Zbiory domknięte i otwarte w podprzestrzeni. Punkty skupienia i pochodna zbioru



Pobieranie 52.78 Kb.
Data04.05.2016
Rozmiar52.78 Kb.
Wykład 4

Zbiory domknięte i otwarte w podprzestrzeni.

Punkty skupienia i pochodna zbioru.

Zbiory gęste i nigdzie gęste.


Jeśli jest przestrzenią metryczną, to biorąc dowolny niepusty zbór , para również jest przestrzenią metryczną, którą to przestrzeń nazywamy podprzestrzenią przestrzeni (zob. twierdzenie 12 i definicja 13).

Biorąc teraz dowolny zbiór możemy mówić o jego domknięciu i wnętrzu w podprzestrzeni , a także możemy wprowadzić pojęcie zbiorów domkniętych i otwartych w podprzestrzeni . Aby wprowadzić jednoznaczność znakowania umówimy się, że symbolami i będziemy oznaczali domknięcie i wnętrze zbioru w przestrzeni , a symbolami i będziemy oznaczali domknięcie i wnętrze zbioru w podprzestrzeni . Wprost z definicji domknięcia i wnętrza mamy zatem następującą definicję.


Definicja 40

Domknięciem zbioru w podprzestrzeni nazywamy zbiór

.

Ponadto powiemy, że zbiór jest domknięty w podprzestrzeni , gdy .

Wnętrzem zbioru w podprzestrzeni nazywamy zbiór

.

Ponadto powiemy, że zbiór jest otwarty w podprzestrzeni , gdy .
Prosty rachunek pokazuje, że

oraz (wobec twierdzenia 31)



.
Następne twierdzenie podaje praktyczny sposób stwierdzania, czy dany zbiór jest domknięty, czy też otwarty w podprzestrzeni.
Twierdzenie 41

Niech będzie przestrzenią metryczną, a jej podprzestrzenią. Następujące warunki zachodzą:

(a) Zbiór jest domknięty w podprzestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór domknięty w taki, że

.

(b) Zbiór jest otwarty w podprzestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór otwarty w taki, że

.

Dowód

(a) Korzystając z powyższych wyprowadzeń i uwagi 28 (c) dostajemy:



domknięty w i jest domknięty w .

(b) Korzystając z twierdzenia 34 dostajemy:



otwarty w domknięty w dla pewnego domkniętego w dla pewnego domkniętego w dla pewnego domkniętego w i otwarty w . 
Przykład 42

Jeśli w przestrzeni metrycznej rozważymy podprzestrzeń , gdzie , to np.



, a .

Oznacza to, że zbiór jest domknięty w podprzestrzeni , a zbiór jest otwarty w podprzestrzeni , choć żaden z tych zbiorów nie jest ani domknięty ani otwarty w przestrzeni .


Niech od tej pory, o ile nie założymy inaczej, oznacza dowolną przestrzeń metryczną.
Definicja 43 (punktów skupienia i izolowanych zbioru oraz pochodnej zbioru)

Powiemy, że punkt jest punktem skupienia zbioru jeśli

.

Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru nazywamy pochodną zbioru . Oznaczać go będziemy symbolem . A zatem

.

Ponadto powiemy, że punkt jest punktem izolowanym zbioru , jeśli .

Przykład 44 (pochodnej zbioru i punktów izolowanych)


(a) W przestrzeni euklidesowej , np. , i . Ponadto biorąc dowolny zbiór skończony łatwo pokazać, że , skąd wynika, że zbiór składa się z samych punktów izolowanych.

(b) W przestrzeni dyskretnej biorąc dowolny zbiór łatwo pokazać, że .


Uwaga 45

Można wprowadzić także pochodne wyższych rzędów zbioru . I tak, przez , , (w skrócie ) oznaczamy -tą pochodną zbioru i definiujemy ją jako .


Następne twierdzenie podaje własności pochodnej zbioru.
Twierdzenie 46 (własności pochodnej zbioru)

Dla dowolnych zbiorów zachodzą następujące warunki:

(a) ,

(b) Jeśli , to ,

(c) ,

(d) ,

(e) .
Dowód

(a) Wprost z definicji pochodnej dostajemy



.

(b) Weźmy dowolny . Ponieważ



przy każdym i , to również



,

przy każdym . To pokazuje, że i tym samym, że .

(c) Ponieważ i , więc korzystając z (b) mamy

oraz ,

skąd


(*) .

Pokażemy inkluzję przeciwną. Weźmy dowolny . Wówczas dla dowolnego



,

skąd


lub ,

a stąd


lub .

Ostatecznie i inkluzja

(**)

zachodzi. Z (*) i (**) dostajemy równość .

(d) Ponieważ i , więc korzystając z (b) dostajemy

oraz ,

skąd


.

(e) Załóżmy najpierw, że . A zatem



.

Mogą zachodzić teraz dwie możliwości: lub . Jeżeli , to oczywiście , a jeżeli , to na mocy powyższego warunku



,

skąd i co za tym idzie . Pokazaliśmy zatem inkluzję

(*) .

Pokażemy teraz inkluzję przeciwną. Weźmy dowolny . Jeżeli , to na mocy twierdzenia 27 (b), , a jeżeli , to przy dowolnym



,

skąd również



,

przy dowolnym , a to pokazuje, że . Pokazalismy zatem, że

(**) .

Z (*) i (**) dostajemy równość . 


Uwaga 47

(a) Zauważmy, że inkluzji z twierdzenia 46 (d) nie da się odwrócić, tj. inkluzja na ogół nie zachodzi. Istotnie, jeśli w przestrzeni euklidesowej rozważyć zbiory i , to



.

(b) Zauważmy, że związek (e) z twierdzenia 46 pozwala na inne, często stosowane w praktyce, zdefiniowanie domknięcia dowolnego zbioru , a mianowicie .


Kolejne twierdzenie podaje inny sposób wyrażenia pochodnej zbioru – używając pojęcia ciągu.
Twierdzenie 48

Niech będzie dowolnym niepustym zbiorem. Wówczas

.
Dowód

Załóżmy najpierw, że . Na mocy definicji pochodnej zbioru dostajemy



.

Niech . Znajdziemy taki, że . Niech . Znajdziemy taki, że . Postępując tak dalej, i biorąc przy każdym , znajdziemy takie, że . A zatem istnieje ciąg taki, że



.

Z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy teraz lub równoważnie .

Załóżmy na odwrót, że . Biorąc dowolne znajdziemy taką liczbę naturalną , że dla wszystkich mamy . Stąd w szczególności , tj. , przy każdym , a to oznacza, że . 
Definicja 49 (zbioru gęstego i nigdzie gęstego)

Powiemy, że zbiór jest gęsty w przestrzeni , gdy , a nigdzie gęsty w przestrzeni , gdy .
Przykład 50 (zbioru gęstego i nigdzie gęstego)

W przestrzeni euklidesowej przykładem zbiorów gęstych mogą być, np. zbiór liczb wymiernych i niewymiernych , a przykładem zbiorów nigdzie gęstych mogą być, np. dowolny zbiór skończony i zbiór Cantora (o zbiorze Cantora C powiemy dokładniej przy okazji omawiania przestrzeni metrycznych zwartych – zob. przykład 93).


Twierdzenie 51 (charakterystyka zbiorów gęstych i nigdzie gęstych)

Niech będzie dowolnym zbiorem. Zachodzą następujące warunki:

(a) Zbiór jest gęsty w wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego niepustego zbioru otwartego .

(b) Zbiór jest nigdzie gęsty w wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego niepustego zbioru otwartego istnieje niepusty zbiór otwarty taki, że lub równoważnie:

nie jest nigdzie gęsty w .
Dowód

(a) Załóżmy najpierw, że zbiór jest gęsty w niech i będzie dowolnym niepusty zbiorem otwartym w . Musimy pokazać, że . Weźmy . Ponieważ jest otwarty, to znajdziemy takie, że

(*) .

I dalej, ponieważ zbiór jest gęsty w , to , skąd przy dowolnym i w szczególności

(**) .

Z (*) i (**) łatwo już dostajemy, że .

Załóżmy z kolei, że dla dowolnego niepustego zbioru otwartego . Musimy pokazać, że , tj., że , lub równoważnie, że

.

Gdyby tak nie było, to dla pewnych i . To by jednak oznaczało, że niepusty zbiór otwarty (zob. twierdzenie 39 (b)) ma własność: , a to byłoby sprzeczne z założeniem.

(b) Załóżmy najpierw, że zbiór nie jest nigdzie gęsty w , tj., że . Rozważmy niepusty zbiór otwarty i weźmy jego dowolny niepusty i otwarty podzbiór . Musimy pokazać, że . Weźmy . Ponieważ jest zbiorem otwartym, to istnieje takie, że

(***) .

Z kolei, na mocy inkluzji widzimy, że , a stąd , przy dowolnym i w szczególności

(****) .

Z (***) i (****) łatwo już dostajemy, że .

Załóżmy z kolei, że istnieje niepusty zbiór otwarty taki, że biorąc jego dowolny otwarty i niepusty podzbiór : . Pokażemy najpierw, że . Weźmy dowolny . Ponieważ przy każdym zbiór jest niepusty, otwarty (jako iloczyn dwóch zbiorów otwartych) i jest podzbiorem , to , skąd , przy każdym . To z kolei oznacza, że i inkluzja zachodzi. Teraz już łatwo stwierdzamy, że zbiór nie jest nigdzie gęsty, gdyż , tj. . 







©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna