Tabela Przykład macierzy wypłat z punktem siodłowym



Pobieranie 109.42 Kb.
Data03.05.2016
Rozmiar109.42 Kb.
Przykład 1.

Dwa konkurujące przedsiębiorstwa A (zwane graczem A) i B (zwane graczem B), zajmujące się produkcją pralek, mają do wyboru po trzy strategie działania. Dla gracza A: A1 – produkcja 30 tys. sztuk, A2 – produkcja 60 tys. sztuk i A3 – produkcja 90 tys. sztuk. Natomiast dla gracza B: B1,- produkcja 20 tys. sztuk, B2, – produkcja 40 tys. sztuk i B3 – produkcja 60 tys. sztuk. W tabeli 2. przedstawione są wypłaty obu przedsiębiorstw w mln zł. Określić, którą strategię powinny wybrać przedsiębiorstwa A i B oraz jakie osiągną wypłaty?



Tabela 1.

Przykład macierzy wypłat z punktem siodłowym




B1

B2

B3

A1

5

2

6

A2

4

3

5

A3

-1

1

-2

Zgodnie z regułą maksiminu gracz A wybiera wartości minimalne: 2, 3 i -2, a następnie z nich wartość maksymalną 3. Gracz B natomiast wybiera wartości 5, 3 i 6, a następnie z nich wybiera wartość minimalną 3. Ponieważ wartości określone dla gracza A oraz B pokryły się w jednym punkcie oznacza to, że znaleziono rozwiązanie w zbiorze strategii czystych, czyli punkt siodłowy. Wartość tej gry wynosi 3, co oznacza, że gracz A wygra przynajmniej 3 mln zł, stosując strategię A2, bez względu na to, jaką strategię wybierze gracz B. Natomiast gracz B powinien wybrać strategię B2 – wtedy bez względu na wybór strategii przez gracza A, gracz B straci maksymalnie 3 mln zł.

Tabela 3.

Przykład macierzy wypłat z punktem siodłowym




B1

B2

B3

MIN

MAX

A1

5

2

6

2

3

A2

4

3

5

3

A3

-1

1

-2

-2

MAX

5

3

6




MIN

3

Przykład 2.

Na rynku działają dwa przedsiębiorstwa, które zajmują się produkcją kosiarek do trawy. Przedsiębiorstwo A ma do wyboru cztery strategie działania: A1 - produkcja 5 tys. sztuk, A2 – produkcja 15 tys. sztuk, A3 – produkcja 25 tys. Sztuk. Przedsiębiorstwo B ma również do wyboru cztery strategie B1, B2, B3 i B4, gdzie B1 - produkcja 5 tys. sztuk, B2 – produkcja 15 tys. sztuk, B3 – produkcja 25 tys. sztuk oraz B4 - produkcja 35 tys. Sztuk. W tabeli 5 przedstawione są wypłaty obu przedsiębiorstw w mln zł. Które strategie powinny stosować przedsiębiorstwa A i B oraz jakie osiągną wtedy wypłaty?



Rozwiązanie

Zgodnie z regułą maksiminu gracz A wybiera wartości minimalne: 0, 5, 1 i 3, a następnie z nich wartość maksymalną 5. Gracz B natomiast wybiera wartości 12, 10, 7 i 10, a następnie z nich wybiera wartość minimalną 7.



Tabela 5.

Przykład macierzy wypłat bez punktu siodłowego




B1

B2

B3

B4

MIN

MAX

A1

12

13

5

7

5

5

A2

7

1

8

8

1

A3

0

8

4

5

0

MAX

12

13

8

8







MIN

8







W przypadku tego zadania nie znajdujemy rozwiązania w zbiorze strategii czystych (brak punktu siodłowego), należy więc znaleźć rozwiązanie w zbiorze strategii mieszanych, poszukując strategii zdominowanych. Wartość V należy do przedziału (5;8)

W przypadku gdy macierz wypłat jest macierzą wygranych gracza A, strategia zdominowana (XA) to strategia o wartościach nie większych od wartości innej strategii (YA) gracza A. Mówimy wtedy, że strategia XA została zdominowana przez strategię YA. Tej strategii gracz A nie powinien stosować w ogóle. Dla gracza B, strategia zdominowana (XB) to strategia o wartościach nie mniejszych od wartości innej strategii (YB) gracza B. Mówimy wtedy, że strategia XB została zdominowana przez strategię YB. Tej strategii gracz B nie powinien stosować w ogóle.

W zadaniu strategią zdominowaną gracza A jest strategia A3, natomiast strategią zdominowaną gracza B jest strategia B4. Tych strategii gracze nie powinni stosować. Przy określaniu modeli liniowych dla obu graczy pomija się te strategie.

Przyjmujemy następujące zmienne dla gracza A:

V- wygrana gracza A

x1 - częstość stosowania strategii A1

x2 - częstość stosowania strategii A2

Model dla gracza A przedstawia się następująco:








Warunki:




Obustronnie 1, 2 i 3 ograniczenie dzielimy przez V:













otrzymując:













Następnie dokonujemy podstawienia oraz :











Ponieważ:



stąd funkcja celu ze zmiennymi przyjmuje następującą postać:



Ostatecznie model liniowy przyjmuje postać:













Powyższy model rozwiązujemy na układzie współrzędnych. Rozwiązaniem optymalnym jest punkt o współrzędnych (7/99;8/99).

Ponieważ , oraz :

Na podstawie podstawień oraz :







Odpowiedź: Gracz A (przedsiębiorstwo A) powinien stosować strategię A1 (produkować 5 tys. sztuk) z częstością oraz strategię A2 (produkować 15 tys. sztuk) z częstością , strategii A3 (produkować 25 tys. sztuk) nie powinien stosować w ogóle, wtedy jego wygrana wyniesie 6,6 mln. zł.

Dla gracza B przyjmujemy następujące zmienne:

V- przegrana gracza B

y1 - częstość stosowania strategii B1

y2 częstość stosowania strategii B2

y3 - częstość stosowania strategii B3

Model dla gracza B przedstawia się następująco:






Warunki:






Obustronnie 1 i 2 ograniczenie dzielimy przez V.













otrzymując:













Następnie dokonujemy podstawienia , oraz











Ponieważ:



stąd funkcja celu ze zmiennymi przyjmuje następującą postać:



Ostatecznie model liniowy dla gracza B przyjmuje postać:













W celu znalezienia rozwiązania dla gracza B wykorzystujemy twierdzenie o komplementarności (niech (x1, x2,..., xn) oraz (y1, y2,..., ym) będą rozwiązaniami dopuszczalnymi odpowiednio modeli z funkcją Fc oraz G). Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby oba te rozwiązania były optymalnymi jest aby spełniony był układ równań:



Na tej podstawie otrzymujemy następujące równania:











Podstawiając za , otrzymujemy:











Stąd:










Następnie otrzymujemy:











W dalszej kolejności rozwiązujemy układ równań:





Wykorzystując wyznaczniki wyznaczamy rozwiązanie układu:





Stąd:






Na podstawie wzoru :

otrzymujemy:



Na podstawie , oraz otrzymujemy:









Odpowiedź: Gracz B nie powinien stosować strategii B1 (produkować 5 tys. sztuk) natomiast strategię B2 (produkować 15 tys. sztuk) powinien stosować z częstością oraz strategię B3 (produkować 25 tys. sztuk) z częstością , strategii B4 (produkcja 35 tys. sztuk) nie powinien stosować w ogóle (produkować 35 tys. sztuk), wtedy jego przegrana (strata) wyniesie 6,6 mln. zł.

Przykład 3.

Na rynku działają dwa przedsiębiorstwa, które zajmują się produkcją kosiarek do trawy. Przedsiębiorstwo A ma do wyboru trzy strategie działania: A1 – produkcja 10 tys. sztuk, A2 – produkcja 20 tys. sztuk, A3 – produkcja 30 tys. Sztuk. Przedsiębiorstwo B ma również do wyboru cztery strategie B1, B2, B3 i B4, gdzie B1 - produkcja 10 tys. sztuk, B2 – produkcja 20 tys. sztuk, B3 – produkcja 30 tys. sztuk oraz B4 - produkcja 40 tys. Sztuk. W tabeli 5 przedstawione są wypłaty obu przedsiębiorstw w mln zł. Które strategie powinny stosować przedsiębiorstwa A i B oraz jakie osiągną wtedy wypłaty?



Rozwiązanie

Zgodnie z regułą maksiminu gracz A wybiera wartości minimalne: 7, 6, i 5 a następnie z nich wartość maksymalną 7. Gracz B natomiast wybiera wartości 12, 8, 14, 8, a następnie z nich wybiera wartość minimalną 8. W przypadku tego zadania nie znajdujemy rozwiązania w zbiorze strategii czystych (punktu siodłowego), należy więc znaleźć rozwiązanie modeli liniowych dla obu graczy.



Tabela 5.

Przykład macierzy wypłat bez punktu siodłowego




B1

B2

B3

B4

MIN

MAX

A1

9

7

13

8

7

7

A2

6

8

8

8

6

A3

12

5

14

6

5

MAX

12

8

14

8







MIN

8







W zadaniu nie strategii zdominowanych wśród strategii gracza A, natomiast strategią zdominowaną gracza B jest strategia B3 i B4 obydwie zostały zdominowane przez strategię B2. Tych strategii gracz B nie powinien stosować. Przy określaniu modeli liniowych dla obu graczy pomija się te strategie.

Wartość V należy do przedziału (7;8).

Przyjmujemy następujące zmienne dla gracza A:

V- wygrana gracza A

x1 - częstość stosowania strategii A1

x2 - częstość stosowania strategii A2

x3 - częstość stosowania strategii A3

Model dla gracza A przedstawia się następująco:






Warunki:






Zmienne x1, x2 i x3 określają częstość stosowania poszczególnych strategii gracza A: A1, A2 i A3 Obustronnie 1 i 2 ograniczenie dzielimy przez V.













otrzymując:













Następnie dokonujemy podstawienia , oraz











Ponieważ:



stąd funkcja celu ze zmiennymi przyjmuje następującą postać:



Ostatecznie model liniowy przyjmuje postać:













Ponieważ powyższy model zawiera 3 niewiadome nie możemy rozwiązać go na układzie współrzędnych. Zaczynamy więc od poszukiwania rozwiązania dla gracza B.

Dla gracza B przyjmujemy następujące zmienne:

V- przegrana gracza B

y1 - częstość stosowania strategii B1

y2 częstość stosowania strategii B2

Model dla gracza B przedstawia się następująco:








Warunki:




Zmienne y1, y2 określają częstość stosowania poszczególnych strategii gracza B: B1, B2. Zmienna V określa wartość przegranej gracza B.

Obustronnie 1, 2 i 3 ograniczenie dzielimy przez V.








Warunki:




otrzymując:










Warunki:




Następnie dokonujemy podstawienia oraz













Ponieważ:



stąd funkcja celu ze zmiennymi przyjmuje następującą postać:



Ostatecznie model liniowy przyjmuje postać:















Powyższy model rozwiązujemy na układzie współrzędnych. Rozwiązaniem optymalnym jest punkt o współrzędnych (1/30;3/30).

Ponieważ , oraz :

Na podstawie podstawień oraz :





Odpowiedź: Gracz B powinien stosować strategię B1 (produkować 10 tys. sztuk) z częstością oraz strategię B2 (produkować 20 tys. sztuk) z częstością , strategii B3 oraz B4 nie powinien stosować w ogóle, wtedy jego wygrana wyniesie 7,5 mln. zł

W celu znalezienia rozwiązania dla gracza A wykorzystujemy Twierdzenie o komplementarności (model dla gracza A ze zmiennymi jest modelem dualnym dla modelu dla gracza B ze zmiennymi ) i otrzymujemy następujące równania:










Podstawiając za , otrzymujemy:









Stąd:










Następnie otrzymujemy:











W dalszej kolejności rozwiązujemy układ równań:





Korzystając z wyznaczników wyznaczamy rozwiązanie układu:





Stąd:






Na podstawie wzoru :

otrzymujemy:



Na podstawie , oraz otrzymujemy:









Odpowiedź: Gracz A (przedsiębiorstwo A)powinien stosować strategię A1 (produkować 10 tys. sztuk) z częstością oraz strategię A2 (produkować 20 tys. sztuk) z częstością , nie powinien stosować strategii A3 (nie powinien produkować 30 tys. sztuk), wtedy jego wygrana wyniesie 7,5 mln. zł.


©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna