Wykorzystanie liczb zespolonych do obliczania obwodów prądu sinusoidalnego



Pobieranie 32.26 Kb.
Data08.05.2016
Rozmiar32.26 Kb.
Wykorzystanie liczb zespolonych do obliczania obwodów prądu sinusoidalnego

Obliczanie obwodów rozgałęzionych prądu sinusoidalnego jest trudne, jeśli wykorzystujemy tylko wykresy wektorowe i prawa Kirchhoffa dla chwilowych wartości napięcia i prądu.

Dlatego aby uprościć i przyśpieszyć obliczenia wykorzystujemy metodę liczb zespolonych.

W tej metodzie napięcia i prądy sinusoidalne będziemy przedstawiać za pomocą liczb zespolonych.

Obliczenia przy zastosowaniu rachunku liczb zespolonych przeprowadzamy dla wartości skutecznych napięcia i prądu

Napięcia i prądy wyrażone w postaci zespolonej, odpowiadające wartościom skutecznym nazywamy wartościami skutecznymi zespolonymi.

Wartość skuteczną zespoloną napięcia i prądu oraz zespoloną impedancję i admitancję wyróżniamy przez podkreślenie oznaczenia literowego odpowiedniej wielkości np:

- wartość skuteczna zespolona napięcia

- wartość skuteczna zespolona prądu

- impedancja zespolona

- admitancja zespolona
Przykład 1
Znaleźć wartość skuteczną zespoloną napięcia, jeżeli napięcie sinusoidalne opisane jest następującym równaniem:

Należy obliczyć wartość skuteczną napięcia oraz jego fazę początkowa i zapisać napięcie zespolone w postaci wykładniczej



gdzie
V

Przykład 2
Wartość skuteczna zespolona napięcia wynosi:

Napisz równanie opisujące wartość chwilową tego napięcia.


Rozwiązanie.
Zamieniamy napięcie zespolone z postaci algebraicznej na postać wykładniczą

Wartość skuteczna napięcia wynosi 100V a faza początkowa 53,13o.

Zapisujemy wartość chwilową napięcia



1. Dwójnik o rezystancji R

Zakładamy, że przez opornik przepływa prąd sinusoidalny o wartości zespolonej



Wartość skuteczna tego prądu wynosi I a jego faza początkowa .

Wartość zespoloną napięcia możemy obliczyć z prawa Ohma.

(1)

Prawo Ohma ma taką samą postać jak dla wartości skutecznych napięcia i prądu, ponieważ napięcie i prąd na oporniku są w fazie.




Rysunek obok przedstawia napięcie i prąd jako liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej.



2. Dwójnik o indukcyjności L
Prąd płynący przez cewkę wynosi

Napięcie obliczymy z prawa Ohma. Z uwagi na to, że napięcie wyprzedza prąd o wykorzystamy operator obrotu aby przesunąć napięcie o względem prądu.



Wiedząc, że prawo Ohma dla cewki przyjmuje postać



(2)

Wyznaczmy z tego równania prąd



Podstawiając , prawo Ohma możemy napisać w postaci






(3)
Rysunek obok przedstawia napięcie i prąd zespolony na płaszczyźnie zespolonej. Jak widać napięcie jest położone na osi urojonej (stąd jednostka urojona j w prawie Ohma).
3. Dwójnik o pojemności C

Prąd płynący przez kondensator wynosi

Napięcie obliczymy z prawa Ohma. Z uwagi na to, że napięcie opóźnia się względem prądu o wykorzystamy operator obrotu aby opóźnić napięcie o względem prądu.



Wiedząc, że prawo Ohma dla cewki przyjmuje postać



(4)
Wyznaczmy z tego równania prąd

Podstawiając , prawo Ohma możemy napisać w postaci



(5)

Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykres napięcia i prądu zespolonego na płaszczyźnie zespolonej.


Napięcie leży na osi urojonej ujemnej i dlatego w prawie Ohma (4) występuje –j.

4. Dwójnik szeregowy RLC

Zakładamy, że przez opornik przepływa prąd sinusoidalny o wartości zespolonej



Wartość skuteczna tego prądu wynosi I a jego faza początkowa .

Z prawa Ohma dla zespolonych wartości napięcia i prądu obliczamy napięcia na poszczególnych elementach.



(6)

Napięcie całkowite liczymy z II prawa Kirchhoffa. Prawo to jest prawdziwe dla wartości chwilowych. Wartości chwilowe możemy jednoznacznie odwzorowywać za pomocą wektorów. Każdemu wektorowi położonemu na płaszczyźnie zespolonej możemy z kolei przyporządkować liczbę zespoloną.

Dlatego prawa Kirchhoffa są prawdziwe dla wartości zespolonych napięcia i prądu.

Po podstawieniu do równania iloczynów (6) mamy.





Wyrażenie (7)

nazywamy impedancją zespoloną dwójnika szeregowego RLC.

Napięcie całkowite możemy, więc policzyć ze wzoru



Prawo Ohma (8)

Dokonamy teraz zamiany impedancji zespolonej z postaci algebraicznej na postać wykładniczą.



gdzie

Ze wzorów powyższych widać, że argumentem impedancji zespolonej jest przesunięcie fazowe dwójnika szeregowego φ, a modułem jego impedancja Z.

Odwrotnością impedancji zespolonej jest admitancją zespoloną.



(9)

Ze wzoru widać, że moduł, admitancji zespolonej Y jest odwrotnością modułu impedancji Z a jej argument jest równy, co do wartości, lecz ma przeciwny znak (-φ).


Zadanie

Do dwójnika szeregowego, RLC doprowadzono napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej U=230V. Oblicz impedancję, przesunięcie fazowe, prąd w układzie oraz napięcia na poszczególnych elementach.

Dane: Oblicz:

U=230V Z, φ, I, UR, UL, UC

R=40Ω

XL=80Ω



XC=50Ω


Do obliczeń wykorzystamy metodę liczb zespolonych.

Impedancja zespolona dwójnika wynosi:



Mamy, więc

Z=50Ω

Wartość skuteczną prądu I oraz wartości skuteczne napięć UR, UL, UC liczymy z prawa Ohma.










5. Dwójnik równoległy RLC

Zakładamy, że napięcie sinusoidalne doprowadzone do dwójnika ma wartość skuteczną zespoloną

Wartość skuteczna tego napięcia wynosi U a jego faza początkowa .

Wykorzystując prawo Ohma dla wartości zespolonych możemy obliczyć prądy zespolone w każdej gałęzi dwójnika.



(10)

Prąd całkowity możemy obliczyć wykorzystując prawo Ohma dla wartości zespolonych prądów.



Po podstawieniu wzorów (10) wyrażenie na prąd przyjmie postać.







(11)

- admitancja zespolona dwójnika równoległego RLC

Wyrażenie na całkowity prąd przyjmuje, więc postać



Prawo Ohma (12)

Po uwzględnieniu tego, że prawo Ohma możemy zapisać również w postaci:



(13)
Przykład
Oblicz impedancję i przesunięcie fazowe dwójnika równoległego RLC o danych:

R=10Ω


XL=5Ω

XC=8Ω


Rozwiązanie
Obliczamy konduktancję opornika oraz susceptancję cewki i kondensatora.





Liczymy admitancję zespoloną ze wzoru (11)





Obliczamy impedancję zespoloną





Odpowiedź.
Z=8Ω


©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna