dr Jakub Growiec (zajęcia 1-6; 21-28) dr Krzysztof Makarski (zajęcia 7-20)
Sylabus (studia dzienne magisterskie)
Wprowadzenie: problematyka rachunku wariacyjnego, teorii optymalnego sterowania, programowania dynamicznego. Przykłady ekonomiczne. Czas dyskretny a czas ciągły. Układy dynamiczne z czasem dyskretnym i z czasem ciągłym. Podstawowe pojęcia.
Wprowadzenie do programowania dynamicznego.
Rekursja. Zasada optymalności Bellmana. Równanie Eulera dla problemów programowania dynamicznego. Dyskontowanie wykładnicze.
Literatura: Klima, s. 27-39. Wälde, s. 43-59.
(ćw.) Metody rozwiązywania równań i układów równań różniczkowych i różnicowych wybranych klas – przegląd.
Zasada Bellmana dla problemów ze stochastycznymi zaburzeniami. Równanie Eulera.
Równanie Bellmana a optymalizacja metodą mnożników Lagrange’a.
Warunek transwersalności.
Przykłady ekonomiczne. Podstawowy model realnego cyklu koniunkturalnego (RBC). Model poszukiwań na rynku pracy.
Literatura: Wälde, s. 189-201.
(ćw.) Zasada indukcji wstecznej dla problemów ze skończonym horyzontem czasowym.
Przykłady ekonomiczne: wybrane modele ekonomiczne z czasem dyskretnym. Przykłady rozwiązań eksplozywnych modelu (bąbli) jako ekstremali nie spełniających warunków transwersalności.
Deterministyczny stan ustalony w modelach stochastycznych.
Log-linearyzacja (zarówno modeli deterministycznych, jak i stochastycznych) wokół deterministycznego stanu ustalonego.
Funkcja reakcji na impuls (IRF).
Przykład ekonomiczny. Podstawowy model realnego cyklu koniunkturalnego (RBC) – analiza dynamiki wokół deterministycznego stanu ustalonego.
Literatura: Kolasa, s. 27-30.
(ćw.) Równanie Eulera jako równanie funkcyjne: rozwiązywanie metodą kolejnych przybliżeń, zasada Banacha.
Przykłady (pozwalające poćwiczyć loglinearyzację): wybrane modele ekonomiczne z czasem dyskretnym. Model eksploatacji surowca odnawialnego.
Literatura: Kolasa, s. 1-26.
Deterministyczny model Ramseya. Zapis modelu Ramseya w postaci rekurencyjnej. Zastosowanie zasady Banacha do deterministycznego modelu Ramseya.
Literatura: Makarski – wybrane strony.
(ćw.) Znajdowanie funkcji wartości za pomocą iteracji funkcji wartości. Matlab
Literatura: Makarski – wybrane strony.
Modele RBC – wyprowadzenie równań Eulera, deterministycznego stanu ustalonego, log-linearyzacja i dynamika wokół stanu ustalonego.
Literatura: Kolasa; Makarski – wybrane strony.
(ćw.) Rozwiązywanie modeli RBC. Kalibracja. Dynare.
Literatura: Kolasa; Makarski – wybrane strony.
Koszty inflacji i optymalna polityka pieniężna w modelu cash-in-advance.
Rozwiązywanie modelu RBC za pomocą przybliżeń drugiego rzędu. Dobrobytowe koszty systemu podatkowego w modelu RBC.
Literatura: Makarski – wybrane strony.
(ćw.) Znajdowanie dobrobytowych kosztów systemu podatkowego w Dynare.
Literatura: Makarski – wybrane strony.
Rozwiązywanie modelu RBC za pomocą przybliżeń drugiego rzędu. Dobrobytowe koszty podatku inflacyjnego w modelu RBC.
Literatura: Makarski – wybrane strony.
(ćw.) Znajdowanie dobrobytowych kosztów podatku inflacyjnego w Dynare.
Literatura: Makarski – wybrane strony.
Modele nakładających się pokoleń.
Literatura: Makarski – wybrane strony.
(ćw.) Rozwiązywanie modeli nakładających się pokoleń.
Literatura: Makarski – wybrane strony.
Modele nakładających się pokoleń – cd.
Literatura: Makarski – wybrane strony.
(ćw.) Numeryczne rozwiązywanie modeli nakładających się pokoleń. Matlab.
Literatura: Makarski – wybrane strony.
Przejście do problemów z czasem ciągłym. Równanie Eulera w rachunku wariacyjnym – wyprowadzenie i zastosowania.
Różne warianty punktu końcowego. Przykłady.
Literatura: Chiang, s. 13-43. Klima, s. 9-19.
(ćw.) Warunki transwersalności w rachunku wariacyjnym. Warunki drugiego rzędu w rachunku wariacyjnym.
Przykłady: m.in. model eksploatacji nieodnawialnego surowca naturalnego.
Literatura: Chiang, s. 65-78 oraz 85-95.
Teoria optymalnego sterowania. Hamiltonian.
Równanie Eulera w teorii optymalnego sterowania. Zasada maksimum Pontriagina.
Ekonomiczna interpretacja zasady maksimum Pontriagina.
Przykład: model Ramseya-Cassa-Koopmansa – wyprowadzenie równania Eulera.
Literatura: Chiang, s. 163-182.
(ćw.) Wyprowadzanie równań Eulera w modelach makroekonomicznych.
Rola warunków transwersalności w problemach z nieskończonym horyzontem czasowym.
Przykłady: problem optymalizacji międzyokresowej użyteczności z konsumpcji; wybór międzyokresowy między konsumpcją a czasem wolnym; wybór ścieżki wydobycia zasobu naturalnego.
Analiza portretu fazowego. Klasyfikacja stanów ustalonych.
Warunki drugiego rzędu w teorii optymalnego sterowania: kryterium Mangasariana i Arrowa-Kurza.
Literatura: Chiang, s. 121-130, s. 205-209 oraz s. 239-251. Growiec – wybrane strony.
(ćw.) Przykłady: model wzrostu Ramseya-Cassa-Koopmansa – szczegółowa analiza dynamiki; rola warunków transwersalności; sprawdzenie warunków drugiego rzędu. Wybrany model endogenicznego wzrostu gospodarczego.
Stabilność stanu ustalonego. Jedyna vs. wielokrotna ścieżka optymalna. Cykle graniczne.
Omówienie na przykładach wziętych z literatury ekonomicznej.
(ćw.) Przykłady ekonomiczne – zastosowania poznanych metod. Wybrany model endogenicznego wzrostu.
Literatura:
Alpha C. Chiang (2002), Elementy dynamicznej optymalizacji. WSHiFM: Warszawa.
Jakub Growiec (2008), „Wzrost gospodarczy i postęp technologiczny”, [w:] Szkice z dynamiki i stabilizacji gospodarki, pod red. W. Pacho. Warszawa: Oficyna Wydawnicza SGH, s. 43-85. Dostępne na http://akson.sgh.waw.pl/~jg23234/RozdzialWzrost.pdf
Grzegorz Klima (2005), Programowanie dynamiczne i modele rekursywne w ekonomii. „Materiały i studia NBP”, zeszyt nr 201. Dostępne na http://www.nbp.pl/publikacje/materialy_i_studia/ms201.pdf
Marcin Kolasa (2009), „Teoria realnego cyklu koniunkturalnego”. Dostępne na http://akson.sgh.waw.pl/lwozny/KolasaRBC1.pdf
Klaus Wälde (2009), Applied Intertemporal Optimization. W przygotowaniu. Dostępne na http://ideas.repec.org/b/gla/glabks/econ1.html
Krzysztof Makarski (2011) – materiały do zajęć, dostępne na stronie http://akson.sgh.waw.pl/~kmakar/emido_lato2011/emido_lato2011.htm
Składowe oceny końcowej:
Egzamin końcowy (pisemny) – 50% punktów
Zadania domowe + aktywny udział – 50% punktów – przez cały okres trwania zajęć