Ćwiczenia 1 Kierunek: informatyka, rok I wsb-nlu w Nowym Sączu



Pobieranie 14.15 Kb.
Data02.05.2016
Rozmiar14.15 Kb.
Algebra Liniowa

Ćwiczenia 1


Kierunek: informatyka, rok I

WSB-NLU w Nowym Sączu




Zadanie 1) Symbole a i b oznaczają poniżej dowolne liczby rzeczywiste, a n i m dowolne liczby całkowite. Udowodnić następujące twierdzenia:



Zadanie 2) Zapisać następujące prawa arytmetyki liczb rzeczywistych:


Zadanie 3) Jakie są podstawowe związki łączące operacje dodawania i mnożenia z relacją mniejszości w zborze liczb rzeczywistych.
Zadanie 4) Wartością bezwzględną liczby x R jest:

Udowodnić następujące związki dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y:

Zadanie 5) Rozwiązać poniższe nierówności w zbiorze liczb rzeczywistych (tzn. xR):

Symbol sumy:  (grecka duża litera sigma)

W matematyce często występują sumy pewnych wartości. Gdy składników sumy jest dużo, to możemy stosować różne pomocne zapisy. Np. sumę liczb naturalnych od 1 do 50 zapiszemy skrótowo: 1+2+3+...+50. Sumę wyrazów ciągu (an) od wyrazu 7-ego do 30-tego możemy zapisać tak: a7+a8+...+a30. Okazuje się, że wielu zastosowaniach nawet ten zapis nie jest dostatecznie wygodny, więc wprowadzono jeszcze bardzie zwięzły i wygodniejszy sposób zapisywania sum:. Jest kilka wariantów tego zapisu. Jeden z nich wygląda tak:



Na dole podajemy indeks pierwszego elementu sumy (tutaj: k=1), a u góry indeks ostaniego elemnety sumy (nie piszemy już k = n tylko samo n). Symbol k, który występuje w tym przykładzie, nie jest tak bardzo istotny. Równie dobrze mogłaby to być inna literka (np. i, j, l – te się najcześciej stosuje).

A zatem:


Oczywiśnie nie jest konieczne aby suma rozpoczynała się od indeksu 1. Może zaczynać się np. od 7:

Zadanie 6)

Zapisz przy pomocy symbolu sumy następujące wyrażenia:



  1. 1 + 2 + ... + 99

  2. 1 + 2 + ... + n

  3. 5 + 6 + ... + 88

  4. 2 + 4 + 6 + ... + 198 + 200

  5. 1 + 3 + 5 + ... + 99 + 101

  6. 22+ 32+42+ ...+ n2

  7. 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n

  8. x + x2 + x3 + ... x100

  9. 1 + x + x2 + x3 + ... + xn

  10. 1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5 + ... + n/(n+1)

  11. 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ...+ 999 – 1000

  12. 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + 2(n - 1) – 2n



Zadanie 7)

Ile składników sumy zawierają podane niżej wyrażenia? (symbol n wszędzie oznacza liczbę naturalną: nN)

















Zadanie 8) Oblicz wartość poniższych wyrażeń:






Zadanie 9) Udowodnić indukcyjnie następujące tożsamości:













  • (zapisać także tą tożsamość przy pomocy symbolu sumy)




  • (zapisać także tą tożsamość przy pomocy symbolu sumy)









  • (co się dzieje dla a = 1 ?)


Zadanie 10) Wzór dwumianowy Newtona pozwala zapisać w rozwiniętej formie wyrażenie Ma on następującą postać





  • Pokazać Uzasadnić algebraicznie i kombinatorycznie.


Zadanie 11) Udowodnić następujące twierdzenia dotyczące podzielności w zbiorze liczb całkowitych










©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna