Układy równań liniowych



Pobieranie 29.84 Kb.
Data03.05.2016
Rozmiar29.84 Kb.


Układy równań liniowych
R - zbiór liczb rzeczywistych
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

...................……………..........



am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm,
gdzie aijR i bi R

dla i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Elementy aij nazywamy współczynnikami układu równań, a elementy bi nazywamy wyrazami wolnymi (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).
Przykład

1. 2x1 + 4x2 x3 + 3x4 = 0



x1 x3  2x4 = 0

x1 + x2 + x3 + 5x4 = 0
2. 3x1 + x2  2x3 = 7

2x1  2x2 x3 = 0



Rozwiązaniem układu równań liniowych

nazywamy dowolny wektor



[1, 2, ..., n]  Rn spełniający ten układ, tzn.
a111 + a122 + ... + a1nn = b1

a211 + a222 + ... + a2nn = b2

................……………..........



am11 + am22 + ... + amnn = bm.

Jeżeli wprowadzimy następujące oznaczenia:


b = [b1, b2, ..., bm]TRm

x = [x1, x2, ..., xn]TRn,

oraz


A =
to możemy układ równań zapisać w następującej postaci macierzowej:
Ax = b
Macierz A nazywamy macierzą główną układu

równań, wektor x nazywamy kolumną



niewiadomych, a wektor b nazywamy kolumną

wyrazów wolnych.
Definicja

Układ równań liniowych, który nie posiada rozwiązań, nazywamy sprzecznym lub niezgodnym.

Układ równań liniowych, który posiada rozwiązania, nazywamy niesprzecznym lub zgodnym.

Układ równań liniowych, który posiada więcej niż jedne rozwiązanie, nazywamy nieoznaczonym.

Układ równań liniowych, który posiada dokładnie jedno rozwiązanie, nazywamy oznaczonym.

Układ Cramera. Wzory Cramera
Twierdzenie

Układ równań liniowych Ax = b ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

macierz A jest nieosobliwa, czyli det(A)  0.
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych postaci:

Ax = b,

gdzie A jest macierzą nieosobliwą, czyli detA  0.

Twierdzenie

Układ Cramera Ax = b ma dokładnie jedno rozwiązanie, które jest określone wzorami, który nazywamy wzorami Cramera:


x1 = , x2 = , ..., xn = ,
gdzie Ai oznacza macierz A, w której i-tą kolumną zastąpiono kolumną wyrazów wolnych.

Przykład

5x1  4x2 + 2x3 = 1

7x1  5x2 + 2x3 = 0

9x1 + 7x2  3x3 = 1
A = , detA = 1, zatem układ równań jest układem Cramera.
detA1 = = 1,
detA2 = = 1,
detA3 = = -1.

Stąd otrzymujemy:



x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1.

Metoda macierzy odwrotnej
Twierdzenie

Układ Cramera Ax = b ma dokładnie jedno rozwiązanie, które jest określone wzorem:



x = A-1b.

Przykład


3x1 + x2 + 6x3 = 2

x1 + 2x2  4x3 = 1

x1 x2 + 2x3 = 8


A = , x = , b = .
det A = 8

A-1 = .
x = A-1b = = .
Zatem układ równań ma jedne rozwiązanie:
x1 = 15, x2 = 16, x3 = 5.



©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna