5 Równania Eulera

XYZ jest:

Wygodniej jest prowadzić obliczenia względem układu sztywno związanego z ciałem – układu nieinercjalnego X’Y’Z’. Transformacja wektora przy przejściu z układu inercjalnego do układu obracającego się z prędkością kątową :

Wektor jest więc rozpatrywany w układzie wirującym.

Zatem równanie wektorowe na moment siły możemy zapisać dla trzech składowych:

Gdy M_x= M_y= M_z= 0 , to ciało wykonuje swobodny ruch obrotowy (precesja swobodna).

Skoro więc to

czyli np. I_xx_x= const a zatem _x= const czyli ogólnie

Obręcz.

Cienka obręcz o promieniu R.

równania Eulera

dla osi X :

dla osi Y :

dla osi Z :

co możemy odpowiednio zapisać:

podstawiając otrzymujemy: (1)

oraz (2)

różniczkując te równania po czasie dostajemy:

skoro z (1) wynika, że to ostatecznie:

Jest to równanie analogiczne do równania ruchu harmonicznego:

ma = - kx czyli gdzie

rozwiązaniem tego równania jest: x =Asin(t + )

oraz

Jeżeli więc to wektor jest stały w przestrzeni, natomiast składowe x i y wektora są prostopadłe do osi symetrii obręczy i wektor obraca się wokół osi Z ze stałą prędkością kątową gdzie jest tzw. częstością precesji.

5.7. Precesja – przykłady: bąk i spin elektronu.




Bąk symetryczny.

gdzie jest momentem pędu w układzie własnym związanym z bąkiem

skoro M = mgRsin to

stąd

oznacza to, że prędkość kątowa precesji jest stała !!



czyli

prędkość kątowa precesji:

Precesja spinu.

Moment pędu (orbitalnego):

Orbitalny moment magnetyczny elektronu o wartości:

ponieważ więc

ostatecznie:
współczynnik giromagnetyczny czyli
Jeżeli teraz przyłożymy zewnętrzne pole magnetyczne B (0, 0, B_z)

Działa wówczas moment siły:

czyli jest precesja spinu !!

stąd

a więc M_x= L_yB_z; M_y= -L_xB_z; M_z= 0 czyli rzut na oś Z jest zachowany.

Częstość precesji spinu  =   B

jądrowy ferromagnetyczny

NMR
Pole indukcji magnetycznej zmieniającej się z częstością  składowej w kierunku X i stałej w kierunku Z:

Równania ruchu obliczamy na podstawie działającego momentu siły:

Warunek rezonansu: A i C maja wartość maksymalną !

stąd :

 = 