Niezbędnik ekonomisty roboczy



Pobieranie 0.94 Mb.
Strona8/13
Data10.05.2016
Rozmiar0.94 Mb.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13

rozstęp – różnica maksymalnej i minimalnej wartości cechy:




gdzie: R – rozstęp

xmax maksymalna wartość cechy

xmin - minimalna wartość cechy

odchylenie ćwiartkowe – połowa wartości rozstępu międzykwartylowego:




gdzie: Q - odchylenie ćwiartkowe

Q1 - kwartyl pierwszy

Me - mediana

Q3 – kwartyl trzeci


Względne miary zróżnicowania (współczynniki zmienności)


klasyczne


pozycyjny

gdzie: Vd, Vs, VQ – współczynnik zmienności

d – odchylenie przeciętne

s - odchylenie standardowe

Q – odchylenie ćwiartkowe

Typowy obszar zmienności:

Znajomość miary średniej (średnia arytmetyczna, mediana) i miary zmienności (odchylenie przeciętne, odchylenie standardowe, odchylenie ćwiartkowe) pozwala określić typowy obszar zmienności:




Oznaczenia:

d – odchylenie przeciętne

s – odchylenie standardowe

Q – odchylenie ćwiartkowe

x - średnia arytmetyczna

Me- mediana

xtyp – wartość cechy jednostki typowej
MIARY ASYMETRII (skośności)
Badanie asymetrii jest szczególnie ważne przy dokonywaniu porównań struktur zbiorowości statystycznych, gdy charakteryzują się one podobnymi niektórymi wartościami, np. średnimi lub jednakowym rozproszeniem.

O stopniu i kierunku asymetrii decyduje wzajemne położenie względem siebie średniej arytmetycznej i dominanty (mediana przyjmuje zawsze wartości leżące pomiędzy nimi).

Wzajemne położenie średniej, dominanty i mediany w rozkładzie

D

Me

średnia


x = Me = D Równość oznacza brak asymetrii, jednostki są zgromadzone w środku rozkładu, wokół średniej.


x < Me < D Szereg charakteryzuje się asymetrią lewostronną (ujemną), to znaczy, że większość jednostek posiada wartości cechy większe niż średnia arytmetyczna.
x > Me > D Szereg charakteryzuje się asymetrią prawostronną, to znaczy, że większość jednostek posiada wartości cechy mniejsze niż średnia arytmetyczna.
Oznaczenia:

x – średnia arytmetyczna

Me - mediana

D - dominanta

Miarą asymetrii jest współczynnik asymetrii (współczynnik skośności). Klasyczny współczynnik asymetrii zdefiniowany jest jako stosunek różnicy średniej arytmetycznej i dominanty do odchylenia standardowego:




gdzie: As – klasyczny współczynnik asymetrii

x - średnia arytmetyczna

D - dominanta

s - odchylenie standardowe


Pozycyjny współczynnik asymetrii jest wyznaczony jako:

gdzie: Ap - pozycyjny współczynnik asymetrii

Q1 - kwartyl pierwszy

Me – mediana (kwartyl)

Q3 – kwartyl trzeci

Q - odchylenie ćwiartkowe
Współczynnik asymetrii informuje o kierunku (znak współczynnika) i sile asymetrii.

MIARY KONCENTRACJI
Ważną informacją dotyczącą struktury zbiorowości statystycznej jest koncentracja. Należy zaznaczyć, że zjawisko koncentracji, które nas interesuje, oznacza nierównomierny podział globalnego funduszu wartości cechy (sumy wartości cechy wszystkich jednostek zbiorowości statystycznej). Koncentracja w tym znaczeniu jest ściśle związana z asymetrią i zmiennością.

Rozkład dochodów gospodarstw domowych
Ekonomia, jak również inne nauki społeczne, od dawna interesują się kwestią podziału dochodu w społeczeństwie i jego determinantami oraz analizują źródła powstających na tym tle nierówności.

W połowie 1998 r. przeciętne miesięczne wynagrodzenie nominalne brutto w Polsce wynosiło 1221 zł, a wynagrodzenie netto - 1021 zł. Po tzw. ubruttowieniu zarobków, w styczniu 1999 r. przeciętne wynagrodzenie brutto (powiększone o obowiązkową składkę na ubezpieczenia społeczne) wyniosło 1345 zł.

Wielkości przeciętne zacierają ogromne różnice w zarobkach różnych osób. Możliwe są bowiem sytuacje w których niewielka grupa gospodarstw domowych otrzymuje wysokie dochody, zaś pozostałe liczne gospodarstwa mają znikomy udział w globalnym dochodzie. Aby poznać sytuacje materialną pracowników, trzeba się zapoznać z rozkład dochodów.

Rozkład dochodów w społeczeństwie jest niezbędny do prawidłowego zrozumienia ważnych kwestii dotyczących poziomu rozwoju społecznego i gospodarczego społecznego pokoju itd. Zagadnieniami tymi żywo zainteresowana jest także szeroko rozumiana opinia publiczna. We wrześniu 1997 r. rozkład miesięcznych zarobków brutto był następujący:





Rozkład zarobków w Polsce w 1997r

Przedział zarobków

Odsetek pełnozatrudnionych

do 500 zł

7,6%

500-700 zł

18,0%

700-900 zł

20,4%

900-1200 zł

23,1 %

1200-1500 zł

12,8%

1500-2000 zł

9,6%

powyżej 2000 zł

8,5%

Drastyczny podział na biednych i bogatych to przekleństwo niejednego społeczeństwa. Ekonomiści wypracowali narzędzia, pozwalające badać głębokość tych podziałów w poszczególnych krajach. Jednym z narzędziem analizy nierówności dochodowych i majątkowych w społeczeństwie jest krzywa Lorenza. Pozwala ona w sposób wizualny przedstawić stopień nierówności w rozkładzie dochodów pomiędzy skrajnymi przypadkami. Krzywa ta pokazuje, jaka część dochodu (majątku) całego społeczeństwa przypada w udziale wyróżnionym według stopnia zamożności grupom badanych gospodarstw domowych.




Rozkład dochodów osobistych w Wielkiej Brytania

Grupy kwintylowe

Odsetek dochodów w kolejnych grupach kwintylowych



Skumulowany odsetek osób

Skumulowany odsetek dochodów

Idealna równość

Skumulowany odsetek dochodów

Całkowita nierówność

Skumulowany odsetek dochodów

Rozkład rzeczywisty

Pierwsza A

4,7

20

20

0

4,7

Druga B

11,2

40

40

0

15,9

Trzecia C

17,1

60

60

0

33,0

Czwarta D

24,3

80

80

0

57,3

Piąta E

42,7

100

100

100

100,0

Aby ją wykreślić badaną populację dzieli się na kilka np. cztery (kwartyle), pięć (kwintyle), a niekiedy dziesięć (decyle) równych liczebnie grup gospodarstw domowych. Następnie porządkujemy je od najuboższych do najzamożniejszych. Sumując (kumulując) dochody w kolejnych grupach można porównać faktyczny rozkład dochodów z przypadkami skrajnym

Przyjmiemy, że mamy pięć grup. Gdyby dochody były rozłożone równomiernie, wówczas każde 20% społeczeństwa) otrzymywałoby dokładnie 20% wytworzonego dochodu globalnego. Jest to całkowita równość w podziale dochodów. Drugim skrajnym przypadkiem jest sytuacja, w której tylko jedna osoba (grupa) otrzymuje cały wytworzony dochód; jest to całkowita nierówność w podziale dochodów.

Pomiędzy tymi skrajnymi przypadkami znajduje się rzeczywisty podział dochodu w społeczeństwie Sytuacje te ilustruje tabela, powyżej, która pokazuje rozkład dochodów (ze wszystkich źródeł) w Wielkiej Brytanii. Z przedstawiony w tabeli powyżej danych wynika, że

* 20% najbiedniejszych gospodarstw domowych uzyskało zaledwie 4,7 % do­chodu narodowego,

* W badanym okresie znajdujące się w piątej grupie 20% najbogatszych gospodarstw domowych otrzymało prawie 50% dochodu narodowego

Przestawiony w tabeli rzeczywisty rozkład dochodu możemy przedstawić w postaci punktów Łącząca je linia ciągła to krzywą Lorenza. Jest to narzędzie pozwalające w sposób wizualny przedstawić stopień nierówności w rozkładzie dochodów pomiędzy skrajnymi przypadkami.

Krzywa Lorenza i współczynnik Giniego
Pojęcie koncentracji ograniczone jest dwoma skrajnymi przypadkami. Pierwszy określa brak koncentracji, tzn. gdy występuje równomierny podział sumy wartości miedzy jednostki populacji. Drugi skrajny przypadek opisuje koncentrację zupełną, tzn. stan, w którym całkowity fundusz wartości jest w posiadaniu jednej jednostki. W celu zbadania stopnia koncentracji, w praktyce, stosowane są dwie metody: analityczna i graficzna.

Metoda graficzna polega na wykreśleniu wieloboku Lorentza: na osi odciętych odkłada się skumulowane częstości względne (w %), a na osi rzędnych – procentowe skumulowane częstości wartości cechy. Następnie należy połączyć punkty o tych współrzędnych i dołączyć przekątną kwadratu nazywaną linią równomiernego rozdziału. Wielobok Lorentza został przedstawiony na rysunku?

Aby ją wykreślić na osi poziomej X-ów układu współrzędnych odkładamy odsetek wszystkich gospodarstw domowych w kolejności od najuboższych do najbogatszych, natomiast na osi pionowej Y-ów odsetek całkowitego dochodów do dyspozycji przypadający na nie
Procent dochodu Rys. Krzywa Lorenza

100%



75%
50%




25%




45 ) Procent gospodarstw domowych

50 60 90 100%

Krzywa ta zaczyna się a w początku układu współrzędnych, gdzie 0 % gospodarstw domowych osiąga 0 % całkowitego dochodu do dyspozycji a kończy się w prawym, górnym rogu diagramu, gdzie 100 % gospodarstw domowych otrzymuje w sumie 100% tego dochodu. Punktu na krzywej pokazują, jaka część wszystkich dochodów przypada danemu odsetkowi gospodarstw domowych

Biegnąca z początku układu współrzędnych pod kątem 45 stopni linia zielona ilustruje doskonałą równość rozkładu dochodu w społeczeństwie doskonale egalitarnym, w którym wszyscy zarabiają tyle samo. Leżące na tej linii punkty przedstawiają sytuację, w której 10 % ludności otrzymuje 10% dochodu, 20% ludności otrzymuje 20% dochodu i tak dalej. Na linii tej procentowy udziałowi ludności dochodach odpowiada dokładnie taki sam, procentowy udział i w dochodach.

Wychodząca z początku układu pozioma linia w postaci ciągu kropek, to krzywa ilustrująca całkowitą nierówność podziału dochodu w społeczeństwie Ilustruje ona sytuację, w której 100% dochodu przypada tych warunkach niewielkiemu ułamkowi wszystkich gospodarstw domowych Obydwie te krzywe ilustrują sytuację, która w praktyce nie występują

Pomiędzy tymi dwoma skrajnymi przypadkami: absolutnej równości i całkowitej nierówności dochodów występuje rzeczywisty stan rzeczy z nierównomiernym rozkładem dochodów. Stan ten obrazuje linia czerwona lub niebieska. Jest ona w normalnych warunkach zakrzywiona ku górze i wspina się delikatnym bądź ostrym łukiem.

Jej kształt wskazuje na stopień nierówności. Im bardziej jest ona wypukła, tym dochody są bardziej zróżnicowane. Na naszym wykresie przedstawia ją linia czerwona/niebieska.

W przedstawionej sytuacji 50% ludności skupia w swoich rękach tylko 25% całkowitego dochodu. Poruszając się w prawo po osi odciętych widzimy, że niewielka część populacji dysponuje dość dużym dochodem, bo blisko granicy określającej 100% ludności krzywa jest dość stroma.


Krzywa Lorenza znajduje dość szerokie zastosowanie, gdyż pozwala zilustrować zróżnicowanie dochodów (majątku) w określonej grupie społecznej w skali całego kraju a nawet w skali międzynarodowej. Umożliwia przy tym także określenie rozkładu dochodów wewnątrz różnych grup społeczeństwa oraz dokonywanie porównań w czasie. Jest do tego przydatnym narzędziem do analizowania skutków redystrybucji podatkowej.


Rysunek . Wielobok Lorentza.






 

Im większy jest stopień koncentracji, tym bardziej krzywa koncentracji odchyla się w dół od linii równomiernego podziału, a więc tym większe pole a figury wyznaczonej przez linię równomiernego podziału i krzywą koncentracji.

Współczynnik koncentracji (Giniego )
Jednak za pomocą samej tylko krzywej trudno byłoby porównać nierówności dochodów w poszczególnych krajach. Znacznie lepszym narzędziem pomiaru nierówności w społeczeństwie, który opiera się na przedstawionej krzywej jest w tym przypadku miernik ilościowy, który nosi miano współczynnika koncentracji Lorentza KL

Oblicza się go jako stosunek pola a (które pokazuje jak bardzo rzeczywisty rozkład dochodów różni się od podziału egalitarnego) do pola P czyli trójkąta wyznaczonego przez oś odciętych i linię rozkładu dochodów w przypadku, gdy każdy ma tyle samo. Maksymalna powierzchnia pola P= a+b jest równa połowie pola kwadratu  100*100= 10 000



P = a + b = 5000

 

Taka definicja sprawia, że współczynnik koncentracji jest miarą unormowaną która przyjmuje wartości z przedziału :



Dla doskonałej równości i braku koncentracji przyjmuje on wartość 0, natomiast w sytuacji doskonałej nierówności całkowitej koncentracji jego wartość wynosi 1

Wyższa wartość oznacza, że rozkład dochodów jest bardziej nierównomierny, natomiast wartości bliskie zero sugerują, że podział produktu społecznego zbliżony jest do egalitarnego. Czasem wartość współczynnika Giniego podaje się w procentach, co sprawia, że osiąga on wartości z przedziału 0-100%.

Pole wieloboku koncentracji Lorentza a można wyznaczyć jako różnicę pola połowy kwadratu (5000) i sumy pól odpowiednich figur geometrycznych, przy czym pierwsza figura jest zawsze trójkątem prostokątnym, a pozostałe trapezami:

 

 
Co mówią fakty?
Jego wartość może być w różnych krajach i w różnych okresach różna. I tak w USA po spadku w latach 1950-1970 z 0,37 do poziomu 0,31 wzrósł on w okresie 1970 -1970 do poziomu ca 0,4 (Zob. B. Czarny Podstawy .. cyt wyd s. 312.)

Analizując kraje znajdujące się na różnym stopniu rozwoju (według indeksu HDI) stwierdzamy, że z reguły kraje wysokorozwinięte mają niższy współczynnik Giniego, a co za tym idzie – mniejszą rozpiętość dochodów. Nie jest to jednak reguła. Sklasyfikowana na 58 miejscu rankingu HDI Panama charakteryzuje się współczynnikiem Giniego na poziomie 56,4%, a znajdujący się na 53 miejscu Meksyk – 49,5%. Polska ma względnie niski poziom nierówności i notuje wartość współczynnika równą 34,5%.


Liderem egalitaryzmu jest wśród krajów rozwiniętych Dania, która odnotowuje współczynnik Giniego równy 24,7%. Poruszając się wśród krajów średnio rozwiniętych raczej napotkamy kraje o wyższej wartości współczynnika, choć oczywiście nie jest to regułą (znajdujący się na 134 pozycji Pakistan ma współczynnik Giniego niższy od Polski – 30,6%). Posuwając się dalej w dół listy nie napotkamy już rażąco wyższych odczytów. Rekordzistą jest Lesoto z miarą nierówności sięgającą 63,2% - nie jest to jednak wynik miarodajny, ponieważ dane dla tego kraju pochodzą z 1995 roku. Analizując poszczególne kraje w przekroju kontynentalnym stwierdzamy, że negatywnie wyróżnia się Afryka oraz Ameryka Łacińska.

Miary ubóstwa

Oceny tego zjawiska – zarówno jego zasięgu, jak i głębokości zależą od przyjęcia tzw. roboczej definicji ubóstwa oraz zastosowania konkretnych rozwiązań metodologicznych Chociaż bezdyskusyjny wydaje się pogląd, że ubóstwo jest zjawiskiem wielowymiarowym, to ze względów praktycznych, przy określaniu zasięgu tego zjawiska, zakres pojęcia ubóstwa ogranicza się z reguły do wymiaru ekonomicznego. Tradycyjnie za wskaźnik sytuacji materialnej gospodarstwa domowego uznaje się jego dochód lub w zastępstwie dochodu, poziom wydatków gospodarstwa domowego.

W dzisiejszych czasach gospodarstwo domowe (a tym samym wszystkie osoby wchodzące w jego skład ) zostanie uznane za ubogie, jeżeli poziom wydatków lub dochodów będzie niższy od wartości przyjętej za granicę ubóstwa. Stąd w wielu krajach wyznacza się tzw. próg (granicę) ubóstwa). Czasami określa się go jako określony procent średniej krajowej (pojęcie względne) lub w oparciu o koszyk dóbr i usług ( pojęcie bezwzględne ). Standard taki określać może minimum fizjologiczne ( niezbędne do przetrwania ) lub – w ujęciu bardziej liberalnym – społecznie akceptowalne minimum poziomu życia. Do jego obliczenia służyć mogą dane o budżetach domowych albo też intuicyjnie przekonania przedstawicieli badanych gospodarstw domowych. W praktyce granicami wyznaczającymi sferę niedostatku są :

* minimum socjalne, określone przez taki koszyk dóbr i usług, aby rodzina określonego typu mogła zaspokoić potrzeby biologiczne, kulturalne i społeczne na poziomie uznanym za niezbędny. Oprócz wydatków na żywność oraz mieszkanie, które stanowią w sumie w Polsce ponad 60 % całego budżetu założonego w minimum socjalnym, minimum to uwzględnia również wydatki na zaspokojenie innych potrzeb, a tym samym na edukację, zdrowie, kulturę, aktywny wypoczynek, transport, łączność. Minimum socjalne może więc być traktowane nie jako próg ubóstwa, lecz jako granica wyznaczająca sferę niedostatku, ostrzegająca przed ubóstwem

* minimum egzystencji, uznawane za granicę ubóstwa skrajnego. Szacowane jest na podstawie stałego koszyka, który zapewnia zaspokojenie wyłącznie niezbędnych potrzeb: skromne wyżywienie, utrzymanie bardzo małego mieszkania, uzupełnienie najbardziej podstawowych artykułów gospodarstwa domowego i bielizny osobistej, leki oraz potrzeby związane z wykonywaniem obowiązku szkolnego. W koszyku nie uwzględnia się natomiast żadnych potrzeb związanych z wykonywaniem pracy zawodowej, komunikacją , wypoczynkiem ( nawet korzystania z telewizji ). Ponieważ tak określone minimum egzystencji uwzględnia jedynie te potrzeby, których zaspokojenie nie może być odłożone w czasie a konsumpcja niższa od poziomu wyznaczonego tą granicą prowadzi do biologicznego wyniszczenia, poziom minimum egzystencji przyjęto za granicę skrajnego ubóstwa.

Do oceny zasięgu ubóstwa wykorzystuje się prosty miernik zwany stopą ubóstwa, Oblicza się go jako iloraz liczby jednostek ubogich do liczby jednostek w całej populacji. Podawany w procentach mówi, jaki jest odsetek, lub inaczej – jaka jest frakcja ubogich – w danej populacji.

Głębokość ubóstwa przedstawia się z reguły za pomocą średniej luki dochodowej. Wskaźnik ten informuje, o ile procent przeciętne dochody ( wydatki ) gospodarstw domowych są niższe od wartość przyjętej za granicę ubóstwa.

W praktyce jednak możemy rozróżniać różne pojęcia ubóstwa. Zatem należałoby im w tym miejscu poświęć trochę uwagi.

O obiektywnym progu ubóstwa mówimy wtedy, gdy określony zostanie on przez ekspertów w oparciu o opinię władz politycznych, krajowych czy międzynarodowych. Może on stać się oficjalną miarą ubóstwa, jednak w praktyce rzadko pokrywa się z subiektywnym odczuciem ubóstwa u poszczególnych jednostek czy rodzin. O ile oficjalne dane o obiektywnym progu ubóstwa znajdziemy w publikacjach GUS, o tyle badania subiektywnego progu ubóstwa przeprowadza CBOP.

Obiektywna granica ubóstwa w praktyce jest kwotą, która zgodnie z przyjętą ustawą ( miesięczny dochód netto w gospodarstwie domowym) uprawnie do ubiegania się o przyznanie świadczenia pieniężnego z pomocy społecznej.

Przy wyznaczaniu subiektywnej granicy ubóstwa bierze się pod uwagę opinię badanych gospodarstw domowych dotyczącą ich potrzeb w zakresie dochodów. Również w badaniach budżetów gospodarstw domowych GUS zbiera informacje, które pozwalają na oszacowanie subiektywnych granic ubóstwa.
Linia ubóstwa i współczynnik ubóstwa
Współczynnik ubóstwa (ang. poverty rate) stanowi odsetek gospodarstw domowych żyjących poniżej linii ubóstwa (ang. poverty line),.którą wyznacza minimalny dochód zaspakajający podstawowe potrzeby. W USA linia ubóstwa przebiega na wysokości potrójnego koszyka produktów spożywczych , którego skład określają urzędnicy dbający , aby dobra w koszyku były odpowiednio zróżnicowane

Na położenie linii ubóstwa wpływa oczywiście tempo wzrostu cen a także wielkość gospodarstwa domowego. Z tego to względu wyznacza się kilka różnych linii ubóstwa oddzielnie dla osób samotnych , dla gospodarstw dwuosobowych itd.. I tak w USA w roku 1996 linia ubóstwa dla osób samotnych przebiegała na poziomie 7955 dolarów rocznie a dla rodziny czteroosobowej na poziomie 16 036 (Zob. B. Czarny Podstawy .. cyt. wyd. s. 313.) Zgodnie z tym kryterium aż 13,7 % czyli około 36 mln Amerykanów głównie czarnoskórych i Latynosów żyło w tym czasie w biedzie


REGRESJA LINIOWA

Jednostki statystyczne charakteryzowane są, na ogół, wieloma cechami pozostającymi we wzajemnym powiązaniu. W licznych przypadkach zachodzi potrzeba łącznego ich badania, tzn. badania współzależności cech. Współzależność cech może być dwojakiego rodzaju: funkcyjna (wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie elementów) i stochastyczna. Zależności stochastyczne występują w takich przypadkach, gdzie wielkości zależą od wielu czynników systematycznych i przypadkowych oddziałujących w różny sposób i z różną siłą, wtedy konkretnej wartości jednej cechy odpowiada wiele wartości drugiej cechy. Szczególnym przypadkiem zależności stochastycznej jest związek korelacyjny: konkretnej wartości jednej cechy odpowiada wartość średnia drugiej cechy. Do wyznaczenia stopnia uzależnienia jednej wielkości od drugiej służy współczynnik korelacji oznaczany przez R, definiowany jako:



Współczynnik korelacji zawiera się między -1 a 1. Czym jego wartość bezwzględna jest bliższa jedności, tym dane są bardziej skorelowane (czyli bardziej zależne od siebie). Gdy wartość bezwzględna współczynnika korelacji wynosi jeden, oznacza to, że dane idealnie leżą na prostej  y = a * x + b. Współczynnik korelacji wynoszący zero mówi, że dane od

siebie w ogóle nie zależą. Najczęściej spotyka się wartości pośrednie.

Często spotykamy się z taką sytuacją, gdy mierzono dwie wielkości x i y związane są ze sobą równaniem liniowym

y = ax + b
tak jest np. w przypadku temperaturowej zależności oporu elektrycznego metali R = f(T), skręcenia płaszczyzny polaryzacji światła w funkcji stężenia roztworu cukru a = f(s), okresu drgań relaksacyjnych w obwodzie kondensatora i neonówki od pojemności kondensatora T = f(C) itp.

Wykonując pomiary tych dwu wielkości x i y uzyskujemy pary liczb (xi, yi) i naszym zadaniem jest znaleźć równanie linii prostej (tzn. parametry a i b w równaniu prostej), najlepiej "pasującej" do nich. Niech równanie to będzie miało postać



a "dopasowanie" zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów oznacza, że

gdzie a i b są empirycznymi współczynnikami regresji liniowej.

Jak łatwo zauważyć, wyrażenie w nawiasie w tym równaniu jest odchyleniem punktu eksperymentalnego (liczonym wzdłuż osi y) od odpowiadającej mu wartości wynikającej z równania prostej. Poszukując ekstremum związanego powyższego równania udowadnia się, że



gdzie i = 1,2,3,...,n, czyli n jest ilością par punktów (xi, yi).

Na odchylenie standardowe Sa i Sb, będące miarą niepewności pomiarowych współczynników regresji a i b otrzymuje się następujące równania

 

Kryterium tego, jak nasze punkty pomiarowe (xi,yi) potwierdzają liniową zależność pomiędzy wielkościami x i y, stanowi wartość tzw. współczynnika korelacji liniowej r. Jego wartość zmienia się w granicach od 1 do 0. Gdy |r| = 1, to dopasowanie jest idealne, wszystkie punkty pomiarowe leżą na prostej. Gdy r = 0, to zależność liniowa pomiędzy xi i yi nie istnieje. W pomiarach fizycznych wartość współczynnika korelacji r jest zwykle większa niż 0,98.


Wzór na współczynnik korelacji
Związek między dwoma wielkościami (w ogólnym przypadku - więcej niż dwoma wielkościami) fizycznymi typu 


y = a * x + b

polega na znalezieniu metodą najmniejszych kwadratów relacji między y i x. Pary liczb x i y nie są wielokrotnym pomiarem tej samej wielkości, czyli nie mamy miary rozrzutu pomiarów. Natomiast wiemy, że wynik 




yi - (a * xi + b) 

 podlega rozkładowi normalnemu, zatem odchylenie od prawdziwej relacji  

 y = a * x + b  

rządzi się zasadami rozkładu normalnego. Problem w tym, że prawdziwej relacji nie znamy, tylko przybliżone współczynniki a i b. Liczba stopni swobody jest w tym przypadku równa liczbie pomiarów minus liczba wyznaczanych współczynników, czyli n-2.  Zatem niepewność wyników yi wynosi: 



Stąd określenie niepewności wyznaczenia współczynników a i b sprowadza się do wyliczenia:





Do wyznaczenia stopnia uzależnienia jednej wielkości od drugiej służy WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI, oznaczany przez R, definiowany jako:



Współczynnik korelacji zawiera się między -1 a 1. Czym jego wartość bezwzględna jest bliższa jedności, tym dane są bardziej skorelowane (czyli bardziej zależne od siebie). Gdy wartość bezwzględna współczynnika korelacji wynosi jeden, oznacza to, że dane idealnie leżą na prostej  y = a * x + b. Współczynnik korelacji wynoszący zero mówi, że dane od siebie w ogóle nie zależą. Najczęściej spotyka się wartości pośrednie.

Do wyliczenia współczynnika korelacji i powyższych niepewności służy (w Excelu) funkcja statystyczna REGLINP w wariancie funkcji tablicowej.

Przedstawiając graficznie wyniki pomiarów w prostokątnym układzie współrzędnych dla skorelowanych zmiennych X i Y uzyskuje się punkty xiyi lepiej lub gorzej układające się na prostej (znaki  na rysunku).



Jednocześnie przy założeniu, że rozrzut punktów rzeczywistych jest spowodowany głównie błędem yi, każdej wartości xi odpowiada wartość yit (znaki  na rysunku), która leży na prostej o równaniu



Definiuje się wielkość



która jest sumą kwadratów różnic między odpowiednimi wartościami yi a yit (sumowanie rozciągnięte jest na wszystkie n punktów pomiarowych).

Można udowodnić, że suma ta posiada minimum (stąd często stosowane określenie metody jako metody najmniejszych kwadratów). Dla istniejącego z pomiarów zbioru wyników xiyi (wyników tych nie możemy już zmieniać!) wartość D2 jest funkcją zależną od współczynników a i b. Warunek formalny na minimum tej funkcji, tzn. zerowanie się cząstkowych pochodnych po a i b



pozwala na rozwiązanie liniowego układu równań i obliczenie najlepszych wartości tych współczynników:



W wielu przypadkach dla zależności korelacyjnej nie znamy wartości współczynników b i a, a bywa, że nie wiemy czy istnieje jakakolwiek zależność (współzależność) między zmiennymi X i Y. Zdaniem naszym jest udzielenie odpowiedzi na dwa pytania:


1) czy współzależność między X i Y istnieje oraz - jeżeli istnieje - 2) to jakie liczbowe wartości przyjmują współczynniki b i a .

1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13


©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna