Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych



Pobieranie 98 Kb.
Data07.05.2016
Rozmiar98 Kb.


Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych

Nr 64

Politechniki Wrocławskiej

Nr 64

Studia i Materiały

Nr 30

2010






elektrometria, bardzo mały prąd, wielka rezystancja,
logarytmujący przetwornik, wykładnicza charakterystyka

Piotr MADEJ*



BADANIA I EFEKTY ASYMETRII NIELINIOWYCH
ELEMENTÓW DO ELEKTROMETRYCZNEGO
PRZETWORNIKA LOGARYTMUJĄCEGO

Para elementów o wykładniczej zależności prądu od napięcia jest niezbędna do budowy przetwornika logarytmującego stosunek wejściowych prądów. Elementy te, diody lub tranzystory współpracują ze wzmacniaczem, w wersji elektrometrycznej, gdy zasadniczym obszarem wykorzystania przetwornika są badania obiektów o skrajnie małych prądach lub wielkich rezystancjach. Ich symetria i zgodność charakterystyki z wykładniczym ideałem decydują o zakresie i jakości pracy przetwornika.

W opracowaniu analizowano wpływ asymetrii nieliniowych elementów na błędy przetwornika. Zamieszczono próbki wyników badań takich elementów. Omówiono wyniki, oszacowano poziom asymetrii oraz stwierdzono pewne zależności między właściwościami takich elementów. Wnioski z całej wykonanej pracy pozwolą na bardziej optymalny dobór elementów do przetwornika oraz racjonalniejszą ocenę jego właściwości metrologicznych.

1. WSTĘP


Przetworniki pomiarowe w elektrometrii, logarytmujące stosunek małych wejściowych prądów, wymagają zastosowania nie tylko wysokiej jakości wzmacniaczy elektrometrycznych, ale także doskonałych elementów nieliniowych, włączonych np. w pętlę ujemnego sprzężenia zwrotnego tych wzmacniaczy. O jakości całego przetwornika w przeważającej części zakresu jego pracy decydują właściwości tych elementów nieliniowych. Pracują one parami ([2,4,5]) i bardzo istotna jest zgodność ich charakterystyk aż do najmniejszych przetwarzanych prądów, sięgających w elektrometrii nierzadko ułamków pikoamperów. Druga krytyczna, wymagana właściwość to bardzo małe odstępstwa obrazu charakterystyki od funkcji wykładniczej w dużym zakresie zmian prądu. Produkowane scalone układy logarytmujące (np. [2]) nie są wystarczające dla potrzeb elektrometrii, bowiem zakres ich pracy rzadko schodzi poniżej 1 nA. W pierwszej części opracowania skupiono się nad asymetrią elementów nieliniowych oraz własnościami przetwornika.

2. UKŁAD PRZETWORNIKA

Podstawowe rozwiązania przetworników opierają się na wykorzystaniu półprzewodnikowego elementu o wykładniczej charakterystyce, diody lub tranzystora, współpracującego z elektrometrycznym wzmacniaczem operacyjnym (WEM), tj. o bardzo małych wejściowych prądach i bardzo dużych wejściowych rezystancjach.

Praktycznie nie buduje się jednowejściowych przetworników pomiarowych. Jedno z wejść pobiera sygnał pomiarowy a drugie – odniesienia. Efekt wyjściowy – napięcie powinno być proporcjonalne do logarytmu ze stosunku prądów wpływających do obu wejść. To zmniejsza niedoskonałości przetworników jednowejściowych a jednocześnie daje doskonałą okazję do wykorzystania przetwornika w pomiarach dużych rezystancji. Jeżeli jeden z prądów zależy od badanej rezystancji a drugi od rezystancji odniesienia, przy czym do obu przykładane jest jednakowe napięcie, to eliminuje się wpływ niedokładności tego napięcia a wynik przetwarzania jest proporcjonalny do logarytmu ze stosunku obu rezystancji. Można więc taki przetwornik traktować jako logarytmujący komparator, o największej czułości w pobliżu stanu równości, malejącej przy rosnącej rozbieżności.

Struktury przetworników logarytmujących można podzielić na układy:


  1. dokładnie symetryczne, np. ze wzmacniaczem różnicowym (rys. 1),

  2. o przeciwnych znakach prądów z odwrotnie włączonymi diodami lub tranzystorami przeciwstawnymi, np. z sumatorem (rys. 2),

  3. o niesymetrycznie włączonych elementach wykładniczych, co do miejsca włączenia oraz w przypadku tranzystorów, dla różnego połączenia ich elektrod, np. układy z jednym wzmacniaczem (rys. 4, 5).

We wszystkich tych rozwiązaniach potrzebne są dwa elementy wykładnicze, zwykle o identycznych charakterystykach, nawet jeżeli są to tranzystory o różnym połączeniu elektrod.

2.1. UKŁAD SYMETRYCZNY

W pokazanym na rys. 1 przykładzie układu symetrycznego ([5]) są dwa takie same stopnie wejściowe z WEM1 i WEM2, w których tranzystory są włączone identycznie a wyjściowy stopień na W3 to prosty wzmacniacz różnicowy. Zamiast bipolarnych tranzystorów npn można użyć diod półprzewodnikowych, włączonych w kierunku przewodzenia w pętle sprzężenia wzmacniaczy WEM1 i WEM2.

Rys. 1. Przetwornik symetryczny z wyjściowym wzmacniaczem różnicowym


Fig. 1. Symmetric converter with output differential amplifier

Przy założeniu, że wejściowe napięcie różnicowe wzmacniaczy Uid  0 V i pomijalny jest prąd wejścia odwracającego wzmacniaczy elektrometrycznych (WEM), w węzłach wejściowych jest pozorna masa a prądy pętli (tutaj prądy kolektorowe tranzystorów) są równe prądom wejściowym układu Ii . Należy jeszcze dodać warunki praktycznej pomijalności:



  1. prądów upływu przez rezystancje izolacji w tranzystorach,

  2. prądów nasycenia złączy tranzystorów w porównaniu z wejściowymi,

  3. spadku napięcia na resztkowej szeregowej rezystancji tranzystora rE od prądu wejściowego mniejszego od około 0,1 mA.

Takie założenia pozwalają uprościć zapis zależności dla elementów nieliniowych:

tranzystor dioda (1)

gdzie:

IS – prąd nasycenia złącza, parametr w równaniu Shockleya,

M – współczynnik korekcyjny, = 1kilka dla diod,  1 dla tranzystorów,

T – potencjał elektrokinetyczny = kT/e, gdzie k  stała Boltzmanna, e  ładunek elementarny, T  temperatura w Kelwinach. T   25,85 mV przy T = 300 K.

Zależność dla układu z rys. 1, przy uwzględnieniu (1) ma postać:

. (2)

Gdy temperatury obu złączy są identyczne T1 = T2 a wzmacniacz różnicowy jest symetryczny R4/R3 = R2/R1 zależność upraszcza się do formy:



, (3)

a przy pełnej symetrii tranzystorów:



. (4)

Zależność (3) pokazuje skutki niesymetrii elementów nieliniowych, tutaj wyrażoną przez niezgodność parametrów w równaniu Shockleya (1). Różny od 1 stosunek prądów nasycenia daje błąd niezależny od sygnału wejściowego. Przykładowo dla stosunku 0,5-2 pierwszy składnik w nawiasie kwadratowym (3) jest mniejszy od  0,7 i jako stały błąd adytywny jest łatwy do wyeliminowania. Gorsza jest asymetria współczynników M. Przy ich stosunku różnym od 1 pojawia się błąd zależny od sygnału na wejściu nr 2 i wskutek dużego stosunku Ii2/IS2 może być on znaczący. Gdy przedział Ii2 = 10 pA-100 A, a prąd nasycenia np. IS2 = 1 fA i stosunek M2/M1 = 1,05, to zmiany drugiego składnika w nawiasie kwadratowym (3) są 0,46-1,27. Można próbować środkami układowymi zmniejszyć takie błędy1, ale nie zawsze jest to proste, a zawsze zwiększa złożoność i awaryjność układu.

Nierówność temperatur złączy spowoduje błąd, większy i trudniejszy do analizy, bowiem nie tylko ich stosunek występuje w bezpośredniej postaci w (2), ale zależą od niej wartości współczynników M oraz bardzo silnie – prądów I. Dlatego uznaje się, że dla prawidłowej pracy przetwornika logarytmującego należy zapewnić pomijalnie małą różnicę między tymi temperaturami; co jest realizowane przez stosowanie scalonych par tranzystorów bądź zabiegi konstrukcyjne gdy są to elementy dyskretne.

Rys. 2. Przetwornik z przeciwnymi prądami wejściowymi i wyjściowym sumatorem


Fig. 2. Converter with opposite input currents and output adder

Drugi z prezentowanych układów, z wyjściowym sumatorem prądowym (rys. 2) jest także symetryczny jak chodzi o sposób połączenia wzmacniaczy, ale wejściowe prądy muszą mieć przeciwne kierunki, czego skutkiem jest odwrotne włączenie diod. W układzie można zastosować parę tranzystorów pod warunkiem, że jeden będzie npn a drugi pnp, co jest najgorszym rozwiązaniem ze względu na największe rozbieżności charakterystyk. Lepszą wersją jest włączenie obu tej samej polaryzacji, ale jeden w połączeniu transdiodowym, drugi diodowym albo oba w takim samym połączeniu dwójnikowym: diodowym lub złączowym (rys. 3a-3c). W każdym z nic parametry modelu tranzystora z zal. (1) są nieco inne.



Rys. 3. Trzy połączenia tranzystora w przetworniku: a) transdioda, b) dioda, c) złącze BE


Fig. 3. Three connections of the transistor in converter: a) transdiode, b) diode, c) BE junction

Zależność opisująca działanie układu z rys. 2, przy takich samych założeniach jak dla poprzedniego, ma postać:



. (5)

Przy pełnej symetrii elementów nieliniowych oraz obu wejść sumatora (R1 = R2) zależność dla ideału jest taka jak (4). Uwagi o błędach wywołanych asymetrią diod lub tranzystorów są także takie same, tyle że niektóre z wybranych połączeń tranzystorów mogą dać gorsze efekty.

2.2. UKŁAD NIESYMETRYCZNY

Tranzystory najczęściej pracują w innym połączeniu od transdiodowego lub niesymetrycznie w przetwornikach oszczędnych, o zmniejszonej liczbie wzmacniaczy, krańcowo do jednego ([4-6]). Na kolejnych dwóch rysunkach pokazano kilka takich wersji układu.

Przetworniki te, poza prostotą mają jedną wspólną cechę. Obydwa wejścia wzmacniacza mają niepomijalne napięcie w stosunku do masy; jest to spadek napięcia na tranzystorze T rzędu kilkuset miliwoltów. Wynikowy błąd metody może być zaniedbywalny tylko w razie dużej wartości zastępczej siły elektromotorycznej w wejściowych źródłach prądowych, rzędu 100 V i więcej, jak np. przy testowaniu izolacji urządzeń przemysłowych.

Rys. 4. Najprostszy przetwornik z tranzystorami w połączeniu diodowym


Fig. 4. Simplest converter with transistors in diode connection


Rys. 5. Przetworniki z tranzystorami w różnych połączeniach


Fig. 5. Converters with transistors in different connections

W układzie z rys. 4 tranzystory są w połączeniu diodowym a transmitancja:



(6)

Tranzystor T2 w obu układach z rys. 5 pracuje także diodowo, natomiast T1 w innym połączeniu. Na rys. 5a ma on stałe napięcie na kolektorze równe napięciu UFD przewodzącej diody D, ale napięcie kolektor-baza nie jest stałe, zależy od sygnałów w obu wejściach, z czego wynika, że nie jest to definicyjne połączenie transdiodowe. Dodatkowo prąd bazy powinien być na tyle mały, aby nie obciążać zauważalnie dzielnika R1R. Dla tego układu można wtedy zapisać zależności:



, (7)

. (8)

Dodatni znak napięcia Uo wynika z odwrotnego zastrzałkowania prądów wejściowych niż w układach z rys. 4 i 5b.

W przetworniku z rys. 5b prąd Ii2 spływa do T2 pomniejszony o prąd bazy T. Takie rozwiązanie pozwala zmniejszyć niedokładność połączenia diodowego, wynikającą z malejącej wartości wzmocnienia prądowego hFE przy małych prądach kolektora. Jest to wszakże tylko wtedy skuteczne, gdy oba wejściowe prądy mają podobne wartości, a więc np. przy wykorzystaniu tego układu jako detektora stosunku 1 wartości prądów lub rezystancji. Tranzystor T1 pracuje w układzie transdiodowym, bo potencjały bazy i kolektora są praktycznie takie same, niezależnie od sygnałów. Warunek nieobciążalności dzielnika R1R2 jest w tym układzie trudniejszy, bowiem spływa do niego prąd hFE + 1 razy większy niż w poprzednim układzie ale jeżeli jest spełniony, to układ opisuje zależność:

. (9)

Porównanie zależności (3, 5 ,6 , 8, 9) wskazuje na praktycznie jednakową czułość układów na niesymetrię charakterystyk par diod lub tranzystorów. Zatem do tych wszystkich przypadków stosują się spostrzeżenia poczynione przy pierwszym z nich.

Dolna granica pracy przetworników w zastosowaniach elektrometrycznych – laboratoryjnych powinna sięgać pojedynczych pikoamperów i mniej. W zastosowaniach przemysłowych ten poziom może być nawet o dwa rzędy większy. Wpływ na tę granicę i dokładność pracy w całym zakresie przetwarzania ma przede wszystkim jakość elementów nieliniowych; zgodność ich charakterystyki z wykładniczym ideałem oraz pokrywanie się charakterystyk w parze, czyli ich symetria.

3. WYNIKI BADAŃ

Wybrano do badań scalone pary tranzystorów oraz diody, głównie elektroluminescencyjne, ze względu na ich zalety przy stosowaniu w zakresie małych prądów ([3]). Elementy dobrano przypadkowo, z różnych partii dostaw. Badania miały dwa zasadnicze cele:

 wyznaczenie zakresu charakterystyki danego obiektu, w którym jej niedokładność nie przekracza około 1%,

 wyznaczenie wartości parametrów równania opisującego przebieg charakterystyki (1) i porównanie ich między obiektami, dla określenia możliwej rozbieżności ich stosunku od wartości 1, co uznano za miarę asymetrii.

Badania wykonano w zakresie prądów od kilku pA do 100 A, niektóre wykonano w różnych temperaturach dla próby wyznaczenia współczynnika temperaturowego parametrów M i I.

Na rys. 6 przedstawiono wyniki badań dla jednej z zielonych diod LED; w taki sposób analizowano pozostałe wyniki i określano graniczny zakres pracy. Syntetyczne wyniki dla kilkunastu przykładowych obiektów zebrano w tab. 1, podając wyznaczony zakres dopuszczalnej pracy, parametry modelu matematycznego oraz stosunki tych parametrów, określające stopień asymetrii dwóch obiektów.


Rys. 6. Przykładowy wykres wyników z logarytmiczną linią trendu oraz błąd takiego modelu matematycznego


Fig. 6. Example of diagram of the results with logarithmic trend line and error of this mathematical model

Tab. 1. Wartości parametrów M i Is w równaniu Shockleya dla elementów nieliniowych.


Tab. 1. Values of the M and IS parameters in Shockley’s equation for nonlinear elements

      obiekt - nazwa

zakres [A]

M

IS [A]

M2/M1

IS2/IS1

Warikap krzemowy

100 p – 100 

1,023

2,9710-15







LED czerwony 3mm nr 1

3 p – 1 

1,795

2,1310-21

1,027

1,451

LED czerwony 3mm nr 2

10 p – 1 

1,844

3,0910-21

LED czerwony 5mm

50 p – 0,5 

1,945

2,2010-17







LED zielony 3mm nr 1

20 p – 100 

2,006

4,6810-19

1,027

0,977


1,007

0,498


LED zielony 3mm nr 2

1 n – 100 

2,061

4,7210-19

LED zielony 3mm nr 3

10 n – 100 

2,014

2,3510-19

LED niebieski 3mm

10 n – 100 

1,908

1,0010-26







LED niebieski 5mm

100 p – 100 

4,142

1,7510-14







LED żółty 8mm

10 p  100 n

1,879

6,8410-20







Tranzyst. scalone T1 i T2,

transdiody, egz. 1



5 p – 100 

1,005

1,011


3,0510-14

3,6610-14



1,006

1,199

Tranzyst. scalone T1 i T2,

transdiody, egz. 2          1)



5 p – 100 

1,011

1,009


9,8810-14

9,7210-14



0,998

0,984

Tranzyst. scalone T1 i T2,

transdiody, egz. 3



5 p – 100 

1,000

0,996


1,0410-14

1,0210-14



0,996

0,986

Tranzyst. scalone T1 i T2,

transdiody, egz. 4



5 p – 100 

0,996

0,996


8,8610-15

7,6910-15



1,000

0,869

Tranzyst. scalone T1 i T2,

transdiody, egz. 2          2)



5 p – 100 

1,016

1,014


3,3910-14

3,3310-14



0,998

0,983

Tranzyst. scalone T1 i T2,

    diody,    egz. 2         2,3)



5 p – 100 

1,092

1,076


1,2110-13

9,2810-14



0,985

0,766

Tranzyst. scalone T1 i T2,

złącza BE, egz. 2         2,3)



5 p – 100 

1,197

1,178


2,1110-13

1,5610-13



0,984

0,740

1) temperatura 28,4C, 2) temperatura 20,5C, 3) niedokładności modelu są większe, ale zachowano pełny zakres prądowy, celem porównania z innymi konfiguracjami połączeń.

Dla zilustrowania przekrojowych różnic między obiektami, pełne wyniki kilku z nich pokazano na pierwszym wykresie rys. 7., a na drugim wykresie już po ograniczeniu zakresu prądowego, zgodnie z kryterium dokładnościowym. Zastosowano skróty oznaczeń: L – LED, c – czerwony, n – niebieski, z – zielony, ż – żółty, cyfra – średnica diody LED, P – dioda pojemnościowa, Si – krzemowa, Tsp – tranzystor scalonej pary. Można na nich zaobserwować różnicę nachyleń (parametr M) oraz różne stopnie odbiegania (punkty) od modelu Shockleya (linie).



Rys. 7. Wyniki kilku obiektów przed (u góry) i po (na dole) ograniczeniu zakresu modelu, opis w tekście


Fig. 7. Results of the several objects before (up) and after (down) reduce range of model, account in text

Istotne wyniki są dla par scalonych tranzystorów. Przyjęto tutaj za kryterium zakresu pracy nie tylko niedokładność modelu dla jednego tranzystora, ale także różnice między tranzystorami. Wszystkie badane pary miały zadowalające właściwości w całym zakresie badania (5 pA-100 A) ale tylko w połączeniu transdiodowym. Przykład rozbieżności między tranzystorami w parze, przy różnych ich połączeniach (oba tranzystory połączone jednakowo) zilustrowano na rys. 8.


Rys. 8. Różnice między tranzystorami w parze przy trzech połączeniach


Fig. 8. Differences between transistors from pair at three connections

Dla różnych połączeń tranzystorów zakres zgodności modelu z wynikami badań wyraźnie sie różni. Najlepsza zgodność jest dla połączenia transdiodowego, nieco gorsza dla złącza BE a wyraźnie najgorsza dla diodowego. Widać to wyraźnie na rys. 9, gdzie wyniki diodowe pokrywają się z wynikami dla złącza BE przy małych prądach i transdiodowymi przy dużych prądach.


Rys. 9. Różnice między trzema połączeniami tranzystora


Fig. 9. Differences between three connection of transistor

Najistotniejsze próbki wyników pokazano na zestawieniach graficznych na rys. 10 i 11. Na pierwszym z nich próbowano znaleźć związek między parametrami równania Shockleya. Wyniki dały trzy wyraźne grupy. Pierwsza to dioda i tranzystory krzemowe, o M  1 i IS rzędu 10-15-10-12 A. Do drugiej należą diody elektroluminescencyjne o innych kolorach niż niebieski. Tutaj rozrzut jest nieco większy; M jest rzędu 1,8-2 a IS rzędu 10-21-10-16 A. Diody niebieskie LED odbiegają od pozostałych obiektów, jedna przy dużym M ma dość duży prąd IS a druga przy dwa razy mniejszym M aż o dwanaście rzędów mniejszy I.



Rys. 10. Związek między parametrami M i IS


Fig. 10. Relation between parameters M and IS

Za pomocą wykresu na rys. 11 próbowano znaleźć korelację między asymetrią obu parametrów w parach tranzystorów połączonych w takiej samej konfiguracji oraz w parach diod. Są to wyniki z dwóch ostatnich kolumn tab. 1. Należy stwierdzić, że można mówić o związku między obu asymetriami, opisuje go równanie linii trendu pierwszego stopnia na wykresie. Wynika z niego, że dla stosunku parametrów M równego 1, stosunek parametrów IS także powinien być równy 1. Ta prawidłowość była intuicyjnie oczekiwana i cieszy jej potwierdzenie eksperymentalne.




Rys. 11. Związek między asymetrią M i IS w parach


Fig. 11. Relation between asymmetry of M and IS in pairs

Istotne są także wyniki wyznaczenia współczynników temperaturowych obu parametrów dla tranzystorów ze scalonej pary, połączonych transdiodowo. Wyniki przeliczenia danych z tab. 1., praktycznie takie same dla obu tranzystorów:



(10)

lub gdy przyjąć opis zależności funkcją wykładniczą



(11)

Dla porównania, wartość współczynnika parametru M w zal. (10), ale dla diody krzemowej małej mocy o M bliskim 1 jest w [1] równa – 0,070%/deg. Według teorii złącza półprzewodnikowego prąd jego nasycenia powinien być równy (np. [3]):

(12)

gdzie:


A  stała, T – temperatura bezwzględna, k – stała Boltzmanna 8,62·10-5 eV/K,

Eg – bariera energetyczna, dla krzemu 1,09 eV.

Należy uznać, że przedstawione wyniki badań przy zmianie temperatury nie odbiegają istotnie od cytowanych w literaturze (np. [1,3]).

4. WNIOSKI

Zaprezentowany materiał pozwala na sformułowanie następujących wniosków:



  1. Na podstawie analizy układów przetworników logarytmujących stosunek prądów stwierdzono, że ich czułość na asymetrię parametrów M i IS w parze elementów nieliniowych są takie same. Tranzystory nie zawsze pracują w takim samym połączeniu, co zwiększa asymetrię a więc i błąd danego układu.

  2. W przyjętym do badań zakresie prądów asymetria parametru M scalonych par tranzystorów w połączeniu transdiodowym nie przekraczała 0,6%, w innych połączeniach około 1,5%, natomiast przy różnych połączeniach w parze osiągnęła 18%. Asymetrie prądów IS były odpowiednio do: 20%, 26% i aż 6 razy.

  3. W przetworniku do badań laboratoryjnych powinno się stosować scalone pary tranzystorów tylko w połączeniu transdiodowym ze względu na duży zakres zgodności ich charakterystyki z modelem i między sobą.

  4. Dobranie par z przypadkowo wybranej i zbadanej partii diod, np. LED o tej samej technologii wykonania jest łatwe przy dopuszczeniu niesymetrii M rzędu kilku procent i niesymetrii IS rzędu 1,5-2 razy.

  5. Stwierdzono korelację między asymetrią parametru M i I. Może to pozwolić uprościć metodykę doświadczalnego dobierania elementów układu w pary.

LITERATURA

[1] ACHARYA Y. B., Temperature dependence of device constant (n) in junction diodes, IE(I) Journal-ET, Vol 87, July 2006, 55-57.

[2] BURR-BROWN, Precision logarithmic and log ratio amplifier, Texas Instruments, April 2005.

[3] DAMLJANOVIČ D., ARANDJELOVIČ V., Input protection of low-current DC amplifiers by GaAsP diodes, J. Phys. E; Sci. Instrum., Vol 14, 1981, 414-417.

[4] NATIONAL SEMICONDUCTOR, Theory and applications of logarithmic amplifiers, Application Note 311, National Semiconductors Corporation, 2002.

[5] SOŃTA S., KOTLEWSKI H., Układy scalone liniowe i ich zastosowanie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1977.

[6] ŠOBAJIČ M. V., A circuit for high resistance measurement, Proceedings of the IEEE, July 1977, 1094-1095.

STUDY AND EFFECTS OF ASYMMETRY OF THE NONLINEAR COMPONENTS


FOR LOGARITHMIC, ELECTROMETRIC CONVERTER

The paper presents error analyzes of logarithmic converter dependent on asymmetry of the nonlinear components. Samples of components tests results are included and correlation between Shockley’s equation parameters asymmetry are founded out. Final conclusions are interesting.



* Politechnika Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, 50-372 Wrocław ul. Smoluchowskiego 19, piotr.madej@pwr.wroc.pl.

1 Opracowanie dotyczące tego zagadnienia znajduje się także w tym Zeszycie.



©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna