Rozwiązania zadań



Pobieranie 207.71 Kb.
Strona1/3
Data27.04.2016
Rozmiar207.71 Kb.
  1   2   3
Rozwiązania zadań

Zadanie EKONOMETRIA_ćw_2.xls

Na podstawie danych zamieszczonych w arkuszu Zadanie 1.

Podać postać analityczną modelu ekonometrycznego wielkości produkcji w przemyśle od

PO - liczby pracujących ogółem (tys. osób),

PF - przychodów finansowych przedsiębiorstw (mln zł),

SPI - wielkości spożycia indywidualnego (mln zł),

NSTB - nakładów na środki trwałe (mln zł),

EX - eksportu (mln zł)



1. Za pomocą opisanych klasyfikacji scharakteryzować rodzaj modelu.

Jest to równanie modelu: jednorównaniowego, opisowego, stochastycznego, liniowego, przyczynowo-skutkowego, dynamicznego;



2. Na podstawie obliczeń w programie MS Excel podać wartości macierzy: (XTX)-1, XTy

Aby utworzyć macierz X, do szeregów (kolumn) ze zmiennymi objaśniającymi dostawiamy (przed zmiennymi) kolumnę z jedynkami – inaczej wektor jednostkowy, umożliwiający oszacowanie wyrazu wolnego modelu liniowego



Macierz X ma wymiary:

27 wierszy (liczba obserwacji) x 6 kolumn (kolumna jednostkowa i 5 kolumn ze zmiennymi objaśniającymi)

X

Pierwszym krokiem wyznaczenia (XTX)-1 jest transpozycja macierzy X – wiersze stają się kolumnami a kolumny wierszami

W Exclu:


>> zaznaczyć obszar kolumn macierzy bez nazw zmiennych

>> Edycja >> Kopiuj=Ctrl+C

>> Edycja >> Wklej specjalnie…>> Transponuj]

XT:



Mnożenie macierzy

Aby pomnożyć macierz przez macierz należy sprawdzić czy

Liczba kolumn I macierzy = Liczba wierszy II macierzy

Wymiar macierzy wynikowej – iloczynu

Liczba wierszy macierzy I x Liczba kolumn macierzy II

Macierz XT ma wymiary – 6x27

X ma wymiary 27x6,

Warunek koniczny mnożenia macierzy jest spełniony 27=27

Nowa macierz XTX będzie miała wymiary 6x6

Mnożenie macierzy w Excelu:

>> zaznaczyć obszar o wymiarach nowej macierzy: 6 wierszy x 6 kolumn

>> w pasku formuły (pod menu) wpisać funkcję:

MACIERZ.ILOCZYN(zaznaczyć obszar macierzy XT;zaznaczyć obszar macierzy X)

SHIFT+CTRL+ENTER

XTX



Aby uzyskać odwrotność macierzy XTX czyli (XTX)-1 w oknie formuły należy wpisać:

MACIERZ.ODW(zaznaczyć macierz XTX)

SHIFT+CTRL+ENTER


(XTX)-1

Aby wyznaczyć XTy należy macierz XT pomnożyć przez wektor y

Wymiary macierzy XT : 6 wierszy x 27 kolumn

Wymiary wektora y: 27 wierszy x 1 kolumnę

Wymiary nowej macierzy po wymnożeniu XTy: 6 wierszy x 1 kolumnę

XTy





3. Wyznaczyć wektor oszacowań parametrów strukturalnych modelu.

W celu wyznaczenia oszacowań parametrów strukturalnych modelu należy wyznaczyć wartości wektora a ze wzoru:



Wcześniej zostały wyznaczone macierze (XTX)-1 oraz XTy. Po wymnożeniu macierzy otrzymujemy





4. Dokonać interpretacji uzyskanych oszacowań parametrów

a0 = 88862,59 – wyrazu wolnego w modelu przyczynowo-skutkowym nie interpretujemy. Wartość parametru wskazywałaby na wielkość produkcji w sektorze przemysłowym (zmienna objaśniana – CDE), gdyby pozostałe zmienne objaśniające w modelu przyjmowały wartość 0.

a1 =-9,30 – Wraz ze wzrostem liczby pracujących ogółem o 1 tys. osób wielkość produkcji w przemyśle spadnie o 9,30 mln zł, przy założeniu że wartości pozostałych zmiennych objaśniających nie ulegną zmianie (ceteris paribus).

a2 =-0,0002 – Wzrost przychodów finansowych przedsiębiorstw o 1 mln zł powoduje przeciętnie spadek wielkości produkcji w przemyśle 0,0002 mln zł czyli 200 zł, przy założeniu, że wartości pozostałych zmiennych objaśniających nie ulegną zmianie.

a3 = 0,66 - Jednostkowy wzrost spożycia indywidualnego (o 1 mln zł) powoduje wzrost produkcji w przemyśle przeciętnie o 0,66 mln zł, przy założeniu ceteris paribus.

a4 = 0,43 - Wraz ze wzrostem nakładów na środki trwałe o 1 mln zł, wielkość produkcji w przemyśle rośnie przeciętnie o 0,43 mln zł, przy założeniu, że wartości pozostałych zmiennych objaśniających pozostają na stałym poziomie.

a5 = -0,24 - Wzrost wartości eksportu o 1 mln zł powoduje spadek wielkości produkcji w przemyśle przeciętnie o 0,24 mln zł, przy założeniu ceteris paribus.

5. Wyznaczyć wartości teoretyczne modelu.

Wyznaczenie wartości teoretycznych modelu polega na „podstawieniu do wzoru” oszacowanego równania modelu, wartości zmiennych objaśniających oraz obliczenie na tej podstawie wartości zmiennej objaśnianej.



Dla I. kwartału 2005 wartość teoretyczna CDE (zmiennej objaśnianej – wielkości produkcji przemysłowej) wynosi:




CDE_teoret




PO

PF

SPI

NBST

EX

2005.1

52679,30

=88862,59

- 9,30*13767

- 0,0002*4180227

+ 0,66*151739,8

+0,43*28057,3

-0,24*81584,4

Dla pozostałych kwartałów wartości teoretyczne (oszacowane na podstawie modelu) wynoszą:

kwartał

CDE_teoret

2005.1

52679,30

2005.2

53252,70

2005.3

52093,63

2005.4

63682,47

2006.1

53308,13

2006.2

54319,84

2006.3

53736,44

2006.4

65543,05

2007.1

55441,10

2007.2

56731,16

2007.3

57384,92

2007.4

71295,64

2008.1

61778,80

2008.2

64850,59

2008.3

65387,25

2008.4

80600,77

2009.1

65603,96

2009.2

66996,09

2009.3

71141,74

2009.4

84027,17

2010.1

69865,93

2010.2

68246,43

2010.3

73163,48

2010.4

88285,07

2011.1

74863,39

2011.2

75813,67

2011.3

80283,88

6. Wyznaczyć reszty modelu.

Reszty modelu stanowią różnicę pomiędzy wartościami empirycznymi (rzeczywistymi) zmiennej objaśnianej oraz wartościami teoretycznymi – wyznaczonymi na podstawie modelu.





kwartał

e




CDE




CDE_teoret

2005.1

-307,90

=

52371,40

-

52679,30

2005.2

-5826,50

=

47426,20

-

53252,70

2005.3

-1459,03

=

50634,60

-

52093,63

2005.4

-1363,07

=

62319,40

-

63682,47

2006.1

994,47

=

54302,60

-

53308,13

2006.2

-2400,24

=

51919,60

-

54319,84

2006.3

1006,06

=

54742,50

-

53736,44

2006.4

2914,15

=

68457,20

-

65543,05

2007.1

4286,80

=

59727,90

-

55441,10

2007.2

70,44

=

56801,60

-

56731,16

2007.3

2807,48

=

60192,40

-

57384,92

2007.4

3098,76

=

74394,40

-

71295,64

2008.1

4171,60

=

65950,40

-

61778,80

2008.2

-2858,59

=

61992,00

-

64850,59

2008.3

-832,15

=

64555,10

-

65387,25

2008.4

-4497,97

=

76102,80

-

80600,77

2009.1

8361,94

=

73965,90

-

65603,96

2009.2

-1118,39

=

65877,70

-

66996,09

2009.3

-4587,94

=

66553,80

-

71141,74

2009.4

3236,53

=

87263,70

-

84027,17

2010.1

-2357,23

=

67508,70

-

69865,93

2010.2

-510,63

=

67735,80

-

68246,43

2010.3

-5561,78

=

67601,70

-

73163,48

2010.4

4712,73

=

92997,80

-

88285,07

2011.1

6859,71

=

81723,10

-

74863,39

2011.2

-2197,07

=

73616,60

-

75813,67

2011.3

-6642,18

=

73641,70

-

80283,88

7. Obliczyć wariancję oraz odchylenie standardowe reszt modelu.

Wariancja reszt modelu obliczana jest na podstawie wzoru:



Zaczynamy od wyznaczenia kwadratów reszt,(potęga 2. w Excelu: ^2) następnie sumujemy kwadraty reszt, co daje wartość: 394306909

Wartość tę dzielimy przez N-liczba obserwacji – K-liczba parametrów – przy zmiennych objaśniających i wyraz wolny

N=27, K=6, N-K=21, S2=394306909/21=18776519

Odchylenie standardowe reszt (inaczej błąd oszacowania modelu) stanowi pierwiastek z wariancji reszt:

S=(18776519)^(1/2)

S=4333,188

Szacując wielkości produkcji przemysłowej na podstawie modelu mylimy się średnio o +/- 4333,188 mln zł.



8. Wyznaczyć błędy szacunku parametrów strukturalnych.

W celu wyznaczenia błędów szacunku parametrów strukturalnych należy na początku wyznaczyć wariancję oszacowań tych parametrów. W tym celu należy pomnożyć wariancje reszt modelu przez elementy znajdujące się na przekątnej podanej macierzy. Uzyskane w ten sposób wartości będą stanowiły wariancje oszacowań parametrów.



Aby obliczyć błędy szacunku parametrów (inaczej średnie błędy parametrów) należy z wariancji wyciągnąć pierwiastek drugiego stopnia.

Błędy szacunku kolejnych parametrów modelu (zaczynając od wyrazu wolnego)


40797,28

3,838227

0,000438

0,166457

0,067862

0,160569

Szacując parametr przy zmiennej pracujący ogółem (PO) mylimy się średnio o +/- 3,84.

Zadanie 1.

Wykorzystując poniższe dane statystyczne:





oznacza popyt na soki owocowe (w litrach na osobę), - dochody osobiste ludności (w zł/osobę), - ceny soków (w zł/litr).

1. Oszacować parametry strukturalne następującego modelu:

Aby oszacować parametry strukturalne modelu należy skorzystać ze wzoru:



Oznacza to, że mnożymy macierz przez wektor. Po pierwsze sprawdzamy czy liczba kolumn macierzy jest równa liczbie wierszy wektora. Mamy 3 kolumny i 3 wiersze. Nowa macierz będzie miała wymiary: 3 wiersze na 1 kolumnę. Mnożymy każdy element z i-tego wiersza przez element z j-tej kolumny. Czyli element a11 w nowej macierzy będzie stanowił sumę iloczynów elementy z 1. wiersza pomnożone przez elementy z 1. kolumny a następnie zsumowane iloczyny.

a= 1*10-1*8+0*5 =2

-1*10+2*8-1*5 =1

0*10-1*8+1,33*5 =-1,35

2. Zinterpretować otrzymane wyniki.

Wraz ze wzrostem dochodów osobistych ludności o 1 zł na osobę, popyt na soki rósł przeciętnie o 1 litr na osobę, przy założeniu, że pozostałe czynniki pozostawały na stałym poziomie.

Wzrost ceny soku o 1 zł za litr powodował przeciętnie spadek popytu na soki o 1,35 litra na osobę, przy założeniu, że dochód pozostawał bez zmian.

Zadanie 2. (Kukuła 2006, s. 76.)

1. Zweryfikować statystyczną istotność ocen parametrów strukturalnych modelu

,

, S=2, t=2,201

Istotność statystyczną weryfikujemy na podstawie testu t-Studenta.

1. Określamy hipotezy testu:

H0: parametr jest równy zero, więc nie jest istotny statystycznie, zmienna przy której stoi nie ma istotnego wpływu na poziom zmiennej objaśnianej.

H1: parametr jest różny od zera, więc jest istotny statystycznie, zmienna przy której stoi ma istotny wpływ na poziom zmiennej objaśnianej.

Obliczamy statykę testu dla poszczególnych oszacowań (ocen) parametrów na podstawie wzoru:



czyli dzielimy parametr przez błąd szacunku tego parametru.

W danych do zadania mamy oceny parametrów, nie mamy błędów tych oszacowań. W celu wyznaczenia wariancji a następnie błędów szacunku parametrów korzystamy ze wzoru:

S2(a0)=3,24*4=12,96 S(a0)=3,6 t(a0)=53,8/3,6 t(a0)=14,94 > t(kryt)=2,201

S2(a1)=1,21*4=4,84 S(a1)=2,2 t(a1)=5,4/2,2 t(a1)=2,54 > t(kryt)=2,201

S2(a2)=0,64*4=2,56 S(a2)=1,6 t(a2)=6,0/1,6 t(a1)=3,75 > t(kryt)=2,201

Dla wszystkich ocen parametrów obliczone statystyki t testu t-Studenta były większe od poziomu krytycznego odczytanego z tablic.

Na podstawie wyników testu należy wnioskować o odrzuceniu hipotezy zerowej na rzecz hipotezy alternatywnej dla każdego z oszacowań parametrów.

Każdy z parametrów jest istotnie różny od zera, a więc zmienna objaśniająca stojąca przy tym parametrze istotnie wpływa na poziom zmiennej objaśnianej.

Zadanie 3.

Oszacowano model ekonometryczny:



R2 = 0,76, n = 30, t=2,201

1. Ocenić dokładność szacunku parametrów

Oceny dokładności szacunku parametrów dokonujemy na podstawie wartości błędów (bezwzględna miara) oraz statystykę t (względna miara)

Szacując wyraz wolny (a0) mylimy się średnio o +/- 0,5. Na podstawie wartości statystyki t należy stwierdzić, że oszacowany parametr jest 2,44 raza większy od błędu oszacowania.

Szacując parametr stojący przy zmiennej X1 mylimy się średnio o +/- 0,3. Oszacowany parametr jest 1,83 raza większy od wartości błędu oszacowania, co wskazuje na niską dokładność oszacowania parametru.

Szacując parametr stojący przy zmiennej X2 mylimy się średnio o +/- 35,5. Wartość oceny parametru przekracza wartość błędu oszacowania 2,55 raza.

  1   2   3


©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna