Zestaw 2 – Model Solowa



Pobieranie 35.44 Kb.
Data04.05.2016
Rozmiar35.44 Kb.


Makroekonomia II – zadania

Zestaw 2 – Model Solowa

Zadanie 1.

Rozważmy prostą funkcję produkcji Cobb-Douglasa: . Dla uproszczenia załóżmy, że poziom zaawansowania technologicznego wynosi 1 i nie zmienia się w czasie (brak postępu technologicznego). Załóżmy także, że zasób siły roboczej jest stały. Niech s oznacza stopę oszczędności w gospodarce, a d - stopę deprecjacji kapitału fizycznego. Załóżmy też, że popyt całkowity w gospodarce składa się tylko z konsumpcji i inwestycji (pomijamy sektor rządowy).


  1. Zapisz funkcję produkcji w postaci intensywnej, a następnie zapisz funkcję popytu zagregowanego w postaci intensywnej.

  2. Pokaż, że w równowadze inwestycje per capita równe są oszczędnościom per capita.

  3. Wiemy, że y=f(k), zatem zmiany kapitału na zatrudnionego będą decydowały o zmianach y. Zapisz równanie opisujące akumulację kapitału per capita k≡K/N. Wskazówka: policz pochodną k względem czasu. Pamiętaj, że całkowity zasób kapitału K rośnie na skutek inwestycji, zaś maleje pod wpływem deprecjacji kapitału: . Jaki warunek musi być spełniony, aby kapitał per capita nie ulegał zmianie?

  4. Wyznacz poziom kapitału w stanie ustalonym i oblicz poziom produkcji w stanie ustalonym.

Zadanie 2.

W pewnej gospodarce produkcja może być opisana funkcją Y=AK1/3N2/3, stopa oszczędności s=0.2, stopa deprecjacji d=5%. Oblicz poziom kapitału, dochodu i konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym, przyjmując A=1.
Zadanie 3.

W innej gospodarce produkcja może być opisana funkcją Y=AK1/2N1/2, stopa oszczędności s=0.3, stopa deprecjacji d=10%.



  1. Oblicz poziom kapitału i konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym, przyjmując A=1.

  2. Dla kt=4 oblicz przyrost kapitału na zatrudnionego w danym punkcie czasu t. Ile wynosi tempo przyrostu kapitału na zatrudnionego dla kt=4? Ile wynosi tempo wzrostu dochodu na zatrudnionego?

Zadanie 4.

Przyjmijmy, że w pewnej gospodarce funkcja produkcji na zatrudnionego ma ogólną postać y=f(k) i spełnia warunki stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Stopa oszczędzania w tej gospodarce wynosi s, a stopa deprecjacji d, zaś zasób siły roboczej N jest stały (n=0).


  1. Przedstaw na wykresie w przestrzeni (k,y) funkcję produkcji, funkcję oszczędności i funkcję deprecjacji kapitału.

  2. Zaznacz na wykresie poziom kapitału w stanie ustalonym (k*).

  3. Załóżmy, że początkowy poziom kapitału per capita w tej gospodarce był niższy niż k*. Zaznacz k0 na wykresie i pokaż, ile będzie wówczas wynosić wielkość produkcji per capita, wielkość konsumpcji na zatrudnionego i wielkość inwestycji na zatrudnionego.

  4. Jak będzie zmieniał się kapitał i produkcja na zatrudnionego w czasie? Wyjaśnij i narysuj odpowiednie wykresy zmian K, N, k, Y i y w czasie.

Zadanie 5.

W gospodarce z zadania 3.stopa oszczędności wzrosła z 0.3 do 0.5.


  1. Ile wynosi teraz poziom kapitału i konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym?

  2. Wyjaśnij, jak zmiana stopy oszczędności wpłynie na zmiany k oraz y. Naszkicuj wykresy obrazujące dynamikę obu zmiennych.

  3. Co by było z tymi zmiennymi, gdyby stopa oszczędności wzrosła do 0.6? Czy możesz intuicyjnie wyjaśnić, dlaczego obserwujemy taką zmianę w konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym?

Zadanie 6.

W zadaniu 5(b) pokazaliśmy, że w modelu Solowa wzrost stopy oszczędności prowadzi do wzrostu zasobu kapitału i wzrostu produkcji per capita. Oczekiwalibyśmy także wzrostu konsumpcji per capita. Jednak wyniki z zadania 5(c) sugerują, iż ten wzrost nie zawsze następuje. Spróbujemy wyjaśnić to zjawisko.


  1. Zapisz poziom konsumpcji per capita w stanie ustalonym jako funkcję k* oraz wyprowadź warunek maksymalizacji konsumpcji per capita w stanie ustalonym.

  2. Przedstaw interpretację graficzną powyższego warunku i narysuj funkcję oszczędności, przy której konsumpcja per capita osiąga wartość maksymalną w stanie ustalonym.

Zadanie 7.

W pewnej gospodarce funkcja produkcji jest dana wzorem Y=AKaN1-a. Oblicz stopę oszczędności maksymalizującą konsumpcję na zatrudnionego w stanie ustalonym.
Zadanie 8.

Rozważmy prostą funkcję produkcji Cobb-Douglasa: . Zakładamy, że postęp technologiczny nie zmienia się w czasie i wynosi 1. Załóżmy także, że zasób siły roboczej N przyrasta w czasie w tempie n. Niech s oznacza stopę oszczędności w gospodarce, a d - stopę deprecjacji kapitału fizycznego. Załóżmy też, że popyt całkowity w gospodarce składa się tylko z konsumpcji i inwestycji (pomijamy sektor rządowy).



  1. Zapisz równanie opisujące akumulację kapitału per capita k≡K/N. Jaki warunek musi być spełniony, aby kapitał per capita nie ulegał zmianie?

  2. Wyjaśnij, dlaczego wzrost zasobu siły roboczej N zwiększa deprecjację kapitału.

  3. Wyznacz poziom kapitału w stanie ustalonym i oblicz poziom produkcji w stanie ustalonym.

  4. Przyjmijmy następujące dane: s=0.3, d=0.1, n=0.02. Oblicz poziom produkcji w stanie ustalonym. Podaj, w jakim tempie będą rosły w stanie ustalonym następujące zmienne: K, N, Y, k oraz y.

Zadanie 9.

Załóżmy, że pewnego dnia wprowadzono swobodny przepływ pracowników między dwoma integrującymi się gospodarkami. Z tego powodu zasób siły roboczej w analizowanej gospodarce zmniejszył się skokowo z N0 do N1 (N0>N1). Jednocześnie tempo wzrostu siły roboczej wzrosło z n0 do n1(n01). Funkcja produkcji w tym kraju spełnia założenia stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Naszkicuj zmian w czasie (przed i po zmianach na rynku pracy):


  1. Kapitału i produkcji na zatrudnionego

  2. Zasobu siły roboczej N

  3. Zasobu kapitału K

  4. Poziomu dochodu Y.

W niektórych przypadkach wskazane będzie wykorzystanie logarytmów zmiennych.
Zadanie 10.

Dana jest funkcja produkcji , gdzie A oznacza postęp techniczny zasilający pracę, a a=1/3. Dane są: stopa oszczędności s₁=0.3, tempo przyrostu naturalnego n=-0.05, stopa deprecjacji kapitału d=0.065, tempo postępu technologicznego g=0.01. Korzystając z modelu Solowa:



  1. Zapisz funkcję produkcji w postaci intensywnej na jednostkę efektywnej pracy AN.

  2. Zapisz równanie opisujące akumulację kapitału na jednostkę pracy efektywnej 

  3. Oblicz poziom kapitału na jednostkę efektywnej pracy w stanie ustalonym.

  4. Oblicz poziom produkcji na 1 zatrudnionego w stanie ustalonym, przyjmując, że poziom zaawansowania technologicznego A=30.

  5. Przedstaw warunek maksymalizacji konsumpcji na jednostkę efektywnej pracy w stanie ustalonym i oblicz poziom stopy oszczędności zgodny ze złotą regułą dla omawianej funkcji produkcji

  6. Naszkicuj zmiany w czasie logarytmu konsumpcji na 1 zatrudnionego po wzroście stopy oszczędności do s₂=0.32.

Zadanie 11.

W pewnym kraju funkcja produkcji ma postać , gdzie a=0.5. Załóżmy, że stopa oszczędności s=0.6, tempo postępu technicznego g=0.01; stopa deprecjacji d=0.005 oraz stopa wzrostu populacji n=0.015. Załóżmy również, że w chwili badania aktualne zasoby czynników produkcji wynosiły: kapitału K₀=300, siły roboczej N₀=6, zaś poziom technologii wynosił A₀=2. W oparciu o te informacje proszę odpowiedzieć na poniższe pytania.


  1. Czy kraj ten znajduje się obecnie w stanie równowagi stacjonarnej? Czy aktualne tempo wzrostu dochodu na jednostkę pracy efektywnej będzie obecnie większe, mniejsze czy równe zero? Co można powiedzieć o tempie wzrostu dochodu na zatrudnionego?

  2. Oblicz poziom kapitału na jednostkę pracy efektywnej oraz dochodu na jednostkę pracy efektywnej dla równowagi stacjonarnej.

Zadanie 12.

Pewną gospodarkę można opisać wzorem Y=K1/3(AN)2/3. Tempo wzrostu technologicznego i populacji są niezmienne od lat i wynoszą odpowiednio gA=2% i gN=2%. W ostatnim okresie zaobserwowano następujące tempo wzrostu kapitału gK=5%. Czy ta gospodarka osiągnęła swój stan ustalony?

Zadanie 13.

W gospodarce Y=K1/3(AN)2/3. Wiadomo, że stopa oszczędności s=30%, deprecjacja d=0.1, tempo przyrostu ludności n=0.03, a tempo wzrostu technologicznego g=0.02. Według ostatnich obserwacji, stosunek kapitału do produkcji K/Y=5. Czy ta gospodarka osiągnęła swój stan ustalony?
Zadanie 14.

Załóżmy, że w gospodarce występuje rząd, którego wydatki wynoszą co roku gov na każdego zatrudnionego. Jeśli liczba pracowników w każdym okresie t wynosi N­t, to całkowite wydatki rządu wynoszą govNt. Budżet rządu jest zbilansowany, co oznacza, że wpływy podatkowe Tt są równe całkowitym wydatkom. Całkowite oszczędności narodowe St wynoszą St=s(Yt – Tt), gdzie Yt to całkowity dochód, a s to stopa oszczędności.



  1. Przedstaw graficznie stan ustalony dla początkowego poziomu wydatków rządowych na zatrudnionego.

  2. Załóżmy, że rząd podnosi swoje wydatki na zatrudnionego. Jaki będzie efekt tej zmiany dla poziomu kapitału na zatrudnionego, produkcji na zatrudnionego i konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym? Czy uzyskany wynik oznacza, że optymalnym poziomem wydatków rządowych jest 0?

Na podstawie: A. Abel, B. Bernanke,D. Croushore, Macroeconomics, zad. 3, str. 235
Zadanie 15.

Dwa kraje, Albania i Belgia, mają tę samą funkcję produkcji, Y = AK1/3N2/3 oraz są identyczne pod każdym względem, lecz różnią się stopą oszczędzania, przy czym sA>sB.



  1. Ile wynosi stosunek PKB na zatrudnionego w tych dwóch krajach?

  2. Wg danych Banku Światowego, PKB na zatrudnionego (1990 PPP $) wynosił w roku 2012 w Albanii 15,349$, a w Belgii 54,858$. Jaki musiałby być stosunek stóp oszczędności w tych krajach, aby ich wypadkową była obserwowana rozbieżność w dochodach? Czy ten rezultat wydaje Ci się prawdopodobny?

Zadanie 16.

Rozważmy model Solowa z kapitałem ludzkim w ujęciu Mankiw, Romera i Weila, którzy przyjmują następującą postać funkcji produkcji: gdzie Y to wielkość produkcji, K oraz H oznaczają poziom kapitału, odpowiednio, fizycznego i ludzkiego, A jest miarą zaawansowania technologicznego, zaś N to zasób siły roboczej. Produkowane dobro jest homogeniczne i może być albo skonsumowane, albo przeznaczone na inwestycje w kapitał ludzki lub fizyczny. Stopy inwestycji w oba rodzaje kapitału są stałe i równe sH oraz sK.


  1. Zapisz funkcję produkcji w postaci intensywnej, wyrażając wszystkie zmienne w kategoriach na jednostkę efektywnej pracy AN.

  2. Zapisz równania opisujące dynamikę k=K/AN oraz h=H/AN, przyjmując, że stopa deprecjacji obu rodzajów kapitału wynosi d.

  3. Oblicz wartości k, h oraz y w stanie ustalonym.

Zadanie 17.

Wiemy już, że na ścieżce zrównoważonego wzrostu w modelu Solowa z postępem technologicznym tempo wzrostu PKB per capita wynosi gA. Rozważ teraz, jak zmieni się ten wynik przy dodaniu do funkcji produkcji czynnika o stałym w czasie zasobie – ziemi T. Nowa funkcja produkcji przyjmuje postać:.



  1. Zapisz funkcję produkcji w postaci intensywnej na zatrudnionego.

  2. Zlogarytmuj otrzymaną funkcję produkcji w postaci intensywnej na zatrudnionego.

  3. Korzystając z następującej własności ścieżki zrównoważonego wzrostu: gy = gk, oblicz tempo wzrostu PKB na zatrudnionego. Czy jest ono zawsze dodatnie? Kiedy nie jest?

  4. Sprawdź poprawność swojego wyniku, zakładając, że b = (1-a). Czy twój wynik jest przy tych parametrach identyczny ze standardowym modelem Solowa z postępem technologicznym?

  5. W latach przed rewolucją przemysłową stopa wzrostu technologicznego była bardzo niska. Załóżmy, że gA=0. Ile wynosi tempo wzrostu PKB na zatrudnionego w gospodarce bez postępu technologicznego? Czy otrzymany wynik przypomina Ci konkluzje jakiegoś innego modelu wzrostu?

  6. Ile co najmniej powinna wynosić stopa wzrostu technologicznego, aby produkt na zatrudnionego rósł w czasie?

  7. Załóżmy, że chcesz doradzić krajom najgorzej rozwiniętym (o bardzo dużym udziale sektora rolniczego), jaka powinna być ich strategia rozwoju. Jakie kroki byś zaproponował(a)?

Zadanie 18.

Dane są: funkcja produkcji Y = F (K, AN) = (K)1/2(AN)1/2, stopa oszczędności s=0,25, stopa deprecjacji kapitału d=15%, tempo przyrostu ludności n=3%, tempo postępu technicznego g=7%.


  1. oblicz wielkość produkcji na jednostkę pracy efektywnej w stanie ustalonym (steady state),

  2. czy istnieje możliwość zwiększenia poziomu konsumpcji w długim okresie poprzez zmianę stopy oszczędności? Jeśli tak, to ile powinna ona wynosić?

  3. ile wynosi maksymalna wielkość konsumpcji na jednostkę pracy efektywnej?

Zadanie 19.

Gospodarka znajduje się w długookresowej równowadze. Znane są następujące parametry: stopa oszczędności s=15%, tempo postępu technicznego g=5%, tempo przyrostu ludności n=3%, stopa deprecjacji kapitału d=2%.


  1. Ile wynoszą: tempo wzrostu dochodu i konsumpcji per capita, oraz tempo wzrostu całkowitych wielkości dochodu i konsumpcji w tej gospodarce?

  2. Co się stanie, jeżeli stopa deprecjacji kapitału d wzrośnie do poziomu 5%, tempo postępu technicznego g spadnie do 3%, a tempo przyrostu ludności n spadnie do 2%?

  3. A co się stanie, jeśli w stosunku do pkt. a) stopa deprecjacji kapitału d wzrośnie do poziomu 5%, tempo postępu technicznego g spadnie do 3%, ale tempo przyrostu ludności n nie zmieni się.

Zadanie 20.

Załóżmy, że w pewnym kraju rządowi udaje się przekonać ludność do zwiększenia stopy oszczędności. Przy pomocy odpowiednich ścieżek dostosowań proszę wyjaśnić, jak zmienią się: dochód, kapitał, konsumpcja oraz inwestycje na jednostkę pracy efektywnej w przypadku, gdy początkowo:



  1. gospodarka była dynamicznie efektywna,

  2. gospodarka nie była dynamicznie efektywna.

Dla uproszczenia przyjmijmy, że nie zmienia się liczba ludności (n=0%) oraz technologia produkcji (g=0%).
Zadanie 21.

Załóżmy, że polska gospodarka znajdowała się na ścieżce zrównoważonego wzrostu, gdy w dniu 1 maja 2004r., wraz z akcesją do Unii Europejskiej z naszego kraju jednorazowo odpływa 20% siły roboczej do UE. Przy pomocy odpowiednich ścieżek dostosowań proszę wyjaśnić, jak zmieni się wielkość dochodu per capita (Y/N) oraz dochodu ogółem (Y), w krótkim i długim okresie. Dla uproszczenia załóżmy brak przyrostu liczby ludności (n=0%) oraz brak postępu technicznego (g=0%).


Zadanie 22.

Załóżmy, że polska gospodarka znajdowała się na ścieżce zrównoważonego wzrostu, gdy w dniu 1 maja 2004r., wraz z akcesją do Unii Europejskiej, do naszego kraju jednorazowo napływa kapitał fizyczny (K), zwiększając jego całkowity zasób o 20%. Przy pomocy odpowiednich ścieżek dostosowań proszę wyjaśnić, jak zmieni się wielkość dochodu per capita (Y/N) oraz dochodu ogółem (Y), w krótkim i długim okresie. Dla uproszczenia załóżmy brak przyrostu liczby ludności (n=0%) oraz brak postępu technicznego (g=0%).


Zadanie 23.

Załóżmy, że gospodarkę polską oraz niemiecką charakteryzują następujące parametry: fP(k)=fN(k), sP=sN=0,1, nP=nN=1%, gP=gN=3%, dP=dN=4%. Początkowo (w okresie „0”) w Niemczech jest 10 razy więcej kapitału fizycznego niż w Polsce (KN=10KP), dwa razy więcej ludności (NN=2NP) oraz identyczna technologia (AN=AP). Tempo wzrostu dochodu ogółem wynosi w Polsce 6%, a w Niemczech 2%. Ile będzie wynosiło tempo wzrostu dochodu ogółem oraz per capita w krótkim i długim okresie? Proszę przedstawić powyższą sytuację na wykresie.

Zadanie 24.

Załóżmy, że na ścieżce zrównoważonego wzrostu, kraj pustoszy trąba powietrzna, w wyniku czego liczba ludności maleje o 50%, natomiast zasób kapitału o 75%. Kataklizm nie powoduje zmiany stopy oszczędności, ani tempa przyrostu naturalnego, które wynosi n. Nie obserwujemy postępu technicznego, czyli g=0.

Skorzystaj z własności funkcji produkcji i naszkicuj zmiany w czasie (przed i po przejściu trąby powietrznej):

a) kapitału i produkcji na 1 zatrudnionego (k oraz y),

b) zasobu siły roboczej N,

c) zasobu kapitału K,

d) poziomu dochodu Y.

W niektórych przypadkach wskazane może być wykorzystanie logarytmów zmiennych.


Zadanie 25.

Rozważmy gospodarkę, która znajdowała się na ścieżce wzrostu zrównoważonego. W wyjątkowo deszczowym, listopadowym dniu stopa amortyzacji (fizycznego zużycia kapitału w procesie produkcji) wzrosła z poziomu d1 do poziomu d2 a ¼ pracowników rezygnuje z pracy i decyduje się na emigrację na słoneczne południe Europy. Stopa oszczędności, s, i tempo przyrostu naturalnego, n, pracowników pozostałych w kraju nie ulega zmianie.

Korzystając z modelu Solowa, naszkicuj ścieżki opisujące ewolucje w czasie:

a) kapitału na jednostkę pracy efektywnej (k) i produkcji na jednostkę pracy efektywnej (y),



b) całkowitego zasobu pracy (N), kapitału (K) i produkcji (Y) (Wskazane wykorzystanie logarytmów).




©absta.pl 2016
wyślij wiadomość

    Strona główna