5.6. Równania Eulera.
M oment sił działających na bryłę względem środka układu inercjalnego
XYZ jest:
Wygodniej jest prowadzić obliczenia względem układu sztywno związanego z ciałem – układu nieinercjalnego X’Y’Z’. Transformacja wektora przy przejściu z układu inercjalnego do układu obracającego się z prędkością kątową :
gdzie
Wektor jest więc rozpatrywany w układzie wirującym.
Zatem równanie wektorowe na moment siły możemy zapisać dla trzech składowych:
Gdy Mx= My= Mz= 0 , to ciało wykonuje swobodny ruch obrotowy (precesja swobodna).
Kula.
Ixx= Iyy= Izz wówczas równania Eulera są następujące:
Skoro więc to
czyli np. Ixxx= const a zatem x= const czyli ogólnie
O bręcz.
Cienka obręcz o promieniu R. 
Ixx= Iyy
Izz=mR2
równania Eulera
dla osi X :
dla osi Y : 
dla osi Z :
co możemy odpowiednio zapisać:
z = const; Lz = const
podstawiając otrzymujemy: (1)
oraz (2)
różniczkując te równania po czasie dostajemy:
skoro z (1) wynika, że to ostatecznie: 
Jest to równanie analogiczne do równania ruchu harmonicznego:
ma = - kx czyli gdzie
rozwiązaniem tego równania jest: x =Asin(t + )
W przypadku obręczy: rozwiązaniem jest:
oraz 
J eżeli więc to wektor jest stały w przestrzeni, natomiast składowe x i y wektora są prostopadłe do osi symetrii obręczy i wektor obraca się wokół osi Z ze stałą prędkością kątową gdzie jest tzw. częstością precesji.
5.7. Precesja – przykłady: bąk i spin elektronu.
Bąk symetryczny.
gdzie jest momentem pędu w układzie własnym związanym z bąkiem 
czyli:
skoro M = mgRsin to
mgRsin = ’Lsin
stąd 
o znacza to, że prędkość kątowa precesji jest stała !!
czyli
prędkość kątowa precesji:
P recesja spinu.
Elektron krążący po orbicie.
Moment pędu (orbitalnego):
czyli
L = r mV =r2m
Orbitalny moment magnetyczny elektronu o wartości: 
ponieważ więc
ostatecznie:
współczynnik giromagnetyczny czyli
J eżeli teraz przyłożymy zewnętrzne pole magnetyczne B (0, 0, Bz)
Działa wówczas moment siły:
czyli jest precesja spinu !!
stąd 
a więc Mx= LyBz; My= -LxBz; Mz= 0 czyli rzut na oś Z jest zachowany.
Częstość precesji spinu = B
Lx(t) = A sint; Ly(t) = A cost; Lz = const
Rezonans spinowy elektronowy paramagnetyczny
jądrowy ferromagnetyczny
NMR
Pole indukcji magnetycznej zmieniającej się z częstością składowej w kierunku X i stałej w kierunku Z:
Równania ruchu obliczamy na podstawie działającego momentu siły:
skąd Mx = LyBz Mx= Ly = C cost
My = -LxBz + LzB1sint czyli My = -Lx + LzB1sint
Mz = -LyB1sint
Założenie: Lz >> Ly to kąt precesji jest mały
Bz >> Bx = B1sint
Szukamy rozwiązań Lx(t) i Ly(t)
Lx= Asint; Ly= C cost gdzie jest takie samo jak zmiennego pola w kierunku X !
Warunek rezonansu: A i C maja wartość maksymalną !

s tąd : 
Lz = const
gdzie = B
Rezonans spinowy zachodzi gdy
=
Zależność składowej Lx od częstości precesji
|