Podstawowe twierdzenia z teorii prawdopodobieństwa



Pobieranie 13.67 Kb.
Data02.05.2016
Rozmiar13.67 Kb.
Podstawowe twierdzenia z teorii prawdopodobieństwa.

Zdarzenie elementarne jest pojęciem apriorycznym tzn. niedefiniowalnym.

Z każdym doświadczeniem losowym związany jest zbiór odpowiadających mu zdarzeń elementarnych które nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy symbolem .

W modelu matematycznym zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia to przestrzeń zdarzeń elementarnych oznaczana przez . Elementy tej przestrzeni czyli zdarzenia elementarne oznaczane są jako .

Zdarzeniem pewnym nazywamy całą przestrzeń zdarzeń elementarnych , zdarzeniem niemożliwym nazywamy podzbiór pusty zbioru tzn. nie zawierający żadnego elementu.

Jeżeli po przeprowadzeniu eksperymentu otrzymamy wynik należący do zbioru A , to mówimy, że zaszło zdarzenie A. czyli  A co oznacza , że zaszło zdarzenie A

Jeśli A – oznacza, że zaszło zdarzenie przeciwne do A czyli zdarzenie A’.

 nazywamy zdarzeniem pewnym.

Zdarzenia losowe są zbiorami i dlatego można wykonywać na nich wszystkie działania mnogościowe np. sumę iloczyn itp.

Sumą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie oznaczone symbolem AB, składające się z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które należą do A lub do B.

Jeśli A B to mówimy, że zaszło zdarzenie A lub B.

Iloczynem zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie złożone z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które należą do A i B i oznaczamy symbolem AB.

Jeśli AB to mówimy, że zaszło zdarzenie A i B.

Różnicą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie oznaczone symbolem A-B i składające się z tych zdarzeń, które należą do A i nie należą do B.

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie oznaczone symbolem lub A’ do którego należą wszystkie zdarzenia elementarne nie należące do A tzn. = -A.

Jeśli AB to mówimy, że zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B.

Jeśli AB =0 to A i B są zdarzeniami rozłącznymi. Zbiór 0 – zbiór pusty nazywany jest zdarzeniem niemożliwym.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, podana przez Laplace, brzmi następująco:

Jeżeli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo możliwe, to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest ilorazem liczby zdarzeń sprzyjających temu zdarzeniu i liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.

, gdzie k – liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu , n – liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.

Definicja 2. Prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywamy granicę częstości tego zdarzenia, gdy liczba doświadczeń n rośnie nieograniczenie.



Dokładne określenie wartości prawdopodobieństwa wymaga tu przeprowadzenie nieskończonej liczby doświadczeń, co w praktyce jest niemożliwe, ale właśnie tą definicję wykorzystuje się często, przyjmując przybliżoną wartość czyli .

Zaobserwowano bowiem, że w miarę wzrostu liczby powtórzeń doświadczenia losowego częstości względne wykazują coraz mniejsze wahania wokół pewnej stałej liczby.

Niech P(A) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia A.

Dla dowolnego A spełnione są aksjomaty, podane przez A.Kołmogorowa:

1. P(A) jest funkcją nieujemną czyli P(A)0

2. P() =1

3. P(An) = P(An).

Suma prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń elementarnych należących do danego zbioru zdarzeń elementarnych wynosi 1.

Z aksjomatów tych wynikają pewne własności prawdopodobieństwa:

1. dla każdego zdarzenia A prawdziwe jest P()= 1- P(A)

2. .dla każdego zdarzenia A  prawdziwa jest nierówność: 0  P(A) 1.

Dwa zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli zajście jednego z nich nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia drugiego.

Jak wiadomo z rachunku prawdopodobieństwa, dwa zdarzenia A i B są niezależne, jeżeli zachodzi równość P(AB) = P(A) * P(B).



Dla dowolnych zdarzeń A i B zachodzi:

Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P(B) > 0 nazywamy iloraz prawdopodobieństwa części wspólnej zdarzeń A, B i prawdopodobieństwa zdarzenia B



Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Jeżeli zdarzenia losowe A1,...An stanowią podział przestrzeni zdarzeń elementarnych W, oraz P(Ai)>0, to dla dowolnego zdarzenia B zachodzi równość:

P(B) = P(A1)*P(B| A1) + P(A2) * P(B| A2) + ... + + P(An) * P(B| An)


©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna