Wykład 10 Ciągłe błędy fazy Rozważmy teraz „ciągły” rodzaj błędów, w przeciwieństwie do rozważanych wyżej „dyskretnych”



Pobieranie 54.44 Kb.
Data07.05.2016
Rozmiar54.44 Kb.
Wykład 10
Ciągłe błędy fazy

Rozważmy teraz „ciągły” rodzaj błędów, w przeciwieństwie do rozważanych wyżej „dyskretnych” odwróceń spinu. Okazuje się, że ten nowy rodzaj błędów może być naprawiony w podobny sposób. Błąd związany z losową rotacją osi określa operator



. (10.1)

jest kąt przyjmujący losowe wartości w zakresie od 0 do , a - parametr, który kontroluje średni krok zmiany fazy. Przypadkowość w tej operacji jest związana ze stopniami swobody otoczenia, na przykład z chaotycznością pola magnetycznego. Po zwykłym uśrednieniu po randomizacji mamy kombinację bez błędu i „fazowe odwrócenie” pochodzące od operatora

. (10.2)

Rozważmy teraz działanie operatora w innej bazie, określonej przez własne stany i operatora



. (10.3)

Oczywiście, że



, (10.4)

tj. powoduje odwrócenie bitu w bazie własnych stanów , a wiemy już jak odwrócenie bitu można poprawić. Przejście od bazy własnych stanów do bazy własnych stanów wykonuje się za pomocą bramki Hadamarda, czyli formalnie



. (10.5)

Dla tego, żeby wykonać korekcję błędu, związanego z odwróceniem fazy w kanale transmisyjnym, Alicja przygotowuje, tak samo jak wyżej, stan , a potem stosuje do stanu



(10.6)

przed tym jak wysłać 3-kubitową wiadomość. Bob stosuje taką samą procedurę jak wcześniej; jednak on stosuje i dla tego, żeby wyciągnąć syndrom błędu, a dla korekcji błędu stosuje i . Zatem przed zastosowaniem przechodzi z powrotem do bazy obliczeniowej.



Ogólne błędy jednokubitowe

Inny rodzaj błędu może zdarzyć się z pojedynczym kubitem jest związany z „losowym pomiarem” polegającym na rzutowaniu na stan albo . Ten rodzaj błędu może być związany z odwróceniem fazy , który obserwuje się przy rzutowaniu na stan albo i może być zapisany jako



. (10.7)

Rzuty na uogólnioną przestrzeń wektorów Hilberta mogą być zapisane jako liniowe kombinację i . To staję się jasne z faktu, że dowolna macierz może być zapisana w terminach tych operatorów; jednak jest pożytecznym ćwiczeniem zapisać rzut na uogólniony stan w tej postaci. Oczywiście dowolna unitarna macierz (czyli dowolna bramka kwantowa) może być też przedstawiona w terminach tych operatorów. Ogólny błąd pojedynczego kubitu jest określony za pomocą ogólnej unitarnej macierzy , kombinowanej z rzutem na niektórą oś, a zatem może być zapisana przez i . Można widzieć, że błędy spowodowane operatorami i mogą być poprawione za pomocą prostej procedury, a biorąc pod uwagę, że , błędy spowodowane operatorem będzie też można poprawić.

Prosty kod zawiera kombinację dwóch procedur, które już rozważaliśmy i który był wprowadzony przez Petera Shora. Kod Shora opera się na idei kaskadowania (concatenating) dwóch dodatkowych kodów: dla walki z jednym typem błędu, oryginalny logiczny kubit koduje się dodatkowo w trzy kubity, a zatem każdy z tych trzech kubitów znów koduje się w trzy kubity dla tego, żeby poprawić drugi rodzaj błędu. Procedura kodowania zawiera dobrze wiadome kroki. Alicja najpierw stosuje dwie bramki CNOT z oryginalnym kubitem jako sterującym i dwoma dodatkowymi sterowanymi kubitami przygotowanymi w stanie . Zatem ona zastosuje bramkę Hadamarda do każdego z trzech kubitów. To przekształca stany bazy obliczeniowej w następujący sposób:

. (10.8)

Na końcowym kroku, Alicja dodaje dwa nowe kubity do każdego z trzech kodowanych kubitów, które ma i znów stosuje dwie CNOT kodowane procedury do każdego z tego trypletu kubitów. To daje jeden logiczny kubit w stanie splątanym z ośmiu fizycznych kubitów



,

. (10.9)

Zakładając (jak zwykle), że procedura kodowania mniej defektywna (flawless), rozważmy korekcję błędów pojedynczych kubitów. Dla detekcji odwrócenia bitu w pierwszym kubicie (albo w rzeczywistości w innym kubicie w pierwszym tryplecie), Bob znów wykorzystuje operatory i . Wtedy następne zastosowanie odpowiedniego operatora poprawia błąd. Odwrócenie fazy na jednym z pierwszych trzech kubitów zmienia znak w tym bloku, tj. ono przekształca w i odwrotnie. Dla tego, żeby wykryć taką zmianę znaku i zlokalizować to, Bob znów tylko porównuje znaki trójkubitowych bloków jeden i dwa, oraz jeden i trzy. Ponieważ jest operatorem jednoczesnego odwrócenia bitów w kubitach 1, 2 i 3, tj. on wykonuje i odwrotnie, wykonuje się porównywanie znaków pomiędzy blokami za pomocą trochę niezręcznych operatorów i . Odwrócenie fazowe w dowolnym z pierwszych trzech kubitów może wtedy być poprawiono stosując . Jeżeli zachodzi jednocześnie, jak odwrócenie bity, tak i odwrócenie fazy, powiedźmy kubitu 1, dwie procedury opisane wyżej będą jak rejestrować, tak również kasować odpowiednie „sterowane błędy”, a zatem rzeczywiście wszystkie jednokubitowe błędy, spowodowane operatorami albo mogą być poprawione. Jak było powiedziane wyżej, to oznacza, że cały kontinuum błędów, związanych z pojedynczym kubitem, może być sprowadzony do skończonego (i bardzo małego) zbioru błędów. Ten znakomity fakt czasami nazywa się jako „dyskretyzacja błędów” i to jest podstawą dla całej koncepcji korekcji błędów kwantowych. Zwróćmy uwagę, że nic podobnego nie istnieje dla klasycznych analogowych komputerów.

Kod Shora jest konceptualnie prosty i jasny do zrozumienia, jednak on potrzebuje dla ochrony od dowolnego błędu jednego kubitu, osiem kubitów fizycznych na logiczny kubit. Później były zaproponowane kody z 7 i nawet 5 fizycznych kubitów na logiczny kubit. Kod z pięciu kubitami wymaga dość skomplikowanych operacji dla osiągnięcia celu; to jest innym przykładem ilustrującym kompromis między prędkością i rozmiarem, co często można spotkać w informatyce komputerowej.

Efekt kwantowy Zenona

Można spróbować obejść całkowicie wykonanie szczególnych operacji poprawienia dla możliwych błędów, wykorzystując kwantowy efekt Zenona dla korekcji błędów. Idea tego radykalnego uproszczenia jest dość prosta – często zachowywać (za pomocą pomiarów) stany kwantowe nie zawierające błędy w podprzestrzeni odpowiadającej syndromu „bez błędne”.

Zenon z Elea ( 490-430 lata do naszej ery; południowe Włochy) był uczniem Parmenidesa. On sformułował kilku paradoksów w potwierdzenie uczenia Parmenidesa, w szczególności twierdzenie o tym, że ruch jest niemożliwy i więcej tego on nie może istnieć. To jest dobrze znany paradoks o gonitwie między Achillesa i żółwiem. Achilles (szybki człowiek w starym świecie) jest w dziesięć razy szybciej żółwia. Jednak on nigdy nie dogoni żółwia, jeżeli żółw startuje z przodu od Achillesa, na przykład o 10 m. Achilles musi najpierw pokonać 10 m. W ciągu tego czasu, żółw przejdzie 1 m i wciąż będzie z przodu. Jeżeli Achilles pokona ten odcinek, żółw przesunie się o kolejne 0,1 m itd., czyli zawsze żółw będzie z przodu.

Drugi paradoks mówi, że ciało nigdy nie może przejść z punktu do punktu : dla tego najpierw ciało musi dojść do środka drogi. Zatem on musi dojść do środka pozostałej części drogi itd.

Chociaż te paradoksy łatwo rozwiązać, podobne sytuacje istnieją w mechanice kwantowej i one są realne. Rozważmy te paradoksy pod nazwą „kwantowy efekt Zenona”, chociaż one w rzeczywistości nie są paradoksami.

Rozważmy ewolucję układu, który początkowo (w chwili ) był przygotowany w stanie , które jest własnym stanem operatora z wartością własną równą . Stan ewoluuje pod wpływem Hamiltonianu , który nie komutuje z . Możliwym przykładem może być Hamiltonian , który jest , a obserwablą jest . Pomiary nad układem po jakimś czasie będzie dawał wynik, który różni się od .

Dla układu spinowego, możemy rozważać spin we własnym stanie operatora , ewoluującego w polu magnetycznym . Prawdopodobieństwo tego, że odpowiedni pomiar w chwili da wartość własną wynosi

, (10.10)

(gdzie - częstość Larmora), natomiast prawdopodobieństwo otrzymania przeciwnego wyniku wynosi



. (10.11)

Jeżeli wykonujemy taki pomiar, zgodnie z postulatem rzutowania stanów, po pomiarze układ znajduje się we własnym stanie operatora . Jeżeli pomiar daje wynik , układ znów znajduje się w tym samym jak na początku stanie i ewolucja znów ma taka samą zależność od czasu jaka była do pomiaru. Ważnym jest to, że pierwsza pochodnia zależności czasowej znika po rzutowaniu



, (10.12)

a to oznacza, że układ nie zmienia się w ciągu krótkich czasów.



Rys.10.1 Efekt kwantowy Zenona: zanik stanu staje się wolniejszy przy zwiększeniu liczby pomiarów

Rys.10.1 pokazuje jak zmienia się ewolucja układu przy zmniejszeniu interwału pomiarowego. Dlugoczasowa ewolucja układu staje się kwaziliniowej. Jeżeli szereg pomiarów powtarza się z interwałem (czasowym) , prawdopodobieństwo tego, że po pomiarach w sekwencji układ zawsze pozostanie w stanie wynosi

, (10.13)

Dla krótkich interwałów pomiarowych , to może być aproksymowane jako



, (10.14)

Wykorzystując relacje



. (10.15)

ewolucję czasową możemy w przybliżeniu zapisać jako



. (10.16)

Widzimy, że ewolucja nie tylko staje się wolniejszej, ona staje się zanikającą. Układ nie wykazuje więcej precesję, ale porusza się eksponencjalnie ku równowagi termodynamicznej.



Rys.10.2. Eksperymentalne sprawdzanie kwantowego efektu Zenona. Z lewej strony: impulsy laserowe mierzą stan jonów, natomiast one próbują wykonać przejścia ze stanu do stanu . Z prawej strony: obliczone i zmierzone prawdopodobieństwo przejścia przy zwiększającej się liczby pomiarów

Te ogólne przepowiedni mechaniki kwantowej można sprawdzić eksperymentalnie, na przykład na uwięzionych w pułapkach jonach. Na rys.10.2 jest pokazany schemat eksperymentu. Jony znajdują się w stanie , z którego RF pole przenosi ich do stanu . Amplituda RF pola oraz długość jego działania mogą być wybrane takimi, żeby prawdopodobieństwo przejścia jonu ze stanu do stanu wynosiło jeden w chwili .

Dla detekcji tego, czy znajdują się jony w stanie , możemy wykorzystać impulsy laserowe, które wzbudzają fluorescencję od jonów znajdujących się w stanie ; przy odpowiedniej kalibracji, sygnał fluorescencji może być wykorzystany dla pomiaru czy jony znajdują się w tym stanie. Jeżeli taki impuls jest przyłożony najpierw w chwili znajdziemy, prawie z prawdopodobieństwem równy jeden, że jony znajdują się w stanie . Jednak, jeżeli wykonamy dodatkowe pomiary w chwilach , gdzie , to prawdopodobieństwo znalezienia układu w stanie w chwili zmniejszy się do wartości



. (10.17)

To przepowiedzenie było sprawdzono eksperymentalnie (patrz prawą część rys.10.2) wykonując pomiary na dwóch nadsubtelnych stanach podstawowego stanu jonu .

Jasne, że zmniejszenie prędkości przejścia wykorzystując pomiary nie może być uniwersalnym. Jako przykład rozważmy atom, który początkowo znajdował się w stanie wzbudzonym. Możliwym sposobem pomiaru prawdopodobieństwa obsadzenia stanu wzbudzonego jest pomiar fluorescencji: dopóki nie obserwujemy fluorescencję fotonu od określonego atomu, wiemy, że on wciąż znajduje się w stanie wzbudzonym. Jeżeli „patrzmy” na atom dość często, to powodujemy niemożliwość rozpadu atomu.

Główną przyczyną tego paradoksu jest to, że koncepcja pomiaru kwantowo-mechanicznego nie jest ustalona z wystarczającą dokładnością. Rzut, czyli redukcja paczki falowej, nie zawsze zachodzi w „standartowych” pomiarach kwantowo-mechanicznych. Jeżeli oddziaływanie jest słabym (takim jak w „podglądaniu” fotonu fluorescencyjnego), to redukcja nie zachodzi. Jedną z najważniejszych uwag, która musi być rozważana, jest związana z tym, że pomiary rzutowe mogą zachodzić tylko w skończonym czasowym interwale, który zwiększa się, gdy zmniejsza się oddziaływanie z aparaturą. Postulat rzutowania jest dobrze podchodzi do eksperymentu typu Sterna-Gerlacha, ale całkowicie jest nieprzydatna dla eksperymentów typu NMR.



Kody stabilizujące

Po tym jak były znalezione pierwsze kody dla korekcji kwantowych błędów, szybko był opracowany ogólny teoretyczny schemat analizy i kwalifikacji kodów. Ten schemat nosi nazwę formalizmu stabilizatora. Podstawową koncepcją jest grupa Pauli’jego dla kubitów. Dla jednego kubitu grupa Pauli’jego zawiera jednostkową macierz 1 i trzy macierzy Pauli’jego , wszystkie z mnożnikami . Te macierzy tworzą grupę względem mnożenia macierzy: iloczyn dwóch elementów grupy jest elementem grupy. Dla kubitów, proste iloczyny macierzowe od indywidualnych kubitowych grup Pauli’jego tworzą grupę w całkowicie podobny sposób. Załóżmy teraz, że jest podgrupą -kubitowej grupy Pauli’ego, a zbiór stanów -kubitowych jest niezmienniczy względem wszystkich elementów ; wtedy mówimy, że jest wektorową przestrzenią stabilizowaną przez , a nazywamy stabilizatorem. Wektory bazowe mogą być wykorzystane jako słowy kodu dla kodu stabilizującego. Najprostszy przykład dla zadaje zbiór ; jest rozpięta na stanach i . Zwróćmy uwagę na to, że nietrywialne elementy stabilizatora dla tego kodu pracują jako ekstraktory syndromów; one pozostawiają wszystkie stany, zawierające słowy legalnego kodu niezmienionymi i mapują wszystkie stany zmienione wskutek istnienia błędów na inne stany. Różne błędy w celu korekcji mogą być rozróżnione za pomocą ekstraktorów syndromu. Wcześniej widzieliśmy, że w przypadku prostego trójkubitowego kodu mogą być poprawione tylko odwrócenia jednokubitowe, natomiast dwukubitiwe odwrócenia prowadzą do błędnej transmisji danych a trójkubitowe odwrócenie w ogóle nie jest rejestrowane.

Dla kodu z -kubitowymi słowami, błędy możemy klasyfikować za pomocą ich wag, czyli za pomocą liczby nietrywialnych macierzy zastosowanych do kodowanych słów. Żądamy skonstruować kod, który pozwala poprawić wszystkie błędy włącznie z maksymalną wagą ; taki kod nazywa się -korekcja błędów. Osiągnięcie zależy podobieństwa albo rozróżnialności stosowanego kodu słów. Jeżeli minimalna odległość (którą określa liczba różnych kubitów) między dwoma zakodowanymi słowami jest , wtedy maksimum jest określony całkowitą częścią . Oczywiście minimalna odległość zależy od liczby logicznych (ku)bitów zakodowanych (jak kodowany słowy) w fizycznych (ku)bitach. Klasyczne, jak również kwantowe kody często charakteryzują się jako . Istnieje dokładnie opracowana teoria korekcji błędów kodów i faktycznie klasa korekcji błędów kwantowych kodów może być wyprowadzona z kodów klasycznych. Te kody noszą nazwę kody Calderbanka-Shora-Steane’a (albo CSS). One są podklasą kodów stabilizujących i będą rozważane później.



Błędnie dopuszczalne obliczenia

Rozważmy prostą transmisję (w przestrzeni albo w czasie) informacji kwantowej, bez rozważania jakichś logicznych operacji (za wyjątkiem tych, które są potrzebne do korekcji kwantowych błędów). Dla wykonania praktycznego kwantowych obliczeń, potrzebne jest wykonanie logicznych operacji w sposób błędnie dopuszczalnym. To oznacza, że wszystkie kwantowe bramki (włącznie z tymi, które są wykorzystywane dla korekcji błędów kwantowych) były zrealizowane w taki sposób, że one dopuszczają, że wejściowe kubity mogą zawierać błędy. Skutkiem tego jest to, że bramki nie będą działały na pojedyncze bity logiczne (które nie dają możliwości detekcji i korekcji błędów), a na dodatkowy kod słów – kod korekcji kwantowych błędów. W ciągu wykonania tych operacji musimy zatroszczyć się o tym, żeby błędy nie rozchodziły się dość szybko na zespół wykorzystywanych kubitów. Oczywiście detali realizacji zależą od operacji i od wykorzystywanych kodów i raczej to jest problem techniczny, rozważanie którego wychodzi poza ramy niniejszego wykładu.

Technika korekcji błędów wykorzystująca kaskadowe wielupoziomowe kodowanie oraz logikę kwantowej błędnie dopuszczalną, gwarantuje, że nietrywialne obliczenia kwantowe mogą być zrealizowane. Po fizycznie rozumnych dopuszczeniach o szumie, było pokazane, że dowolnie długie obliczenia kwantowe mogą być efektywnie zrealizowane, tj. ze wzrostem resursów, takich jak pamięć, rozmiary obwodów albo czasu, obserwujemy, że średnie prawdopodobieństwo w indywidualnych kwantowych bramkach jest niżej niektórej stałej granicy. Ten ważny wynik jest znany jako twierdzenie graniczne.

Kasowanie błędów

Chociaż korekcja błędów reprezentuje ważną część komputera kwantowego, granice, które osiągamy przed korekcją błędów, mogą być bardzo wysokie. Dla tego ważnym jest też opracowanie strategii zmniejszenia przypadków powstawania błędów. Próby zmniejszenia ilości błędów w komputerze kwantowym muszą dotyczyć planowania hardware (i software).

Większość wysiłków była skoncentrowana na aspektach inżynieryjnych związanych ze zmniejszeniem niepotrzebnych elektrycznych i magnetycznych pól, które mogą wpływać na dynamikę układy oraz na projektowaniu bramek w taki sposób, żeby końcowy propagator nie zależał tak silnie od parametrów eksperymentalnych, które trudno kontrolować. Dobrym przykładem tego są impulsy kompozycyjne, które były wprowadzony w MRJ w 1979 roku; one generują rotację, które są zbliżone do potrzebnej rotacji nawet jeżeli wartość pola, odchylenie długości albo częstości przewyższają nominalne wartości.

Chociaż te wysiłki są ważne, one są dość specyficzne i nie będą tutaj omawiane. A zatem rozważmy tylko ogólne zasady, które mogą być zastosowane dla wielu różnych realizacji. W szczególności, rozważmy jak informacja kwantowa może być zachowana w określonym rejonie przestrzeni Hilberta innym niż te obszary, które wykorzystują się do wykonania obliczeń, w taki sposób, żeby ona mniej zmieniała się wskutek oddziaływania między układem i otoczeniem.

Dla omówienia procesów dekoherencji, zwykle wyróżniają kilka różnych przypadków opartych na typie oddziaływania między układem i otoczeniem:


  1. Ogólna dekoherencja. To jest najogólniejszy przypadek, ponieważ dotyczy dowolnych operatorów, który generują dekoherencję.

  2. Niezależna dekoherencja kubitu. Jeżeli operator oddziaływania zawiera tylko operatory, działające na indywidualne spiny, błędy indywidualnych kubitów są niezależne. To jest przypadek, który jest zwykle rozważany w teorii korekcji błędów kwantowych.

  3. Kolektywna dekoherencja. W tym przypadku operatory oddziaływania działają w ten sam sposób na wszystkie kubity. W przypadku spinów operatory wtedy mają postać

, (10.18)

gdzie oznacza składową spinu, a numeruje spiny. Oczywiście w tym przypadku zaburzenie dopuszcza dowolne permutacje. Tylko trzy niezależne operatory zaburzenia istnieją w tym przypadku.



  1. Klasterna dekoherencja. To jest pośredni przypadek, dla którego istnieją klastery kubitów i dekoherencja dla klastera jest kolektywną, natomiast rozpad różnych klasterów zachodzi niezależnie.

Podprzestrzeni dekoherentnie swobodne

Dekoherentnie swobodne podprzestrzeni dają możliwość ekranować informację kwantową od procesów dekoherencji pochodzących od otoczenia i wykorzystują właściwości symetryczne operatorów oddziaływania między układem i otoczeniem.

Jak mówiliśmy wyżej, dekoherencja pochodzi od oddziaływania z łaźnią (otoczeniem). A zatem dogodniej jest rozróżnić trzy wkłady w Hamiltonian całego układu (włącznie z łaźnią)

. (10.19)

Tu jest operatorem wyłącznie układy, - operator łaźni, a reprezentuje operator oddziaływania. Operator oddziaływania zawiera iloczyny operatorów



, (10.20)

gdzie - operatory układu i - operatory łaźni. Jeżeli układem są spiny, to są spinowe operatory, wtedy mogą być współrzędnymi przestrzennymi.

Dekoherencja jest nieunitarną częścią ewolucji macierzy gęstości układu, która przy odpowiednich warunkach można zapisać w postaci

. (10.21)

Tu - Hamiltonian układu plus dowolne możliwe unitarne wkłady pochodzące od oddziaływania układ-łaźnia, a - elementy dodatniej półokreślonej (semi-definite) macierzy hermitowskiej. Operatory są generatorami procesu dekoherencji. A więc możemy rozważać możliwe procesy dekoherencji w terminach tych operatorów. W układach spinowych, to jasne są operatory spinowe; dla układów ze spinem 1/2 , to są iloczyny macierzy Pauli’jego.

W zależności od generatorów nie wszystkie stany ekwiwalentne względem dekoherencji. Dekoherentnie swobodna podprzestrzeń istnieje, jeżeli niektóry zbiór stanów , związanych z otoczeniem nie generują czasowej ewolucji. Dla analizy formalnej, zapiszmy odpowiednią część operatora gęstości jako

, (10.22)

gdzie współczynniki zależą od warunków początkowych. A zatem warunkiem istnienia dekoherentnie swobodnej podprzestrzeni, jest warunek, żeby prawa część (10.21) znikała



. (10.23)

Ten warunek może być spełniony na kilka sposobów, w zależności od warunków początkowych (przez ) i od oddziaływania z łaźnią (przez ). Jednak dekoherentnie swobodna podprzestrzeń jest interesującej tylko, jeżeli nie będą potrzebne dodatkowe ograniczenia na parametry łaźni albo warunki początkowe układu, ponieważ to jest ciężkie dla kontroli. Takie dodatkowe ograniczenia nie potrzebne, jeżeli stany spełniają warunek



(10.24)

dla wszystkich operatorów , tj. jeżeli one formują degenerowany zbiór własnych stanów dla wszystkich generatorów błędów. Oczywiście to jest raczej ograniczony kryterium i omówimy później kilku przykładów.

Dla tego, żeby upewnić się, że ta koncepcja jest przydatna, musimy policzyć jak dużo informacji może być zakodowane w dekoherentnie swobodnej podprzestrzeni (DSP). Odpowiedź zależy od rodzaju dekoherencji. Dla kolektywnej dekoherencji DSP okazuje się interesującą, ponieważ DSP asymptotycznie wypełnia całą przestrzeń Holberta. W tym przypadku istnieją tylko trzy niezależne perturbacyjne operatory, całkowite operatory spinowe (10.18). Dla w (10.24), DSP pokrywa się wszystkimi syngletowymi stanami (pełna spinowa liczba kwantowa ), powiedźmy spinów (gdzie musi być parzyste). Liczba tych stanów może być znaleziona rozważając stany z daną składową całkowitego spinu. Pełna liczba stanów wynosi , liczbie sposobów wyboru spinów zorientowanych w dół z spinów. Niektóre z tych stanów będą poszukiwanymi syngletami, inne odnoszą się do podprzestrzeni z . Każda taka podprzestrzeń zawiera dokładnie jeden stan. Całkowita liczba stanów z wynosi . A zatem liczba stanów z (albo podprzestrzeni, ponieważ każda podprzestrzeń jest jednowymiarową) jest równa

. (10.25)

Liczba kubitów logicznych, które mogą być zapisane w tej DSP z fizycznych kubitów wtedy wynosi



, (10.26)

gdzie wykorzystaliśmy wzór Stirlinga (dla dużych )



. (10.27)

Wynik (10.27) dla kolektywnej dekoherencji był po raz pierwszy otrzymany na podstawie zastosowania teorii grup. W przeciwieństwie do tego przypadku, kiedy dekoherencyjnie swobodna podprzestrzeń asymptotycznie wypełnia całą przestrzeń Hilberta, w przypadku dekoherencji indywidualnych kubitów albo pełnej dekoherencji, ilość informacji, którą można zapisać w DSP jest nieskończenie małą.



Ostatnie wymaganie, które musi być zrealizowane jest wykonanie bramek w tej DSP. To łatwo osiągnąć w modelu grupowym (generic), jednak zwykła realizacja w układach fizycznych jest wciąż rzadka i musi być rozważana dla specjalnych przykładów. Dalej jako taki przykład rozważmy MRJ.





©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna