Wykład 13 Wyznaczniki, minory, rząd macierzy. Macierz odwrotna. 13. 1 Wyznacznik, minor, rząd macierzy. Definicja 13. 1



Pobieranie 64.24 Kb.
Data03.05.2016
Rozmiar64.24 Kb.
Wykład 13

Wyznaczniki, minory, rząd macierzy. Macierz odwrotna.

13.1 Wyznacznik, minor, rząd macierzy.
Definicja 13.1.
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A nazywamy funkcję, która macierzy tej przyporządkowuje liczbę oznaczaną symbolem det(A) lub .
Wyznacznik określony jest tylko dla macierzy kwadratowych. Niżej podamy kilka sposobów obliczania wyznacznika macierzy.
Twierdzenie 13.1.
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia drugiego, tzn.

.

Wówczas



Przykład 13.1.
Znaleźć .

Rozwiązanie




Twierdzenie 13.2.
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia trzeciego, tzn.

.

Wówczas



Obliczenie wyznacznika macierzy kwadratowej trzeciego stopnia można wykonać wykorzystując przedstawiony niżej schemat.







a11

a12

a13







a21

a22

a23







a31

a32

a33







a11

a12

a13







a21

a22

a23



W tym celu przepisujemy dwa pierwsze wiersze macierzy i umieszczamy je pod wierszem trzecim. Następnie obliczamy iloczyny wyrazów znajdujących się na poszczególnych strzałkach. Iloczyny te dodajemy do siebie lub odejmujemy zgodnie ze znakami umieszczonymi przy grotach strzałek.


Przykład 13.2.
Obliczyć wyznacznik macierzy .
Rozwiązanie.





-2

1

0







3

2

-2






0

1

4







-2

1

0







3

2

-2





(-2)24 + 310 + 01(-2) - 020 – (-2) 1(-2) - 413 = - 16 – 4 – 12 = -32

Obliczanie wyznaczników macierzy stopnia wyższego niż trzeci wymaga wprowadzenia kilku dodatkowych pojęć.


Definicja 13.2.
Jeżeli z macierzy prostokątnej Am n wykreślimy m – p wierszy i n – p kolumn, przy czym p jest liczbą taką, że p  0, m – p  0 i n – p  0, to otrzymamy macierz kwadratową, której wyznacznik nazywamy minorem stopnia p macierzy A.
Definicja 13.3.
Niech A = [aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n. Dopełnieniem algebraicznym elementu aij nazywamy wyrażenie Aij = (-1)i + j Mij,

gdzie Mij jest minorem otrzymanym z macierzy A przez wykreślenie i – tego wiersza i j – tej kolumny.


Minory wykorzystuje się między innymi do obliczania wartości wyznaczników przez rozwinięcie ich względem wiersza lub kolumny
Twierdzenie 13.3.
Niech A = [aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n a Aij niech będzie dopełnieniem algebraicznym elementu aij. Wówczas:

  1. ak1 Ak1 + ak2 Ak2 + ... + akn Akn dla każdego k takiego, że  1  k  n,

  2. a1p A1p + a2p A2p + ... + anp Anp dla każdego p takiego, że  1  p  n.

Pierwszy z tych wzorów nazywamy rozwinięciem wyznacznika względem k – tego wiersza, a drugi rozwinięciem względem p – tej kolumny.

Stosując takie rozwinięcie obliczamy wyznacznik stopnia n za pomocą wyznaczników stopnia n – 1. Stosując dalej rozwinięcie względem wiersza lub kolumny możemy obliczyć wyznacznik dowolnego stopnia za pomocą pewnej liczy wyznaczników stopnia trzeciego lub drugiego.

Ponieważ wybór wiersza lub kolumny nie wpływa na wartość wyznacznika, wybierać powinniśmy wiersz lub kolumnę zawierającą jak największą liczbę elementów zerowych.



Przykład 13.3

Obliczyć wyznacznik macierzy z przykładu 13.2 rozwijając go względem pierwszego wiersza.



Rozwiązanie





Obliczanie wyznaczników macierzy kwadratowych stopnia n jest przy dużych wartościach n dość czasochłonne. Można je uprościć stosując pewne własności wyznaczników.
Własności wyznaczników.

  1. Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę dwóch wierszy (lub kolumn) miejscami, to

  2. Jeśli macierz B powstała przez przemnożenie jednego wiersza (lub jednej kolumny) macierzy A przez liczbę k, to

  3. Jeśli At, to .

  4. Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do pewnego wiersza (kolumny) kombinacji liniowej innych wierszy (kolumn) macierzy A, to

  5. Jeśli:

    • w macierzy B istnieje wiersz (kolumna) zawierający wyłącznie elementy zerowe,

    • macierz B zawiera dwa identyczne wiersze lub dwie identyczne kolumny,

    • w macierzy B istnieje wiersz (kolumna) będący kombinacją liniową innych wierszy (kolumn) tej macierzy,

to
Przykład 13.4.
Wykorzystując własność 4 obliczyć następujące wyznaczniki:

a) , b) , c)


Rozwiązanie.
a)
Mnożąc pierwszy wiersz przez 2 i dodając do drugiego otrzymujemy:

Mnożymy pierwszy wiersz przez –4 i dodajemy do trzeciego:

Rozwijamy otrzymany wyznacznik względem pierwszej kolumny.



b)
Możemy tu posłużyć się elementem a23 = 2, aby uzyskać zera na pozostałych miejscach drugiego wiersza. W tym celu do drugiej kolumny dodajemy trzecią pomnożoną przez 3, następnie do pierwszej kolumny dodajemy trzecią pomnożoną przez –4.
Otrzymujemy

Możemy teraz rozwinąć ten wyznacznik względem drugiego wiersza:

c)
Jeżeli któryś z elementów wyznacznika jest równy 1 lub –1, to łatwo przy jego pomocy uzyskać zera w wierszu lub kolumnie, w której występuje. Ponieważ a23 = 1, zatem możemy przekształcać wyznacznik tak, aby otrzymać zera w drugim wierszu lub w trzeciej kolumnie. Spróbujemy uzyskać zera w trzeciej kolumnie. W tym celu :

  1. do pierwszego wiersza dodajemy drugi pomnożony przez –9,

  2. do trzeciego wiersza dodajemy drugi pomnożony przez 2,

  3. do czwartego wiersza dodajemy drugi pomnożony przez 3.

Otrzymujemy:



Rozwijając względem trzeciej kolumny otrzymujemy:




Definicja 13.4

Rzędem macierzy prostokątnej Am n nazywamy najwyższy stopień niezerowego minora tej macierzy. Oznaczamy go symbolem r(A).


Wyznaczanie rzędu macierzy na podstawie tej definicji jest niekiedy bardzo pracochłonne. Zauważmy, że macierz Am n może być traktowana jak układ n wektorów o m elementach (kolumn macierzy A) lub układ m wektorów o n elementach (wierszy macierzy A).

Korzystając z tego, można inaczej zdefiniować pojęcie rzędu macierzy.



Definicja 13.4 (inne ujęcie)


Rzędem macierzy prostokątnej Am n nazywamy liczbę liniowo niezależnych kolumn (wierszy) tej macierzy. Oznaczamy go symbolem r(A).

Przy obliczaniu rzędu macierzy możemy teraz skorzystać z omówionych na poprzednim wykładzie własności wektorów i przestrzeni wektorowej, a w szczególności z następujących twierdzeń definicji:



Twierdzenie 12.1

Wszystkie kombinacje liniowe wektorów a1, a2, …, akRn tworzą przestrzeń liniową V  Rn.



Definicja 12.3

Wektory a1, a2, …, akRn nazywamy liniowo niezależnymi, jeśli ich kombinacja liniowa jest równa wektorowi zerowemu wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki tej kombinacji są równe zeru, tzn.


l1a1 + l2a2 + … + lkak = 0ll2 = … = lk = 0

Jeśli choć jeden z tych współczynników jest różny od zera, mówimy, że wektory a1, a2, …, akliniowo zależne.



Twierdzenie 12.2

Układ wektorów a1, a2, …, ak jest liniowo zależny, jeśli jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych.

W takim wypadku każdy z wektorów a1, a2, …, ak jest kombinacją liniową pozostałych.

Twierdzenie 12.3

W przestrzeni Rn układ wektorów liniowo niezależnych może liczyć co najwyżej n wektorów.

Każdy układ zawierający więcej niż n wektorów jest liniowo zależny.
Z twierdzenia 12.3 wynika

Twierdzenie 13.4.
Rząd macierzy Am n nie może być większy niż mniejsza z liczb m i n.

Definicja 13.5

Następujące działania wykonywane na wierszach lub kolumnach macierzy:



  1. pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę,

  2. dodanie wiersza (kolumny) do innego wiersza (kolumny) tej samej macierzy,

  3. przestawienie dwóch wierszy (kolumn).

nazywamy operacjami elementarnymi.
Z twierdzenia 12.1 wynika

Twierdzenie 13.5.
Wykonanie operacji elementarnej na wierszach lub kolumnach macierzy nie zmienia rzędu tej macierzy.
Jedną z metod wyznaczania rzędu macierzy jest takie dobieranie operacji elementarnych, aby uzyskać w badanej macierzy maksymalną liczbę elementów zerowych. Rzędem macierzy jest wówczas liczba elementów, które pozostały niezerowe.

Przykład 13.5

Wyznaczyć rząd macierzy .


Rozwiązanie.
Wyznaczanie rzędu macierzy rozpoczynamy do doprowadzenia do sytuacji, w której w pewnym wierszu lub kolumnie pozostanie tylko jeden element niezerowy.

Taką sytuację uzyskamy w ostatnim, czwartym wierszu, gdy do kolumny drugiej dodamy kolumnę czwartą pomnożoną przez –4.


r(A) = .

Następnie do wiersza pierwszego dodajemy wiersz czwarty pomnożony przez –2, do wiersza drugiego dodajemy wiersz czwarty pomnożony przez –5 i do wiersza trzeciego dodajemy wiersz czwarty pomnożony przez –4. Uzyskujemy w ten sposób zera w ostatniej kolumnie.


r(A) = .
Do wiersza drugiego dodajemy trzeci pomnożony przez –4.

r(A) = .


Następnie

r(A) = .

Ponieważ w pierwszym wierszu występuje tylko jeden element niezerowy, równy –3, mnożymy ten wiersz przez (-1/3).

r(A) = .

Do wiersza drugiego dodajemy pierwszy pomnożony przez –39.

r(A) = .


Nie można już uzyskać większej liczby elementów zerowych. Zatem r(A) = 4.
13.2 Macierz odwrotna.
Przy rozwiązywaniu równań często wykorzystuje się pojęcie liczby odwrotnej. W zbiorze liczb rzeczywistych dla każdej niezerowej liczby rzeczywistej a można znaleźć liczbę odwrotną a-1, to znaczy liczbę taką, że aa-1 = 1. Przez analogię wprowadzono pojęcie macierzy odwrotnej.

Definicja 13.6

Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz A-1 taką, że



AA-1 = A-1A = I
Niestety, w przeciwieństwie do liczb rzeczywistych, nie dla każdej niezerowa macierz istnieje macierz odwrotna. Aby dla macierzy A istniała macierz odwrotna muszą być spełnione następujące warunki:


  1. Macierz A musi być kwadratowa.

  2. Rząd macierzy A musi być równy jej wymiarowi, tzn. r(Ann) = n.

O macierzy spełniającej powyższe warunki mówimy, że jest nieosobliwa.

O macierzy kwadratowej, której rząd jest mniejszy niż wymiar, mówimy że jest osobliwa.

Przykład 13.2


Sprawdzić, że macierz jest macierzą odwrotną do A = .
Istnieje kilka sposobów wyznaczania macierzy odwrotnej. Poznamy tu sposób podobny do metody rozwiązywania układów równań liniowych przy pomocy macierzy rozszerzonej. Jest on wygodny, gdyż nie wymaga obliczania wyznacznika ani rzędu macierzy i można go stosować do macierzy kwadratowej dowolnego stopnia.
Aby wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy Ann postępujemy według następującego schematu:

Krok 1


Tworzymy macierz rozszerzoną [AnnIn], gdzie In jest macierzą jednostkową stopnia n.

Krok 2


Stosując wyłącznie następujące operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej:

  1. mnożenie wiersza przez liczbę,

  2. dodawanie do wiersza kombinacji liniowej innych wierszy,

doprowadzamy macierz rozszerzoną do postaci zredukowanej (Definicja 13.2).
Jeśli w odpowiadającej macierzy A części macierzy rozszerzonej otrzymamy wiersz zerowy, to rząd macierzy A jest mniejszy niż wymiar (A jest osobliwa) i macierz A-1 nie istnieje.

W przeciwnym wypadku krok drugi doprowadza do powstania macierzy [InA-1].

Przykład 13.3

Znaleźć macierze odwrotne do macierzy:


a) , b)
Rozwiązanie.
a)
Krok 1

Tworzymy macierz rozszerzoną



Krok 2
Ponieważ a11 = 1, nie musimy dzielić pierwszego wiersza przez a11.

Aby uzyskać zera w pozostałych elementach pierwszej kolumny, do wiersza drugiego dodajemy wiersz pierwszy pomnożony przez –2, następnie do wiersza trzeciego dodajemy wiersz pierwszy pomnożony przez 4.


Otrzymujemy:


W wierszu drugim musimy otrzymać 1 na miejscu a22, zatem dzielimy wiersz drugi przez 2


Aby uzyskać zera w pozostałych elementach drugiej kolumny, do wiersza pierwszego dodajemy wiersz drugi pomnożony przez –2, następnie do wiersza trzeciego dodajemy wiersz drugi pomnożony przez –4.

Ponieważ a33 = 1, nie musimy dzielić trzeciego wiersza przez a33. Aby uzyskać zera w pozostałych elementach trzeciej kolumny, do wiersza pierwszego dodajemy wiersz trzeci pomnożony przez 3, następnie do wiersza drugiego dodajemy wiersz trzeci pomnożony przez –1.

Ponieważ po lewej stronie w macierzy rozszerzonej otrzymaliśmy macierz jednostkową, zatem
A-1 = 

Należy sprawdzić, czy A A-1 = A-1  A = I.


b)
Krok 1

Tworzymy macierz rozszerzoną


Krok 2


Do drugiego wiersza dodajemy pierwszy pomnożony przez –2, następnie do trzeciego wiersza dodajemy pierwszy pomnożony przez –1.

Gdy dodamy wiersz drugi do trzeciego, to otrzymamy

Ostatni wiersz lewej części macierzy rozszerzonej jest zerowy, zatem badana macierz jest osobliwa. Macierz odwrotna do niej nie istnieje.

Literatura

Krysicki W., Włodarski L. : Analiza matematyczna w zadaniach, Część pierwsza, PWN Warszawa, 1970.





©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna