Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja (sygn. 222150-0999) dr Jakub Growiec

1. 
   Wprowadzenie: problematyka rachunku wariacyjnego, teorii optymalnego sterowania, programowania dynamicznego. Przykłady ekonomiczne. Czas dyskretny a czas ciągły. Układy dynamiczne z czasem dyskretnym i z czasem ciągłym. Podstawowe pojęcia.
   

Wprowadzenie do programowania dynamicznego.

2. 
   (ćw.) Metody rozwiązywania równań i układów równań różniczkowych i różnicowych wybranych klas – przegląd.
   

3. 
   Zasada Bellmana dla problemów ze stochastycznymi zaburzeniami. Równanie Eulera.
   Równanie Bellmana a optymalizacja metodą mnożników Lagrange’a.
   

4. 
   (ćw.) Zasada indukcji wstecznej dla problemów ze skończonym horyzontem czasowym.
   Przykłady ekonomiczne: wybrane modele ekonomiczne z czasem dyskretnym. Przykłady rozwiązań eksplozywnych modelu (bąbli) jako ekstremali nie spełniających warunków transwersalności.
   

5. 
   Deterministyczny stan ustalony w modelach stochastycznych.
   Log-linearyzacja (zarówno modeli deterministycznych, jak i stochastycznych) wokół deterministycznego stanu ustalonego.
   Funkcja reakcji na impuls (IRF).
   

6. 
   (ćw.) Równanie Eulera jako równanie funkcyjne: rozwiązywanie metodą kolejnych przybliżeń, zasada Banacha.
   

7. 
   Deterministyczny model Ramseya. Zapis modelu Ramseya w postaci rekurencyjnej. Zastosowanie zasady Banacha do deterministycznego modelu Ramseya.
   

8. 
   (ćw.) Znajdowanie funkcji wartości za pomocą iteracji funkcji wartości. Matlab
   

9. 
   Modele RBC – wyprowadzenie równań Eulera, deterministycznego stanu ustalonego, log-linearyzacja i dynamika wokół stanu ustalonego.
   

10. 
    (ćw.) Rozwiązywanie modeli RBC. Kalibracja. Dynare.
    

11. 
    Koszty inflacji i optymalna polityka pieniężna w modelu cash-in-advance.
    

12. 
    (ćw.) Zapisanie i rozwiązywanie problemu Ramseya w modelu cash-in-advance.
    

13. 
    Rozwiązywanie modelu RBC za pomocą przybliżeń drugiego rzędu. Dobrobytowe koszty systemu podatkowego w modelu RBC.
    

14. 
    (ćw.) Znajdowanie dobrobytowych kosztów systemu podatkowego w Dynare.
    

15. 
    Rozwiązywanie modelu RBC za pomocą przybliżeń drugiego rzędu. Dobrobytowe koszty podatku inflacyjnego w modelu RBC.
    

16. 
    (ćw.) Znajdowanie dobrobytowych kosztów podatku inflacyjnego w Dynare.
    

17. 
    Modele nakładających się pokoleń.
    

18. 
    (ćw.) Rozwiązywanie modeli nakładających się pokoleń.
    

19. 
    Modele nakładających się pokoleń – cd.
    

20. 
    (ćw.) Numeryczne rozwiązywanie modeli nakładających się pokoleń. Matlab.
    

21. 
    Przejście do problemów z czasem ciągłym. Równanie Eulera w rachunku wariacyjnym – wyprowadzenie i zastosowania.
    Różne warianty punktu końcowego. Przykłady.
    Literatura: Chiang, s. 13-43. Klima, s. 9-19.
    
22. 
    (ćw.) Warunki transwersalności w rachunku wariacyjnym. Warunki drugiego rzędu w rachunku wariacyjnym.
    Przykłady: m.in. model eksploatacji nieodnawialnego surowca naturalnego.
    Literatura: Chiang, s. 65-78 oraz 85-95.
    
23. 
    Teoria optymalnego sterowania. Hamiltonian.
    

24. 
    (ćw.) Wyprowadzanie równań Eulera w modelach makroekonomicznych.
    Rola warunków transwersalności w problemach z nieskończonym horyzontem czasowym.
    

25. 
    Analiza portretu fazowego. Klasyfikacja stanów ustalonych.
    

26. 
    (ćw.) Przykłady: model wzrostu Ramseya-Cassa-Koopmansa – szczegółowa analiza dynamiki; rola warunków transwersalności; sprawdzenie warunków drugiego rzędu. Wybrany model endogenicznego wzrostu gospodarczego.
    

27. 
    Stabilność stanu ustalonego. Jedyna vs. wielokrotna ścieżka optymalna. Cykle graniczne.
    

28. 
    (ćw.) Przykłady ekonomiczne – zastosowania poznanych metod. Wybrany model endogenicznego wzrostu.
    

1. 
   Alpha C. Chiang (2002), Elementy dynamicznej optymalizacji. WSHiFM: Warszawa.
   
2. 
   Jakub Growiec (2008), „Wzrost gospodarczy i postęp technologiczny”, [w:] Szkice z dynamiki i stabilizacji gospodarki, pod red. W. Pacho. Warszawa: Oficyna Wydawnicza SGH, s. 43-85. Dostępne na http://akson.sgh.waw.pl/~jg23234/RozdzialWzrost.pdf
   
3. 
   Grzegorz Klima (2005), Programowanie dynamiczne i modele rekursywne w ekonomii. „Materiały i studia NBP”, zeszyt nr 201. Dostępne na http://www.nbp.pl/publikacje/materialy_i_studia/ms201.pdf
   
4. 
   Marcin Kolasa (2009), „Teoria realnego cyklu koniunkturalnego”. Dostępne na http://akson.sgh.waw.pl/lwozny/KolasaRBC1.pdf
   
5. 
   Klaus Wälde (2009), Applied Intertemporal Optimization. W przygotowaniu. Dostępne na http://ideas.repec.org/b/gla/glabks/econ1.html
   
6. 
   Krzysztof Makarski (2011) – materiały do zajęć, dostępne na stronie http://akson.sgh.waw.pl/~kmakar/emido_lato2011/emido_lato2011.htm