W 1dyn ykład 8



Pobieranie 42.83 Kb.
Data06.05.2016
Rozmiar42.83 Kb.
w
1dyn
ykład 8

DYNAMIKA


Układy odniesienia poruszające się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem absolutnie nieruchomego układu odniesienia, w którym słuszne są podstawowe prawa dynamiki, nazywamy układami Galileusza (bezwładnościowymi, inercjalnymi)

Galileusz przyjmował Ziemię za absolutny układ odniesienia

Kopernik związał ten układ ze słońcem.

W zagadnieniach technicznych przyjmuje się za układ odniesienia Ziemię, czasami Słońce.

PRAWA NEWTONA


Prawo pierwsze.

Każde ciało trwa w spoczynku lub ruchu jednostajnego prostoliniowego, dopóki siły nań działające tego stanu nie zmienią.

Prawo drugie.

Zmiana ilości ruchu (pędu) jest proporcjonalna względem siły działającej i ma kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa.



P V

m (1)

gdzie mV wektor pędu, m masa,

V wektor prędkości, P wektor siły

Jeśli m = const. to i równanie ( 1) ma postać

(2)

P
2dyn
rawo trzecie


Każdemu działaniu towarzyszy równe i wprost przeciwne oddziaływanie, czyli wzajemne działanie dwóch ciał są zawsze równe i skierowane przeciwnie.

ciało 1 ciało 2







P1 P2 Rys.2 P1 = - P2

Prawo czwarte


Jeśli na punkt materialny o masie m działa jednocześnie kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła równa wektorowej sumie wektorów danych sił.

Prawo czwarte nazwano prawem superpozycji i zapisano

(3)

P1

m

P2 Rys.3

Prawo piąte

Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu mas (m1, m2) i odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty. Prawo to nazywamy prawem grawitacji




m1 m2 (4)

P

r

k stała grawitacji Rys.4

D
3dyn
ynamika swobodnego punktu materialnego


Z drugiego prawa Newtona (1)

dla m = const.

w prostokątnym układzie współrzędnych mamy

dynamiczne równania różniczkowe

ruchu punktu materialnego w układzie

współrzędnych prostokątnych (5)

Przykład 1


Punkt materialny o masie m = 2 kg porusza się po linii prostej określonej równaniem x = t3- 5t2- 12t + 3 m. Wyznaczyć wartość siły działającej na punkt dla t = 1.5 s.
Rozwiązanie

Prędkość i przyśpieszenie punktu wynoszą:





Wartość siły wywołującej ruch punktu



W układzie współrzędnych naturalnych

na oś normalną

na oś styczną (6)

na oś binormalną

P
4dyn
rzykład 2


Punkt materialny o masie m = 3.4 kg porusza się po okręgu o promieniu R = 1.1 m zgodnie z równaniem ruchu punktu po torze s = 2m + R(t2 + 2t) m. Wyznaczyć wartość siły działającej na punkt jako funkcję czasu oraz wartość tej siły dla t = 3.2 s.
Rozwiązanie





Wartość siły P





Pt

Dynamika nieswobodnego punktu materialnego


Ruch takiego punktu możemy rozpatrywać jako ruch punktu swobodnego pod wpływem sił czynnych P i biernych R. Równanie wektorowe nieswobodnego punktu materialnego o stałej masie m ma postać

(7)

W układzie naturalnym równanie (7) przyjmuje postacie

,

(8)

Przykład 3


Punkt materialny o masie m zsuwa się w dół równi nachylonej do poziomu pod kątem = 250. Wyznaczyć przyśpieszenie a punktu materialnego w przypadku gdy między powierzchnią równi a zsuwającym się punktem współczynnik tarcia wynosi μ =0.4. Przyśpieszenie ziemskie g = 9.81 m/s2.
R
5dyn
ozwiązanie y




N R

0 F m N

x a

F

G =mg

x

Rys.5 N + F = R

Wzór (7) ma postać ma = G + R

Rzutując siły: na oś x mamy (a)

na oś y

siła F jest siłą tarcia a więc równa się

(b)

podstawiając (b) do (a) i skracając przez m mamy





Ruch punktu pod działaniem siły stałej co do wartości i kierunku

Z drugiego prawa Newtona (c)

całkując (c) dwukrotnie otrzymujemy



ponieważ

(d)


P
6dyn
rzykład 4


Punkt materialny o masie m kg spada pionowo z prędkością początkową V0 ms-1. Znaleźć równanie ruchu punktu materialnego jeśli (x)t = 0 = x0, (Vx)t = 0 = V0,

g przyśpieszenie ziemskie
Rozwiązanie 0

Px = G = mg x0

Równanie różniczkowe ruchu m



x V0



m

po podstawieniu warunków brzegowych G =mg

C2 = x0, C1 = V0

Rys.7

Otrzymujemy ostatecznie

, (e)

Ruch punktu pod działaniem siły zależnej od czasu


Równanie (2) ma postać , (f)

całkując (f) otrzymamy prędkość V w funkcji czasu

, (g)

całkując (g) otrzymamy wektor opisujący położenie punktu r (t)

, (h)


P
7dyn
rzykład 5


Na znajdujący się w spoczynku punkt materialny o masie

m zaczęła w pewnej chwili działać siła P o stałym kierunku i wartości proporcjonalnej do czasu. Należy wyznaczyć równanie ruchu punktu, jeżeli wiadomo, że po upływie czasu t0 siła osiągnęła wartość równą P0.

Rozwiązanie



W rozpatrywanym przypadku miara siły P względem osi

0x (rys.8) jest funkcja czasu t. Jeżeli czas będziemy mierzyć od chwili, w której siła zaczęła działać na punkt materialny, to

0 m P

x m x Rys.8

Równanie różniczkowe ruchu (f) ma postać

całkując dwukrotnie to równanie znajdujemy



(i)




W chwili t = 0 prędkość punktu materialnego była równa zeru. Jeżeli początek 0 osi 0x obierzemy w położeniu początkowym badanego punktu materialnego, to w chwili

t = 0 mamy również x = 0. W rozpatrywanym przypadku muszą być spełnione następujące warunki:

,

Po podstawieniu tych warunków do wyrażeń (i)

C1 = C2 = 0

Odpowiedz: ,


©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna