Rozwiązania zdań Wektory. Iloczyn skalarny



Pobieranie 40.87 Kb.
Data27.04.2016
Rozmiar40.87 Kb.
Rozwiązania zdań

Wektory. Iloczyn skalarny.

1. Dane są punkty

(a) Znaleźć wektory , , , , gdzie - środek odcinka .

a = [-2-(-2); -1-3] = [0;-4], b = [6;0], c = [6;-4], M((-2+(-2))/2; (3+(-1))/2) = (-2;1),
d = [0;2].

W przypadku, gdy punkty są punktami płaszczyzny Oxy to ich współrzędne w przestrzeni R3 są odpowiednio równe Wtedy

a = [0;-4;0], b = [6;0;0], c = [6;-4;0], M((-2+(-2))/2; (3+(-1))/2;(0+0)/2) = (-2;1;0),
d = [0;2;0].

(b) Obliczyć długości wektorów ,.



(c) Obliczyć iloczyny skalarne



(d) Znaleźć wektor , ,


,

(e) Znaleźć wektor jednostkowy (wersor) równoległy do



Znaleźć kąty pomiędzy wektorami, odpowiednio, .



, ,

Znaleźć .



, ,

Znaleźć wektor taki, że .



Znaleźć punkt taki, że =

Nieznane współrzędne punktu D oznaczmy przez (x,y). Wtedy wektor =[x-(-2);y-1].
Warunek =przekształca się w równość wektorów
[x-(-2);y-1] = == [0-18;-8].
Ta równość wektorowa jest równoważna równości odpowiednich współrzędnych

Punkt D ma współrzędne (-20;-7).

2. Oblicz współrzędne wierzchołków CD równoległoboku ABCD, jeżeli A=(2,3), B=(5,-1) a przekątne przecinają się w punkcie M=(4,1).


D


C


M


B

A


Z rysunku wynikają podstawowe związki wektorowe:

 = 2,  = 2,

Gdy nieznane współrzędne punktu C oznaczmy przez (x,y), związek  = 2przyjmie formę

[x-2;y-3]= 2*[4-2;1-3] = [4;-4] .

Stąd x=6, y=-1

Gdy nieznane współrzędne punktu punku D oznaczmy przez (u,v), związek  = 2

przyjmie formę

[u-5;v-(-1)] = 2*[4-5;1-(-1)] = [-2;4].

Stąd u=3, v=3

3. Dla jakich liczb m, k wektory [2,-5] i [2m-3, 3k+4] są przeciwne.

Przeciwieństwo wektorów [2,-5] , [2m-3, 3k+4] oznacza że

-[2,-5] = [2m-3, 3k+4] .

Porównując współrzędne


4. Udowodnij równość i podaj jej interpretację geometryczną.


C


D

a+b


a

a-b



b

A

B

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC wynika, że



Oznacza to, że



Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD wynika, że



Oznacza to, że



Ponieważ kątB = π- kątA , więc .


= + = + =

5. Mamy dane : Wiedząc, że kąt między tymi wektorami wynosi , oblicz , korzystając z tw. cosinusów długość sumy tych wektorów.



= 9+25-3*5*1/2 = 26,5
6. Dla jakiej liczby a wektory [2a+3, a-2] , [ a-4, 3a] są prostopadłe ?

Korzystamy z twierdzenia

(a

[2a+3, a-2] ۰[ a-4, 3a] = (2a+3 )* (a-4 )+(a-2)*(3a) = (2a2-5a-12)+(3a2-6a) = 5a2-11a-12 = 0

Rozwiązując równanie

5a2-11a-12 = 0 , a1=(11-19)/10 = -0,8 , a2= 3

7. Dane są punkty A=(2,4) i B=(-3,2). Znaleźć punkt X , który dzieli odcinek AB w stosunku .

Nieznane współrzędne punktu X oznaczmy przez (x,y). Wtedy wektor .
Ponieważ punkt X , który dzieli odcinek AB w stosunku . Oznacza to, że .

Stąd


0,4*[-5;-2] = [x-2;y-4]
Dane są punkty


A3



b


c

d



A1

a

A2



M

(a) Znaleźć wektory , , , , gdzie - środek odcinka .


a = [-2-(-1);-1-(-2);4-3] = [-1;1;1] , b = [6;0;-3] , c = [5;1;-2]

M ((-1+(-2))/2;(-2+(-1))/2;(3+4)/2) = (-(3/2);-(3/2);7/2),



d= [-1/2;1/2;1/2]

(b) Obliczyć długości wektorów



, ,

(c) Obliczyć iloczyny skalarne , .



, c = 36, c = =6, d = 1/2,

(d) Znaleźć wektor , .



= 2[-1;1;1] +(-3) [6;0;-3] + [5;1;-2] = [-2;2;2] + [-18;0;9] + [5;1;-2] = [-15;3;-9]

= [3/2-2-20;-3/2+2-4;-3/2+2+8] = [-201/2;1-41/2;81/2]

(e) Znaleźć wektor jednostkowy (wersor) równoległy do

wb= = []

(f) Znaleźć kąty pomiędzy wektorami, odpowiednio,



cos α = = , cos β = , cos γ = ,

(g) Znaleźć



, ,

(h) Znaleźć wektor taki, że .

Od strony formalnej wektor nie istnieje, gdyż nie można wykonywać działań na wektorach w różnych przestrzeniach. (na różnej ilości współrzędnych wektorów).

Z drugiej strony wektor [3;-2] często oznacza wektor leżący w płaszczyźnie Oxy podprzestrzeni R3. Wtedy jego jego trzecia współrzędna w R3 jest równa 0.

Wówczas równanie ma postać i usunięte zostały formalne przeszkody w rozwiązaniu tego równania wektorowego.

-4x = [3:-2;0]-3a-2dx = (-1/4)( [3:-2;0]-3a-2d ) = [] =

[-7/4;3/2;1]

(i) Znaleźć punkt taki, że =.

Nieznane współrzędne punktu D oznaczmy przez (x,y,z). Wtedy wektor .

= = 2a-3b = [-20;2;11}

Porównując współrzędne


2. Dany jest wektor . Obliczyć .
= =

3* = 3*


3. Dane są wektory , . Obliczyć .
= =
4. Dla jakich liczb m, k wektory [2,-5,-7] i [2m-2, 3k-2,-3m+k ] są przeciwne.
Przeciwieństwo wektorów [2,-5,-7] , [2m-3, 3k+4,-3m+k] oznacza że

-[2,-5,-7] = [2m-3, 3k+4,-3m+k].

Porównując współrzędne otrzymujemy sprzeczny układ równań.

Nie istnieją takie liczby m, k by wektory [2,-5,-7] i [2m-2, 3k-2,-3m+k ] były przeciwne
5. |a| = 4 , |b| = 4 , < a,b = π/3. Oblicz:

a) |4a-3b|


|4a-3b|2 = (4a-3b)۰ (4a-3b) = 16(a۰a) – 12(a۰b) – 12(b۰a) +9(b۰b) = 16|a|2 -24|a||b|cos< a,b +9|b|2 = 16*16 – 24*4*4*1/2+ 9*16 = 16*(16 -12+9)= 208 → |4a-3b| =

b) (2a+3b)۰(-4a+5b)



(2a+3b)۰(-4a+5b) = -8(a۰a)-2(a۰b)+15(b۰b) = -8*16-2*4*4*1/2+15*16 = 16*6 = 96
6. Dla jakiego m wektory [m+1;m-1;2], [3;2m;-5] są prostopadłe?

Prostopadłość wektorów [m+1;m-1;2], [3;2m;-5] jest równoważna temu, że



([m+1;m-1;2]۰ [3;2m;-5]) = 0 = 3*(m+1)+ m*(m-1) -10 = m2+ 2m+3 = 0.

Równanie m2+ 2m+3 = 0 nie ma rozwiązań, gdyż jego ∆= 4-12<0

7. Dane są punkty A(2-m;3;m+1), B(2;m-1;4), C(2;m;-1). Dla jakiego m wektory
są prostopadłe?
Prostopadłość wektorów jest równoważna temu, że .

= [ 2-(2-m);m-1-3;4-(m+1)] = [m;m-4;-m+3], = [m;m-3;-m-2].
≡ [m;m-4;-m+3]۰ [m;m-3;-m-2] = m2+(m-4)*(m-3)+(-m+3)*(-m-2) =
3m2-7m-m-6 = 3m2-8m-6 = 0

∆= 64+72 = 136 stąd , .
8. |a| = 2 , |b| = 4 , < a,b = π/4. Dla jakiego t wektory 3a-tb , a są prostopadłe?
Prostopadłość wektorów 3a-tb , a jest równoważna temu, że (3a-tb)۰a = 0 .

0 = (3a-tb)۰a = 3a۰a- ta۰b = 3|a|2- t*|a|*|b|*cos< a,b = 12 -4t*. Stąd

.
9. Dla jakich m wektory [m+2;m-1;3], [4m;m;3m] sa równoległe?
Równoległość wektorów [m+2;m-1;3], [4m;m;3m] jest równoważna temu, że

[m+2;m-1;3] = t[4m;m;3m] = [4tm;tm;3tm].



Porównując współrzędne otrzymujemy tm = 1, m=2 .


©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna