą zapotrzebowanie na dobra konsumpcyjne.

Obliczmy, zatem, o ile wzrośnie popyt konsumpcyjny, a w efekcie odpowiadający mu przyrost dochodów brutto w dziale II. Jego wysokość zależy jednocześnie od pierwotnego wzrostu ΔY1 dochodu oraz stopy konsumpcji, a więc wynosi.:
ΔY1= 120 *2/3=80
Ten wzrost możemy nazwać wtórnym przrostem dochodu, co symbolicznie zapiszemy jako:
ΔY1= ΔI*c
Następnie część wtórnego przyrostu dochodu częściowo jest oszczędzana, a częściowo kierowana na dalsze zakupy dóbr konsumpcyjnych. W warunkach, w dalszym ciągu, nie w pełni zatrudnionych czynników produkcji spowoduje kolejny przyrost produkcji i dochodów w dziale II. Jest to już wzrost trzeciego szeregu i wynosi odpowiednio:
ΔY2= 120 * 2/3* 2/3 = 120 * (2/3) 2
Co ogólnie zapisujemy jako:

ΔY2= ΔI*c2


Ponadto, ma miejsce kolejny przyrost dochodu:
ΔY3= 120* c3

Co ogólnie zapisujemy:


ΔY3 = ΔI*c3
Takich przyrostów może być „ n”, ostatni z nich wynosi:
ΔYn = ΔI*cn
Aby obliczyć łączny przyrost produkcji i dochodu w badanym okresie musimy zsumować przyrosty cząstkowe:
∑ΔY = 120 +120*2/3+120*(2/3)2 +120*(2/3) 3+ … + 120*(2/3) n
Natomiast w wyrażeniu ogólnym:

∑ΔY= ΔI + ΔI *c+ ΔI *c2 +......+ ΔI *cn


Po wyłączeniu przed nawias120 otrzymamy:
∑ΔY= 120 [1 + 2/3)2 + 2/3)3 + …+(2/3) n ]
Ogólnie można zapisać jako:
∑ΔY= ΔI [1+c+c2 +c3+.... +cn ]
Algebraiczna wartość sumy wyrażeń zawartych w nawiasie kwadratowym wynosi:
1 1

[1+c+c2 +c3+.... +cn ] = -------- = -------

1- c s

Zauważmy dalej, ze jeśli 0

1

∑ΔY t+1= ΔI * --------

1 - c
Zauważmy, że tak obliczony przyrost dochodu jest większy od przyrostu inwestycji
∑ΔY > ΔI
Wynika z tego, że:

ΔY t+1


------- >1

ΔI
Oznacza to, że łączny przyrost dochodu stanowi wielokrotność przyrostu wydatków inwestycyjnych

Wykorzystamy to spostrzeżenie, aby do naszej skrzynki z narzędziami wprowadzić nowe bardzo użyteczne w dalszych analizach pojęcie zwane mnożnikiem wydatków inwestycyjnych, który oznaczymy symbolem μ (mi).

Mnożnik inwestycyjny
Mnożnik jest współczynnikiem określającym rozmiary krańcowego wpływu, jaki wywiera zmiana jednej wielkości ekonomicznej na drugą, której ta pierwsza jest składnikiem. Relacja ta informuje nas, w jakiej proporcji wzrośnie dochód w stosunku do danej zmiany wielkości wydatków inwestycyjnych. W naszym przykładzie dochód narodowy brutto powiększył się liczbowo jak następuje:

ΔY t+1= μ * ΔIt

Gdzie wartość mnożnika jest równa:

1 1


μ = [1+c+c2 +c3+.... +cn ] = -------- = -------

1- c s
W ten sposób otrzymaliśmy symboliczny zapis mnożnika wydatków inwestycyjnych. Jak pamiętamy c+s=1, zatem 1-c =s; wynika stąd, że mnożnik alternatywnie możemy zapisać jako 1/s.

Mnożnik inwestycyjny jest ilościowym ujęciem zjawiska pobudzania (bądź ograniczania) wydatków konsumpcyjnych za pomocą zmian poziomu wydatków inwestycyjnych. Dochody powstałe w trakcie wzrostu produkcji dóbr inwestycyjnych zwiększają popyt na dobra konsumpcyjne, co z kolei powoduje wzrost produkcji dóbr konsumpcyjnych i dodatkowe dochody, powiększające popyt konsumpcyjny. Jeżeli mnożnik wynosi μ, to zmiana poziomu wydatków inwestycyjnych równa ΔI wywoła zmianę poziomu dochodu narodowego o wielkość równą ΔI · μ, co stanowi wielkość popytowego efektu wydatków inwestycyjnych.

Warto wspomnieć, że μ jest mnożnikiem Keynesowskim, ale autorem, który pierwszy (w 1931 r.) wprowadził koncepcję mnożnika do teorii ekonomii, był jego uczeń R. F. Kahn. Badając, z inspiracji Keynesa, wpływ robót publicznych na poziom działalności gospodarczej Kahn dowiódł, iż wzrost zatrudnienia przy robotach publicznych (zatrudnienie pierwot­ne) powoduje „mnożenie się” zatrudnienia w całej gospodarce. Jest tak, bo dodatkowe zatrudnienie — przez wzrost funduszu płac i popytu konsumpcyjnego — powoduje kolejne przyrosty zatrudnienia w gałęziach dóbr konsumpcyj­nych (zatrudnienie wtórne). Ilościowa relacja między całkowitym wzrostem zatrudnienia a wzrostem zatrudnienia przy robotach publicznych określona została mianem mnożnik zatrudnienia.

Keynes przejął koncepcję mnożnika zatrudnienia by przedstawić ilościowy związek, który w warunkach niepełnego wykorzystania zdolności wytwórczych zachodzi między zmianami poziomu wydatków inwestycyjnych (ΔI) a zmianami rozmiarów globalnego popytu i dochodu narodowego (ΔY). Inwestycje w jego koncepcji występują tylko w roli czynnika kształtującego popyt.

W naszym przykładzie wartość mnożnika wydatków wynosi mw=3. Oznacza to, że wzrost wydatków inwestycyjnych o 120 mld wygenerował trzykrotnie większy wzrost dochodu:

ΔY t+1= mw* ΔI
ΔY t+1=120*3=360mld
Mechanizm mnożnika działa nie tylko „w gorę”. Jeśli wydatki inwestycyjne w czasie (t+1) są mniejsze niż w t (np ΔI = -120 mld dol.), to mechanizm mnożnika działa ,,w dół” i daje zwielokrotniony spadek globalnego popytu i dochodu narodowego (-120 mld dol*3=-360).

METODY I NARZĘDZIA STATYSTYKI
Informacja stała się nieodłączną częścią naszego życia. Duża liczba informacji jest przekazywana za pomocą liczb: zestawienia liczb pochodzą z przedsiębiorstw, szpitali, giełdy, znajdują się w publikacjach naukowych, także są prezentowane w mediach. Na ogół mamy uzasadnione przekonanie, że liczbowy sposób przedstawienia informacji jest obiektywny i zrozumiały i zawsze jest kojarzony ze statystyką.

Termin „Statystyka” jest wieloznaczny, może być rozumiany jako nazwa:



  1. czynności gromadzenia danych liczbowych o zjawiskach;

  2. zbioru danych liczbowych;

  3. pewnych charakterystyk liczbowych wyznaczonych na podstawie zbiorowości próbnych (np. średnia arytmetyczna z próby, odchylenie standardowe z próby);

  4. zbioru metod służących do badania prawidłowości charakteryzujących zbiorowości masowe.

Przedmiotem statystyki jako dyscypliny naukowej są zjawiska (procesy) masowe występujące w otaczającej nas rzeczywistości. Masowość zjawiska ma miejsce wówczas, gdy badaniu podlega wystarczająco duża liczba jednostek. Warunek masowości jest konieczny by stosować metody statystyczne, ponieważ jedynie w tym przypadku można zaobserwować prawidłowości występujące w zbiorowości statystycznej, a następnie je opisać. Należy dodać, że masowość zjawiska nie jest warunkiem wystarczającym do stosowania metod statystycznych. Metody statystyczne można stosować wówczas, gdy w zbiorowości dostatecznie licznej jednostki wykazują różnice indywidualne – nie są identyczne.
Krótka historia statystyki

( Hasła w Encyklopedii PWN)


Pierwotnie termin statystyka był używany na określenie wiedzy o państwie. Swoje początki statystyka wywodzi z tradycji dokonywania spisów powszechnych, czyli zbierania informacji na temat ludności. Poczynając od najdawniejszych spisów w Egipcie i Chinach, poprzez rzymskie cenzusy (spisy) i średniowieczne inwentaryzacje majątków feudalnych i kościelnych. Najpierw słowny, a potem liczbowy spis statystyczny służył głównie jako narzędzie w rękach władców i rządów państw. Z pewnością posiadanie informacji na temat stanu ludności ułatwiało rozpoznawanie trendów i odpowiednie planowanie. Ślady pierwszego spisu można znaleźć w Księdze Liczb, kiedy Mojżesz wyprowadzał lud Izraela z Egiptu. Spisy powszechne, co potwierdza Nowy Testament, były również stosunkowo systematycznie przeprowadzane na terenie starożytnego Rzymu.

Prekursorami szerszego traktowania statystyki byli tzw. arytmetycy polityczni, a zwłaszcza w XVII w. wybitni przedstawiciele tego kierunku — J. Graunt i W. Petty). Posługując się stosunkowo prostymi narzędziami opisu statystycznego arytmetycy polityczni wykazywali, że w pozornie chaotycznych, przypadkowych zjawiskach masowych występują określone regularności (prawidłowości). Pozwoliło to sformułować pierwsze proste uogólnienia teoretyczne dotyczące statystyki (K. Davenant, 1695). Dzięki zapoczątkowaniu ery tabelaryzmu i arytmetyki politycznej, powstał pierwszy uściślony tabelaryczny opis Rosji z 1726–27 (J.K. Kirgiłow) oraz Danii z 1741 (J.P. Anchersen). Jeszcze w połowie XIX w. termin statystyka oznaczał podany w tabelarycznej formie zbiór danych na temat stanu państwa.

Można przypuszczać, że w pewnym momencie posiadanie podstawowych danych stało się niewystarczające, szczególnie przy coraz szybciej rozwijającej się gospodarce światowej. Konieczne stało się nie tylko ulepszanie metod pozyskiwania danych, ale również ich opisu i analizy. Zbiegło się to w czasie z szybkim rozwojem metod matematycznych, szczególnie teorii prawdopodobieństwa, wyjaśniających mechanizm, w jakim ujawniają się prawidłowości statystyczne występujące w zjawiskach masowych. Rachunek prawdopodobieństwa stał się podstawą współczesnej statystyki.

Jego rozwój zapoczątkowali w 2 połowie XVII w. B. PascalP. Fermat, którzy pierwsi uzasadnili matematycznie prawidłowości występujące w grach hazardowych. Sformułowane przez nich wstępne założenia i wnioski rozwijało wielu wybitnych teoretyków zwanych probabilistami. Są to, przede wszystkim, J. Bernoulli, który u schyłku XVII w. pierwszy sformułował i uzasadnił tzw. prawo wielkich liczb. Stało się ono podstawą do udowodnienia przez A. de Moivre'a (koniec XVIII w.), P.S. de Laplace'a (pocz. XIX w.) oraz J.W. Lindberga i P. Levy'ego (lata 20. XX w.) tzw. lokalnego i centralnego twierdzenia rachunku prawdopodobieństwa.

W XVIII i XIX w. powstały ważne dla statystyki odkrycia teoretyczne, związane ze statystycznymi badaniami prowadzonymi metodą reprezentacyjną. Sformułowano wzór funkcji gęstości rozkładu normalnego zmiennej losowej ciągłej oraz rozkładu błędów losowych (Laplace i K.F. Gauss). Nastąpiło wyodrębnienie składnika systematycznego i przypadkowego występujących w procesach zw. zjawiskami masowymi (Gauss) oraz określono prawo rzadkich zdarzeń (S. Poisson).

Okres od końca XIX w. charakteryzował się wielką liczbą odkryć nowych metod i procedur badań statystycznych (parametrycznych i nieparametrycznych); duży udział w tworzeniu dorobku metodologicznego statystyki mieli polscy statystycy, m.in.: M. Fisz, Z. Hellwig, J. Neyman, H.D. Steinhaus, S. Szulc.

Warto wspomnieć, że początki polskiej statystyki sięgają roku 1789; wtedy Sejm zarządził pierwszy ogólnokrajowy spis ludności i dymów (domów). W 1789 roku przeprowadzono pierwszy w Polsce spis powszechny. Rozbiory i wojny sprawiały, że rzadko takie spisy odbywały się w regularnych odstępach. Ale, mimo to, rozwój statystyki w naszym kraju nie odbiegał od europejskich trendów.

"Nakazujemy, aby wszystkich miast, miasteczek i wsiów królewskich, także naszych stołowych, oraz duchownych i ziemskich, tak dawnych, jako nowo osadzonych i  przybyłych, dziedzice, possessorowie, lub dyspozytorowie, w a co do naszych dóbr stołowych vice-administratorowie, w miastach zaś wolnych królewskich magistraty wielość kominów, nie wyłączając żadnego w Koronie komina, czyli dymu, i równie w Wielkim Xięstwie Litewskim (...) przed komissyami powiatowymi zaprzysięgli" - głosił wstęp do ustawy o powszechnym spisie dymów w Rzeczpospolitej, przyjętej przez Sejm w 1789 roku, czyli jeszcze przed rozbiorami. Dlaczego Sejm tak interesowały akurat kominy czy dymy? Bynajmniej nie z powodu ekologicznej postawy posłów - w tym czasie przyjmowano po prostu, że kto ma dom, posiada i piec lub palenisko. Od kominów więc, a w przypadku "kurnych chat" - od dymów, płaciło się podatek.

Rozbiory nie przerwały rozwoju statystyki na ziemiach polskich. W 1809 roku "statysta" (polityk) Stanisław Staszic wydaje rozprawę "O statystyce Polski. Krótki rzut wiadomości potrzebnych tym, którzy ten kraj chcą oswobodzić, i tym, którzy w nim chcą rządzić". Pierwsze rzeczywiście powszechne spisy ludności (a nie "dymów") przeprowadzono w Księstwie Warszawskim w latach 1808 - 1810. Dla opracowania wyników ankiet powołano jedno z pierwszych w Europie Biuro Statystyczne. W 1811 w Szkole Prawa i Administracji powstała pierwsza Katedra Statystyki. 

W 1827 roku wydano pierwowzory roczników statystycznych: w Warszawie pod tytułem "Tabela Miast i Wsi Królestwa Polskiego". W publikacji podano liczbę domów i ludności dla każdej miejscowości, a w Poznaniu "Atlas Statystyczny Polski i krajów okolicznych". Statystyka rozwijała się szybko na terenach zaboru pruskiego, o czym świadczą regularne spisy ludności, powtarzane co 3 lub 5 lat, od 1840 roku aż do pierwszej wojny światowej. Na terenach przyłączonych do Imperium Rosyjskiego jedyny taki spis przeprowadzono w 1897 roku. 

Polscy statystycy powołali w 1912 roku Polskie Towarzystwo Statystyczne z siedzibą w Krakowie. Pierwszym osiągnięciem tego instytutu było wydanie w 1915 rocznika statystyczno - historycznego pod tytułem "Statystyka Polski". Dzieło to pozostaje do dziś cennym źródłem dla historyków. W 1816 roku ukazał się także "Statystyczny atlas Polski", opracowany przez słynnego kartografa Eugeniusz Romera. 

Zupełnie nowe możliwości dla statystyki stworzyły dopiero niepodległość i zjednoczenie Polski. Jeszcze przed formalnym powstaniem II Rzeczpospolitej, 13 lipca 1918 roku, powstał  Główny Urząd Statystyczny, czyli dobrze znany GUS.

Pierwszy w niepodległej Polsce spis powszechny odbył się w 1921 roku. Planowano powtarzać go co dziesięć lat. Następny odbył się zgodnie z planem w 1931 roku, kolejny uniemożliwiła II wojna światowa. 1. marca 1943 okupanci przeprowadzili sumaryczny spis ludności w Generalnym Gubernatorstwie. 

Urząd funkcjonował do wybuchu drugiej wojny światowej, a głównym organizatorem GUS był L. Krzywicki.Po II wojnie światowej, w 1945 roku, został reaktywowany jako centralny organ administracji państwowej w zakresie statystyki. Jak wspomniano wcześniej, obecnie jest największym polskim źródłem informacji o gospodarce Polski i świata.

Pierwszy po wojnie rocznik statystyczny został wydany w 1947 roku, pierwszy narodowy spis powszechny przeprowadzono w 1950 r. Od tej pory narodowe spisy przeprowadzano regularnie, w: 1960, 1970, 1878 i 1988. Ostatni, z pewnym opóźnieniem, odbył się w 2002 roku. Roczniki statystyczne ukazują się raz do roku. 

Nowe wymagania dla polskiej statystyki wprowadziła integracja z Unią Europejską. Na kilka lat przed faktyczną akcesją, jeszcze w lipcu 1998 roku, w Brukseli przeprowadzono rozmowy Polski z Unią Europejską na temat przeglądu prawa wspólnotowego w obszarze negocjacyjnym "Statystyka" (tzw. screening). Znacznie wcześniej, bo w 1990 roku Główny Urząd Statystyki nawiązał współpracę ze swoim unijnym odpowiednikiem - Eurostatem.

Obecnie Główny Urząd Statystyczny jest wielką machiną gromadzącą, przetwarzającą i opracowującą morze liczb. GUS, poza regularną publikacją całego szeregu danych i wskaźników, przedstawia także wiele raportów dotyczących wybranych dziedzin naszego życia.  

Współcześnie szczególnie wyraźne przyspieszenie rozwoju metod i procedur statystycznych badań wiąże się z szerokim zastosowaniem technik komputerowych i zastosowaniem ich w statystyce matematycznej.

Jest to dział matematyki zajmujący się metodami pozwalającymi określić  własności populacji generalnej na podstawie losowych prób z tej populacji; wnioskowanie to polega na szacowaniu różnych parametrów populacji (estymacja) lub na weryfikowaniu, za pomocą odpowiednich statystycznych testów, hipotez dotyczących wartości parametrów (średniej, wariancji, odchylenia standardowego) lub rozkładu zmiennej losowej; pewne jednolite podejście do statystyki matematycznej proponuje teoria decyzji statystycznych; ze statystyki matematycznej wyodrębniły się wyspecjalizowane zespoły metod rozwijane jako biometria, ekonometria, statystyczna kontrola jakości, teoria niezawodności i in.

Dawniej wszyscy, którzy chcieli korzystać z metod statystycz­nych, musieli nauczyć się wielu wzorów i sposobów ich stosowania. Ponownie dopadała ich zmora szkolnych trudności z nauką matematy­ki. Obecnie stosowane są takie same metody, jednakże wykorzystanie komputerów pozwala uniknąć wielu niedogodności w uzyskaniu wyniku. Należy jednak podkreślić, że to my dokonujemy interpretacji wyników – do prawidłowej ich interpretacji warto wiedzieć jak powstały.

W tym miejscu może pojawić się pytanie, dlaczego tyle wysiłku wkłada się tylko po to, aby policzyć jeden parametr? Dlaczego statystyka miałaby być aż tak przydatna?

Odpowiedź nie jest trudna. Jak już wspomniano, głównym zadaniem ekonomisty jest podejmowanie decyzji – prawidłowych decyzji. Do tego niezbędne są informacje dotyczące badanego zjawiska, a źródłem tych informacji jest, m.in., statystyka. Należy koniecznie podkreślić, że informacje otrzymywane z badań statystycznych są nieosiągalne w inny sposób, a więc warto poświęcić trochę uwagi statystyce.
Źródła danych
Jak wspomniano wcześniej, do zastosowania metod statystycznych niezbędny jest zbiór danych – najczęściej liczb. Dane te mogą pochodzić z dwóch źródeł.

Pierwszym jest przeprowadzone badanie statystyczne, którego efektem są wyniki obserwacji (wartości badanej cechy). Otrzymane wyniki obserwacji, będące zbiorem szczegółowych informacji o właściwościach poszczególnych jednostek statystycznych, stanowią tzw. surowy materiał statystyczny. Materiał ten, aby stać się użytecznym dla ekonomisty, musi być odpowiednio opracowany.

Drugie źródło danych jest nazywane materiałem wtórnym. Te dane mogą pochodzić z różnych instytucji zajmujących się prowadzeniem badań statystycznych na zlecenie lub urzędowo. Ważną rolę pełni tu Główny Urząd Statystyczny, a bogatym źródłem informacji (podanych liczbowo) o polskiej gospodarce jest Rocznik Statystyczny. Warto również korzystać z opracowań ministerstw, banków, także innych instytucji krajowych i międzynarodowych.

Jak już wcześniej wspomniano, głównym zadaniem ekonomisty jest właści­wa ocena badanego zjawiska. Aby ocena była trafna, musi uwzględniać fakty, nie może opierać się na przeczuciach i domysłach. Najbardziej powszechne i użyteczne fakty są przedstawione za pomocą liczb, które należy opracować stosując prawidłowe metody statystyczne. W ekonomii najczęściej stosowana jest:

* analiza struktury zbiorowości statystyczne (wyznacza się miary średnie, zmienności, asymetrii i koncentracji);

* analiza współzależności dwu i więcej cech (rachunek korelacji i regresji);

* analiza dynamiki (indeksy indywidualne, indeksy zespołowe, model wahań w czasie)

Aby poznać wymienione zagadnienia i możliwości zastosowania odpowiednich metod można sięgnąć po dowolny podręcznik staty­styki dla studentów wybierając je z indeksu rzeczowego. Ułatwimy wam to zdanie i omówimy krótko każde z nich.


ANALIZA STRUKTURY
Średnia arytmetyczna
Załóżmy, że w ciągu semestru dwaj studenci (Piotr i Paweł) uzyskali z matematyki następujące oceny (w dwudziestopunktowej skali):





Rzeczywiste oceny w punktach

Średnia arytmetyczna

Paweł

3, 12, 5, 7, 8, 5, 5, 7, 14, 5

7,1

Piotr

7 , 6, 9, 7, 10, 9, 7, 7, 11, 12

8,5

Czy Paweł osiągał lepsze oceny od Piotra? Jeżeli szereg ocen jest długi. to zebrane informacje, bez żadnego przetworzenia, nie pozwalają udzielić jednoznacznej odpowiedzi na to pytanie. Trzeba zdefiniować kryterium, za pomocą, którego można by ocenić wyniki Piotra na tle wyników Pawła. Tradycyjnie przyjmowanym kryterium jest średnia arytmetyczna - prosta lub ważona


Średnia arytmetyczna prosta
Przykład:
Dla oceny poziomu Piotra i Pawła w zakresie matematyki można przyjąć następujące rozumowanie: suma ocen Pawła wynosi 71 punk­tów a Piotra 85 punktów. Jeżeli oceny każdego ze studentów były równomiernie rozłożone między wykonane zadania, to jaką ocenę można by było przyznać każdemu z nich ?
3 +12+ 5+ 7 +8 +5 +5 + 7 + 14 + 5 71

Paweł =---------------------------------------------------= ----- = 7,1

10 10

7 + 6 + 9 +7+ 10+ 9 + 7 + 7 +11 +12. 85



Piotr =--------------------------------------------------------= ----- = 8,5

10 10


Mówimy, że średnia arytmetyczna prosta (inaczej średnia nie ważona) z ocen Pawła wynosiła 7,1, a Piotra 8,5, skąd wynika, że wyniki Piotr były przeciętnie lepsze od wyników Pawła

Średnia arytmetyczna prosta w statystyce to suma wartości wszystkich jednostek zbiorowości statystycznej podzielona przez liczebność tej zbiorowości (tj. liczbę tych jednostek). Wzór na średnią arytmetyczną ma postać:

X1+X2 +.... +Xn

Sa = ----------------------------

n

gdzie: Sa - średnia arytmetyczna, X1,X2,...,Xn - poszczególne wartości pojedynczych jednostek zbiorowości statystycznej, n - ogólna liczebność badanej zbiorowości (tj. liczba wszystkich jednostek wchodzących w skład zbiorowości statystycznej).


Średnia arytmetyczna ważona
W badaniach statystycznych bardzo często wyznacza się średnie arytmetyczne ważone. Załóżmy, że otrzymane oceny odpowiadają dwóm rodzajom zadań, ocenianych jako mniej ważne (wykonane w domu) lub ważniejsze (rozwiązane w czasie egzaminu).




Zadnia domowe

Zadania egzaminacyjne

Średnia ważona

Paweł

7, 8, 5, 5, 7, 14, 5

3 ,12 , 5

6,9

Piotr

7, 9, 10 ,7, 7, 11, 12

7 , 6 , 9

8,06.

Dla rozróżnienia znaczenia obu typów zadań można im przy wyznaczaniu średniej przydzielić różne „wagi". Można na przykład przyjąć, że jedno zadanie egzaminacyjne jest równoważne trzem zadaniom domowym. Prowadzi to do dwóch rodzajów wag: 1 dla zadań domo­wych i 3 dla zadań egzaminacyjnych. Przy wyznaczaniu średniej oceny dla każdego ze studentów weźmiemy pod uwagę różne wagi przyznane obu typom zadań:


1* (7+8+5+5+7+14+5)+3*(3+12+5)

Paweł: ----------------------------------------------- = 6,9

7+3*3 = 16
Piotr: 1*(7+9+ 10+7+7+ 11 + 12)+3*( 7+6+9 )

----------- ---------------------------------------- = 8,06.

7+3*3 = 16

Przyjmujemy, więc, że studenci rozwiązali jak gdyby 16, a nie 10 zadań, gdyż jedno zadanie egzaminacyjne równe jest trzem zadaniom domowym.

Ogólny wzór na średnią arytmetyczną ważoną zapisujemy jak poniżej

X1*W1 + X2* W2 + .... Xn*Wn

Sw = ------------------------------------------------

W1 + W2 + .... Wn


Gdzie Sw- średnia arytmetyczna ważona, X1+X2+.... +Xn zaobserwowane wartości zmiennych, W1 + W2 + .... Wn wagi ,(współczynniki wagowe ).Wagi mogą być definiowane w różny sposób w zależności od rodzaju badania ,częstości zachodzenia pwenego zjawiska ,wlumenu, wskaźnika udziału itp
Miary średnie (miary położenia, miary przeciętne)
Miary średnie można podzielić na dwie grupy:

- miary klasyczne (obliczane na podstawie wszystkich obserwacji), na przykład: średnia arytmetyczna, średnia harmoniczna, średnia geometryczna;

- miary pozycyjne (obliczane na podstawie wybranych obserwacji w zależności od ich miejsca w szeregu), na przykład: dominanta, mediana.
Średnia arytmetyczna
Średnia arytmetyczna jest ilorazem sumy wartości cechy wszystkich jednostek zbiorowości oraz liczby tych jednostek.

Dla szeregu szczegółowego wyznacza się średnią arytmetyczną nieważoną, w szeregu rozdzielczym liczona jest średnia arytmetyczna ważona:


Oznaczenia:

x – średnia arytmetyczna

xi – wartość cechy i-tej jednostki

xi – wartość środka przedziału

wi – wskaźnik struktury

ni – liczebność cząstkowa

n - liczebność całkowita

Średnia arytmetyczna posiada różne własności; do najważniejszych należy zaliczyć:

- jako wypadkowa wszystkich wartości cechy (miara klasyczna) przyjmuje wartości z przedziału:

xmin ≤ x ≤ xmax
- suma odchyleń wartości cechy od średniej arytmetycznej jest równa zero:
i (xi – x) = 0
- suma kwadratów odchyleń od średniej arytmetycznej przyjmuje wartość minimalną:
i (xi – x)2 = min
- średnią arytmetyczną interpretuje się jako wartość, wokół której skupiają się wszystkie pozostałe wartości; dlatego jej stosowanie ma sens dla rozkładów jednomodalnych (posiadających jedno maksimum) symetrycznych lub z umiarkowaną asymetrią;

- średnia arytmetyczna z próby losowej jest najlepszym estymatorem wartości średniej dla populacji.


Średnia harmoniczna
Średnia harmoniczna jest odwrotnością średniej arytmetycznej z odwrotności wartości cechy. Dla szeregu wyliczającego wyznacza się średnią harmoniczną nieważoną, w przypadku szeregu rozdzielczego – średnią arytmetyczną ważoną:

Oznaczenia:
H – średnia harmoniczna

xi - wartość cechy i-tej jednostki

ni – liczebność cząstkowa

N - liczebność całkowita

k - liczna wyrazów szeregu rozdzielczego

Średnia harmoniczna ma zastosowanie do wyznaczania wartości przeciętnej wielkości względnych.


Średnia geometryczna
Średnia geometryczna jest definiowana jako pierwiastek N-tego stopnia z iloczynu N zmiennych. Dla szeregu wyliczającego wyznacza się średnią geometryczną nieważoną, dla szeregu rozdzielczego – średnią geometryczną ważoną:


Oznaczenia:

G – średnia geometryczna

xi - wartość cechy i-tej jednostki

ni – liczebność cząstkowa

N - liczebność całkowita
Dlaczego interesujemy się średnimi?
Synteza informacji
Odwołanie się do średniej w celu scharakteryzowania danej populacji może wynikać z faktu, iż trudno jest wyciągać wnioski na podstawie zbyt dużego zbioru nieprzetworzonych danych. („Populacja" nie musi oznaczać zbioru ludzi. Może oznaczać zbiór dowolny elementów. Np.. można mówić o populacji 5 filiżanek, do których jest 5 spodeczków przeciętna liczba spodeczków na filiżankę wynosi 1.)


Jeżeli rozpatrujemy sytuację robotników w Polsce, to informacje o ich poziomie życia, wyposażeniu w dobra trwałego użytku, liczbie ich dzieci itd.. zajmowałyby setki i tysiące stron, podczas gdy wykorzystanie średniej pozwala opisać sytuację gospodarczą tej grupy społecznej za pomocą kilku liczb. Podobnie porównanie wielu różnych populacji na podstawie nieprzetwo­rzonych danych może sprawiać duże trudności, podczas gdy zestawienie wartości średnich pozwala wyciągnąć natychmiastowe wnioski.
Pułapki związane ze średnią arytmetyczną
Średnia arytmetyczna pomija rozproszenie danych
Inna cecha -średniej arytmetycznej, która jest przyczyną licznych błędów, wynika ze sposobu jej konstrukcji, który nie ujawnia roz­proszenia wartości składających się na średnią.

Powróćmy do przykładu wyznaczania prostej średniej arytme­tycznej na podstawie ocen z matematyki uzyskanych przez studenta Pawła.




Osoby

Oceny rzeczywiste

Oceny abstrakcyjne

Paweł

3, 12, 5, 7, 8, 5, 5, 7, 14, 5

7,1

Piotr

7 , 6, 9, 7, 10, 9, 7, 7, 11, 12

8,5

Rys A oceny rzeczywiste Pawła Rys B oceny abstrakcyjne



14 14

13 * 13


12 * 12

11 11


10 10

9 9


8 * 8

7 * * 7 * * * * * * * * * *

6 6


5 * * * * 5

4 4


3 * 3

2 2


1 1

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 4 5 6 7 8 9 10

numer zadania numer zadania
Rachunek sprowadza się do znalezienia takiej oceny, którą otrzymałby Paweł za każde z zadań, gdyby suma uzyskanych przez niego ocen równomiernie rozłożyła się między wszystkie rozwiązy­wane przez niego zadania. Przechodzimy więc od sytuacji A do sytuacji B. Na rysunku B różnice między ocenami z poszczególnych zadań znikają. Jeżeli odchylenia od wartości średniej są niewielkie, to wartość informacyjna średniej arytmetycznej jest duża; jeżeli są jednak duże, to część informacji zostaje pominięta.
Średnie arytmetyczne to wielkości, które nie mają rzeczywistych odpowiedników
Przeciętna liczba dzieci w rodzinach mieszkających w moim domu, wynosi 1,7, a każde mieszkanie zajmowane jest przez 3,6 osoby Można podać wiele przykładów takich wartości średnich, które nie mają rzeczywistego odpowiednika. Jeżeli razi nas ta nonsensowna, na pierwszy rzut oka, wartość cechy to dlatego, że zapominamy o tym, że celem tego miernika nie jest odzwierciedlenie pojedynczych przy­padków, lecz podanie pewnej ogólnej charakterystyki danej sytuacji.

Niemniej jednak podane przykłady świadczą o tym, że średnia arytmetyczna nie musi być wielkością najczęściej występującą


Średnia a przypadek indywidualny
Weźmy inny przykład, załóżmy, że dysponujemy następującymi infor­macjami:

  • przeciętny dochód w populacji A wynosi 1000 zł na miesiąc.

  • przeciętny dochód w populacji B wynosi 2000 zł na miesiąc.

Czy można na tej podstawie stwierdzić, że osoba należąca do populacji B ma dochód w przybliżeniu dwukrotnie większy od do­chodu osoby należącej do populacji A? Innymi słowy czy średnia arytmetyczna z dochodów odzwierciedla sytuację poszczególnych członków grupy? Odpowiedź na to pytanie wymaga dodatkowych informacji na temat składu każdej grupy.

Przyjmijmy dwa założenia, co do rozłożenia dochodów w populacji A i B.

Założenie 1:


Populacja A1

Populacja B1

Osoba 1 zarabia 1000

Osoba 1 zarabia 2000

Osoba 2 zarabia 1100

Osoba 2 zarabia 1900

Osoba 3 zarabia 900

Osoba 3 zarabia 2100

Osoba 4 zarabia 1000

Osoba 4 zarabia 2000

Przeciętny zarobek 1 000 Przeciętny zarobek 2 000
Założenie 2:


Populacja A2

Populacja B2

Osoba 1 zarabia 1000

Osoba 1 zarabia 10

Osoba 2 zarabia 1000

Osoba 2 zarabia 10

Osoba 3 zarabia 1000

Osoba 3 zarabia 10

Osoba 4 zarabia 1000

Osoba 4 zarabia 7970

Przeciętny zarobek 1 000 Przeciętny zarobek 2 000


Jeżeli przy założeniu 1 można rzeczywiście powiedzieć, że osoby z populacji B1 mają blisko dwukrotnie większe dochody niż osoby należące do populacji A1, to przy założeniu 2 jest to oczywisty fałsz. Trzy spośród czterech osób populacji B2 zarabiają sto razy mniej niż osoby z populacji A2, a jedna osoba z populacji B2 zarabia 7,97 razy więcej niż dowolna osoba z populacji A2. Oznacza to, że przy założeniu 1 średnia z dochodów w trafny sposób odzwierciedla sytuację każdej osoby należącej do populacji A1 i B1. Natomiast przy założeniu 2, odbiega ona daleko od opisu konkretnych sytuacji osób z populacji B2. Nie odpowiada ona sytuacji najbiedniejszych, których dochody są 200 razy mniejsze od wartości przeciętnej, ani też sytuacji osoby najbogatszej, której dochody są cztery razy wyższe niż dochód średni.


Inne centralne miary statystyczne
Dla porównania poziomu ocen z matematyki każdego ze studentów, można przeprowadzić inny rodzaj rozumowania niż ten, który przyjęto stosując średnią arytmetyczną, rozumianą jako kryterium oceny wiedzy.

Przyjmiemy, że obaj studencki przechodzili 10 testów Uzyskana z nich oceny zostały uporządkowane w poniższej tabeli według wysokości







50 % ocen

50 % ocen

Dominanta

Mediana

Średnia arytmetyczna

Piotr

6, 7 , 7, 7, 7,

9, 9, 10, 11, 12

7

8

75:10 = 7,5

Paweł

3, 5, 5, 5, 5,

7, 7, 8, 12, 14

5

6

71:10 = 7,1


Średnia modalna (moda, dominanta)

Można na przykład postawić pytanie, jaka ocena uzyskiwana była przez obu studentów najczęściej? Jest to pytania o wartość modalną zwaną krótko modą lub dominantą, czyli najczęściej obserwowana wartość badanej cechy.



Liczba zadań Pawła

10

9

8

7


6

5

4 *

3 *

2 * *

1 * * * * *

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Otrzymana ocena

dominanta (moda ) mediana




Dominanta
Dominanta (moda, modalna, wartość najczęstsza) jest wartością cechy, która w zbiorowości lub próbie powtarza się najczęściej. W szeregu rozdzielczym punktowym dominanta jest tą wartością, której odpowiada największa liczebność cząstkowa. W celu wyznaczenia dominanty dla szeregu rozdzielczego przedziałowego należy zastosować wzór:

Oznaczenia:

D – dominanta

x0D – dolna granica przedziału dominanty

nD - liczebność przedziału dominanty

nD-1 - liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty

nD+1 - liczebność przedziału następującego po przedziale dominanty

hD - szerokość przedziału dominanty

Dominanta jest miarą, którą można wyznaczyć graficznie:





Kwartyle
Kwartale dzielą zbiorowość (uporządkowaną według wartości danej cechy w kolejności rosnącej) na cztery części o jednakowej liczebności.

Kwartyl pierwszy (dolny) Q1 jest wartością cechy, która dzieli zbiorowość statystyczną na dwie części w taki sposób, że 25% zbiorowości ma wartości cechy nie większe (tzn. mniejsze lub równe) niż Q1, a 75% zbiorowości ma wartości cechy nie mniejsze niż Q1.

Kwartyl drugi (mediana, wartość środkowa) Q2 (Me) to wartość cechy dzieląca zbiorowość statystyczną na dwie równe części: połowa jednostek posiada wartości cechy nie większe (tzn. mniejsze lub równe) niż mediana, a druga połowa nie mniejsze (tzn. równe lub większe).

Kwartyl trzeci (górny) Q3 jest wartością cechy, która dzieli zbiorowość statystyczną na dwie części w taki sposób, że 75% jednostek ma wartości cechy nie większe (mniejsze lub równe) niż Q3, a 25% jednostek ma wartości nie mniejsze (równe lub większe) Q3.
Wyznaczanie kwartyli
W szeregu szczegółowym i rozdzielczym punktowym należy wskazać obserwacje zajmujące pozycje w jednej czwartej, jednej drugiej i trzech czwartych szeregu, są to, odpowiednio, wartości Q1, Me i Q3.

W szeregu rozdzielczym przedziałowym należy wskazać przedział, w którym znajduje się kwartyl (Q1, Me, Q3), a następnie obliczyć wartości kwartyli za pomocą wzorów:






Oznaczenia:
Q1, Q2, Q3 – odpowiednio, kwartyl pierwszy, drugi, trzeci

x01, x03 - odpowiednio, dolna granica przedziału kwartyla pierwszego i trzeciego

hQ1, hQ3 - odpowiednio, szerokości przedziałów kwartyla pierwszego i trzeciego

nQ1, nQ3 - odpowiednio, liczebności cząstkowe przedziału kwartyla pierwszego i trzeciego

N - całkowita liczebność zbiorowości

ni - liczebność cząstkowa i-tego przedziału

Me - mediana (wartość środkowa)

x0Me - dolna granica przedziału mediany

nMe - liczebność przedziału mediany

hMe - szerokość przedziału mediany

wi - wskaźnik struktury i-tego przedziału

wQ1, wQ3 - odpowiednio, wskaźniki struktury przedziałów kwartyla pierwszego i trzeciego

wMe - wskaźnik struktury przedziału mediany
Mediana
Można również oceniać poziom każdego studenta przypisując mu ocenę zwaną medianą (wartość środkowa), która dzieli zbiór zadań na dwie równoliczne grupy w taki sposób, że liczba zadań, za które student otrzymał niższe oceny, jest równa liczbie zadań, za które student otrzymał oceny wyższe od tej oceny.

Mediana odpowiada takiej wartości cechy Me. że liczba obserwacji mniejszych od Me jest równa liczbie obserwacji większych od Me

Mediana (zwana też wartością środkową lub drugim kwartylem) to w statystyce wartość cechy w szeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której znajduje się jednakowa liczba obserwacji.

W celu wyznaczenia mediany trzeba uporządko­wać wyniki obserwacji w rosnącym porządku

Aby obliczyć medianę ze zbioru n obserwacji, sortujemy je w kolejności od najmniejszej do największej i numerujemy od 1 do n Następnie, jeśli n jest nieparzyste, medianą jest wartość obserwacji w środku (czyli obserwacji numer (n+1)/2). Jeśli natomiast n jest parzyste, wynikiem jest średnia arytmetyczna między dwiema środkowymi obserwacjami.


W naszym przykładzie Piotr najczęściej, bo cztery raz otrzymał ocenę 7 W języku statystycznym średnia modalna dla Piotra wynosiła „7" Z kolei Paweł najczęściej, bo trzy razy otrzymał ocenę „5" Według kryterium średniej modalnej Piotr otrzymuje lepsze oceny niż Paweł

W przy­padku Piotra 50 procent jest niższych od 8 a 50 % wyższych od 8 Medianą z jego ocen jest „8" W przypadku Pawła 50% ocen jest niższych od 6 i 50% jest wyższych od 6. Innymi słowy medianą z ocen Pawła jest „6". Zgodnie z tym kryterium wyniki Piotra są lepsze od wyników Pawła


Niekiedy używane są też inne wersje mediany:

* Wersja, w której dla parzystego n zamiast średniej arytmetycznej losuje się jedną z dwóch obserwacji: numer Taka mediana nie wyprowadza wyniku poza zbiór dotychczasowych wartości.

* Mediana ważona, w której każda obserwacja ma przypisaną wagę

Którą z miar centralnych należy wybrać?

Wybór centralnej miary statystycznej zależy od tego, co chcemy pokazać. Mediana znalazła szerokie zastosowanie w statystyce jako średnia znacznie bardziej odporna na elementy odstające niż średnia arytmetyczna Jest to na ogół zaletą, choć czasem może być uważane za wadę szczególnie wtedy, gdy występują niw wpływające na jej wartość duże rozpiętości skrajnych obserwacji.

Średni dochód może być istotnym wskaźnikiem poziomu życia, jeżeli dochody nie są zbyt rozproszone w stosunku do średniej arytmetycznej. Dochód modalny odpowiada dochodowi i uzyskiwanemu najczęściej przez osoby tworzące daną populację i in­formuje o najczęściej spotykanej sytuacji. A dochód medialny in­formuje o minimalnym dochodzie, jaki osiąga bogatsza połowa osób. a także o dochodzie maksymalnym uzyskiwanym przez biedniejszą połowę osób.


Gdybyśmy mogli wy­brać kraj zamieszkania, w którym dochód przydziela się losowo z ogólnej pu­li dochodów istniejących w tym kraju, to czy wybralibyśmy kraj o najwyższym PKB na obywatela, czyli dochód średni? Nie znacznie większe zna­czenie miałaby dla was dochód medianowy, czyli wartość dzieląca daną populację na pół 50 proc. ludzi zarabia poniżej tej su­my, a 50 proc. powyżej. W miarę jak krzywa dystrybucji dochodów staje się coraz bardziej stroma, gdyż coraz większa część bogactwa znajduje się w rękach wą­skiej elity, mediana dochodów coraz bar­dziej spada poniżej średniej. Dlatego też np. w USA rośnie wprawdzie PKB na głowę, ale dochód medianowy na gospodarstwo domowe w rzeczywistości spada.

MIARY ZRÓŻNICOWANIA (zmienności, rozproszenia, dyspersji)
Miary zróżnicowania można podzielić na dwie grupy: miary bezwzględne (absolutne) i miary względne. Do bezwzględnych miar zmienności zalicza się: rozstęp, odchylenie przeciętne, wariancję, odchylenie standardowe. Miarami względnymi są współczynniki zmienności.

Miary zróżnicowania informują o ile (jak bardzo) wartości cechy poszczególnych jednostek zbiorowości statystycznej różnią się od wartości średniej.


Klasyczne, bezwzględne miary zróżnicowania:
odchylenie przeciętne – średnia arytmetyczna bezwzględnych różnic pomiędzy poszczególnymi wartościami cechy, a średnią arytmetyczną:

Oznaczenia:

xi – wartość cechy i-tej jednostki

x - średnia arytmetyczna

ni – liczebność cząstkowa

N - liczebność całkowita

wi – wskaźnik struktury i-tej grupy

wariancja – średnia arytmetyczna bezwzględnych różnic pomiędzy poszczególnymi wartościami cechy, a średnią arytmetyczną:



Oznaczenia:

S2 - wariancja

xi – wartość cechy i-tej jednostki

x - średnia arytmetyczna

ni – liczebność cząstkowa

N - liczebność całkowita

wi – wskaźnik struktury i-tej grupy

odchylenie standardowe – dodatni kwadratowy pierwiastek z wariancji:


gdzie: s – odchylenie standardowe

s2 - wariancja


Miary zróżnicowania absolutne pozycyjne

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13


©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna