Inżynieria Chemiczna Funkcje zespolone



Pobieranie 83.02 Kb.
Data02.05.2016
Rozmiar83.02 Kb.
Inżynieria Chemiczna – Funkcje zespolone
Teoria
Działania na liczbach zespolonych, pierwiastki z liczb zespolonych,

funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej i funkcje zmiennej zespolonej.


  • - liczba zespolona - liczba sprzężona do liczby z

  • - część rzeczywista liczby z - część urojona liczby z

  • - moduł liczby zespolonej z Jeżeli liczbę z interpretujemy jako punkt na płaszczyźnie o współrzędnych (x,y), to |z| jest odległością tego punktu od punktu (0,0)

  • Argumentem liczby zespolonej z nazywamy kąt jaki tworzy promień wodzący tego punktu z osią Ox. Jeżeli założymy że 0   < 2 to  nazywamy argumentem głównym liczby z (ozn  = arg z ). Jeśli  jest argumentem liczby z, to liczba  =  + 2k ( k = ±1, ±2, ...) także jest argumentem liczby z (ozn.  = Arg z)

(Liczbie z = 0 nie przypisujemy żadnego argumentu)

  • - postać trygonometryczna liczby zespolonej , , (podawany niekiedy wzór nie jest prawdziwy, gdy liczba zespolona leży w drugiej lub trzeciej ćwiartce !!!)

Niech z1 = x1 + i y1 i z2 = x2 + i y2

  • Suma (różnica) liczb zespolonych: z1 ± z2 = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2)

  • Iloczyn liczb zespolonych: Liczby zespolone mnożymy tak jak dwumiany, pamiętając, że i2 = -1

  • Dzielenie liczb zespolonych: Po wymnożeniu licznika i podzieleniu przez mianownik, który jest liczbą rzeczywistą otrzymujemy wynik dzielenia.

Jeżeli liczby dane są w postaci trygonometrycznej, tzn, z1 = r1(cos1 + i sin1) , a z2 = r2(cos2 + i sin2) wtedy z1·z2 = r1·r2 ( cos( 1 + 2) + i sin( 1 + 2)), (cos(1 – 2) + i sin(1 – 2))

  • Wzór Moivre’a: Jeśli z = r(cos + i sin) to zn = rn(cos n + i sin n)

  • Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby w nazywamy każdą liczbę zi , spełniającą równanie

Jeżeli , to k = 0, 1, ..., n–1

  • Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej:

  • Wzory Eulera: ,

  • Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej: z(t) = x(t) + i y(t) dla t  R

Pochodna funkcji : Całka funkcji:

  • Ciąg liczb zespolonych zn jest zbieżny do g (), gdy dla każdej liczby  > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdej liczby n > N zachodzi nierówność | zng | < .

Ciąg zn = xn + i yn jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy zbieżne są ciągi xn oraz yn

  • Szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy szeregi i są zbieżne.

Szereg jest zbieżny bezwzględnie , jeżeli zbieżny jest szereg

  • Funkcje elementarne zmiennej zespolonej:

Ln z = ln |z| + i (2k + arg z), gdzie k - dowolna liczba całkowita. Jeśli k = 0 to logarytm nazywamy logarytmem głównym i oznaczamy ln z.

sin z = ; cos z =



  • Każdą funkcję zespoloną można przedstawić w postaci f(z) = u(x,y) + i v(x,y), gdzie u(x,y) i v(x,y) są funkcjami rzeczywistymi dwóch zmiennych. Funkcję u(x,y) nazywamy częścią rzeczywistą f(z) (ozn. re f(z)),

a funkcję v(x,y) - częścią urojoną funkcji f(z) (ozn. im f(z))
Pochodna funkcji zmiennej zespolonej, równania Cauchy - Riemanna.

Całka funkcji zespolonej.

Szeregi potęgowe zmiennej zespolonej. Szereg Taylora.


  • Pochodna funkcji zmiennej zespolonej Wzory rachunkowe i własności są identyczne jak dla funkcji rzeczywistych.

  • Równania Cauchy - Riemanna. Jeżeli funkcja f(z) = u(x,y) + i v(x,y) ma w punkcie z0 = x0 + i y0 pochodną, to spełnione są w tym punkcie równania:



  • Jeżeli funkcje u(x,y) i v(x,y) są ciągłe i mają ciągłe pochodne cząstkowe w punkcie (x0, y0) spełniające równania Cauchy-Riemanna, to funkcja f(z) = u(x,y) + i v(x,y) ma w punkcie z0 = x0 + i y0 pochodną. Funkcję f (z) nazywamy holomorficzną w punkcie z0 jeśli posiada pochodną w jego otoczeniu.

  • Funkcją pierwotną funkcji holomorficznej f(z) w obszarze D nazywamy funkcję F(z) spełniającą równanie F’(z) = f(z)

  • Jeżeli krzywa K regularna leży w obszarze jednospójnym D i funkcja f(z) jest w tym obszarze holomorficzna i punkt z0 jest punktem początkowym krzywej, a punkt z1 punktem końcowym to



  • Jeżeli krzywa K ma równanie z = (t) t0 t t1 to

  • Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna w jednospójnym obszarze D i jeżeli krzywa K regularna bez punktów wielokrotnych zamknięta i skierowana dodatnio leży w obszarze D i punkt z0 jest dowolnym punktem leżącym wewnątrz obszaru ograniczonego krzywą K to prawdziwy jest wzór całkowy Cauchy’ego:

. Stąd można policzyć

  • Przy analogicznych założeniach prawdziwy jest wzór określający n-tą pochodną funkcji holomorficznej

. I podobnie:

  • Szeregi funkcyjne zmiennej zespolonej.

  • Kryterium Weierstrassa: Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny i an > 0 dla każdego n i jeżeli dla każdego n spełniona jest w obszarze D nierówność | fn(z)|  an to szereg jest w obszarze D zbieżny.

  • Jeżeli dany jest szereg potęgowy i jeżeli istnieje granica (można również rozpatrywać granicę ) to liczbę R nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego. (Z TĄ DEFINICJĄ MOŻNA DYSKUTOWAĆ) Ogólniej:

  • Jeżeli dany jest szereg potęgowy (*) , to istnieje liczba R (0R) taka, że szereg (*) jest zbieżny dla |z–z0|0|>R (jeżeli R=0, szereg jest zbieżny tylko w punkcie z=z0, a jeżeli R=, to szereg jest zbieżny dla dowolnego skończonego z). Taką liczbę R nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego (*). Na okręgu |z–z0|=R mogą istnieć zarówno punkty, w których szereg (*) jest zbieżny, jak i punkty, w których jest on rozbieżny. Promień zbieżności szeregu potęgowego (*) można wyznaczyć ze wzoru (**) R=1/g, gdzie (tzw. granica górna ciągu, tzn. największa z granic podciągów posiadających granicę, które można utworzyć z danego ciągu). Jeżeli istnieje granica , to oczywiście również i wzór (**) na promień zbieżności szeregu potęgowego (*) pozostaje w mocy. Jeżeli wszystkie an są różne od zera, to można wykorzystać również granicę, o ile istnieje. (Problem: czy wzór (**) jest prawdziwy również dla granicy górnej o ile ma ona sens, tzn. o ile wszystkie an są różne od zera?)

  • Jeżeli funkcja f (z) jest holomorficzna w punkcie z0 to w otoczeniu tego punktu jest rozwijalna w szereg Taylora: . Promień zbieżności tego szeregu jest równy odległości punktu z0 od najbliższego punktu osobliwego funkcji f(z).


Zera i bieguny. Szereg Laurenta. Residua. Całki z funkcji zespolonych po konturach.


  • Jeśli funkcja f(z) jest w punkcie z0 określona i f (z0) = 0 to punkt z0 nazywamy zerem funkcji f (z).

  • Jeśli funkcja f(z) jest w punkcie z0 holomorficzna i f (z0)=0 oraz f (i)(z0)=0 dla i = 1,2,...,k i f (k+1) (z0)  0 to punkt z0 nazywamy k-krotnym zerem funkcji f (z).

  • Jeśli funkcja f(z) jest holomorficzna w sąsiedztwie punktu z0 i nie jest holomorficzna w punkcie z0, to punkt z0 nazywamy punktem osobliwym odosobnionym funkcji f(z).

  • Jeśli istnieje i funkcja jest holomorficzna w otoczeniu punktu z0, to punkt z0 nazywamy punktem o osobliwości usuwalnej (pozornie osobliwym)

  • Jeśli istnieje granica niewłaściwa to punkt z0 nazywamy biegunem funkcji f(z).

  • Jeżeli zo jest biegunem funkcji f(z) i istnieje to punkt z0 jest k-krotnym biegunem.

  • Jeżeli zo jest k-krotnym biegunem funkcji f(z) to punkt z0 jest k-krotnym zerem funkcji .

  • Jeżeli punkt z0 jest punktem osobliwym funkcji ( g(z) i h(z) są holomorficzne w z0) i jeżeli punkt z0 jest m-krotnym zerem funkcji g(z) i n-krotnym zerem funkcji h(z) to:

  • jeżeli m–n  0, to punkt z0 jest punktem o osobliwości usuwalnej;

  • jeżeli m–n < 0, to punkt z0 jest biegunem o krotności k = n–m.

  • Jeżeli punkt z0 jest punktem osobliwym funkcji f(z) holomorficznej w sąsiedztwie tego punktu i jeżeli nie jest punktem pozornie osobliwym ani biegunem, wtedy punkt z0 jest punktem istotnie osobliwym.

  • Szereg Laurenta. Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna w pierścieniu P(z0, r,R) o środku w punkcie z0 i promieniach r < R, to rozwija się ona w tym pierścieniu w szereg zwany szeregiem Laurenta. Współczynniki szeregu dane są za pomocą wzoru (n=0,±1,±2,...), gdzie K jest dowolnym okręgiem o środku w punkcie z0, zawartym w pierścieniu P(z0, r,R) i skierowanym dodatnio. Szereg Laurenta można zapisać w postaci: . Pierwszy szereg nazywamy częścią główną szeregu Laurenta, drugi - częścią regularną.

  • Jeżeli punkt z0 jest punktem regularnym funkcji f(z) lub punktem o osobliwości usuwalnej, to a–n = 0 dla n =1,2,... (część główna jest równa zeru). Jeżeli punkt z0 jest k-krotnym biegunem funkcji f (z) to a–n = 0 dla n = k+1, k+2,... i a–k  0. Jeżeli punkt z0 jest punktem istotnie osobliwym funkcji f(z) holomorficznej w jego sąsiedztwie, to w części głównej istnieje nieskończenie wiele wyrazów różnych od zera.

  • Residuum funkcji w punkcie z0 nazywamy liczbę: , gdzie K jest krzywą regularną zamkniętą skierowaną dodatnio obejmującą punkt z0. Inaczej , gdzie a-1 jest odpowiednim współczynnikiem rozwinięcia funkcji w szereg Laurenta.

  • jeżeli z0 jest punktem regularnym funkcji f(z) lub punktem o osobliwości usuwalnej to

  • jeżeli z0 jest jednokrotnym biegunem funkcji f(z) to

  • jeżeli z0 jest k-krotnym biegunem funkcji f(z) to

  • Jeżeli w obszarze ograniczonym krzywą zamkniętą L skierowaną dodatnio funkcja f(z) jest holomorficzna z wyjątkiem punktów z1, z2,..., zn to


Zadania
Działania na liczbach zespolonych, pierwiastki z liczb zespolonych

funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej i funkcje zmiennej zespolonej

Pochodna funkcji zmiennej zespolonej, równania Cauchy’ego - Riemanna.
1) Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby zespolone:

a) 1 + i b) – 1 + i c) 2i + 2 d) i e) 1 – i f)i g) –1 h) i i) sin +i cos j) (cos  – 1)+i sin  (Wsk: wyrazić poprzez funkcje kąta /2).

Odp.: a) 2(cos /3 + i sin /3) b) c)

d) (argument=–/6 lub argument główny 2–/6, czyli 11/6); e) ; f) ; g)

2) Policzyć a) , ,b) , c) ; d) .

Odp.: a) 64; ; d)



3) Obl. (zast. wzory połówk. i symetrię), )

Odpowiedzi: (o tym, która odpowiedź jest do którego zadania, można z grubsza zorientować się po ilości pierwiastków)



;;

1,i,–1,–i; ;







,; pierwiastki 12 stopnia z 1 – wziąć wszystkie pierwiastki 6 stopnia z 1 i –1 (wszystkie razem są umieszczone na okręgu jednostkowym tak jak cyfry na tarczy zegara); (pierwiastek czwartego stopnia można obliczyć m.in. jako pierwiastek kwadratowy z pierwiastka kwadratowego)
4) Rozwiązać równania zespolone (w przypadku równań kwadratowych o dowolnych współczynnikach zespolonych stosuje się analogiczne wzory jak te znane w przypadku rzeczywistym, przy czym dla niezerowej delty istnieją dwa zespolone pierwiastki kwadratowy z delty, różniące się tylko znakiem; bierzemy jeden z tych pierwiastków i raz odejmujemy, raz dodajemy – tak że otrzymujemy dwa pierwiastki równania kwadratowego, licząc krotności – lecz nie cztery pierwiastki); wymagane jest wykonanie do końca dzielenia

a) z4 + z2 + 1 = 0 b) (1+i)z2 – (6+2i)z + 14 – 2i = 0 c) z2 + (3i – 1)z – (i + 2) = 0

d) z2 + z – i + 1 = 0 e) z2 – (1+ i )z – 2 – i = 0 d) z2 – (1 + i)z + 2 + 2i = 0 e) z8 = 1

5) Podać geometryczną interpretację następujących zbiorów liczb zespolonych:

a) | z – i |  4 0  argz  /2 b) | 2z + 3 | > 4 c) | z +1 – i | < 2 d) | z – 4 | > | z | e) | z | ≤ Re z

f) | z | > 2 , | z | < 3, /4  argz  /2 g) | z |2 ≥ Re z + Im z, –/4  argz  3/4.

Odp. Np. w przyp. a) – zbiór tych punktów z pierwszej ćwiartki, które leżą w kole o środku „i” i promieniu 4 (natychmiast z geometrycznej interpretacji odejmowania oraz modułu jako długości wektora) d) punkty, które leżą po jednej – prawej stronie symetralnej odcinka o końcach ) i 4 na płaszczyźnie zespolonej, czyli zbiór {z:Re z > 2}; ...



6) Wyrazić sin3 i cos5 za pomocą sin i cos. (Wskazówka: skorzystać ze wzoru Moivre’a, a także z dwumianu Newtona; np.

;

wystarczy rozwinąć i przyrównać do siebie część rzeczywistą i część urojoną lewej i prawej strony.



7) Zbadać zbieżność ciągów:

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Odp.: b) zbieżny do 0; c) – rozbieżny; e) – rozbieżny do nieskończoności; f) zbieżny do 0; h) zbieżny do 1; i) zbieżny do „i”; j) rozbieżny do nieskończoności

8) Zbadać zbieżność szeregów:

a) b) ; c) ; d) ;

e) f) ; g) ; h) .

Odp (niektóre): Zbieżny bezwzgl. przez porównanie z szeregiem 1/n2; b) zb. bezwzgl. c) rozbieżny, bo szereg części rzeczywistych jest rozbieżny; d), e) zbieżny – jako szereg geometr. o ilorazie co do modułu mniejszym od jedności; g) rozbieżny h) zbieżny, bo część rzeczywista i część urojona są szeregami zbieżnymi.



9) Obliczyć pochodne funkcji (dokładniej - zespolonych funkcji argumentu rzeczywistego):

a) b) c) ; d)

Odp.: a) ; b) itd.



10) Obliczyć całki:

a) b) c)

Odp.: a) c) 1+i



11) Znaleźć część rzeczywistą i urojoną funkcji:

a) b) c)

Odp.: a) Jeżeli z=x+iy, to w(z)=x2–y2+1+2xyi, więc Re w = u(x,y) = x2–y2+1, Im w = v(x,y) = 2xy.

b) Jeżeli z=x+iy, to , więc itd.

12) Przedstawić w postaci wykładniczej liczbę

a) ; b) ; c) z = – 2 + 2i; d) z = + i; e) z = 1; f) z =  i.

13) Znaleźć część rzeczywistą i urojoną liczb:

a) cos(1 – i) b) sin(1 + 2i) c) 3e ½i d) e2 – ¼ i e) Ln(–i) f) Ln(– 1) g) Ln(1 + i) h) cos(2 + i) i) sin i j) cos (1+ i) k) ; l) .

Odp.: a)



itp.

14) Zbadać, czy funkcja f(z) jest funkcją holomorficzną. Jeśli tak, to obliczyć jej pochodną.

a) f(z) = z2; b) ; c) f(z) = z Re z; d) f(z) = | z | e) f(z) = z Im z

f) f(z) = 2; g) ; h) f(z) = ln z; i) ; j) ; k) .

Odp.: a), g) h) j) k są, reszta – nie.



15) Znaleźć funkcję holomorficzną f(z), gdy dana jest jej część rzeczywista u(x,y) lub urojona v(x,y):

a) u(x,y) = x2 – y2 + xy b) u(x,y) = 2 ex sin y c) u(x,y) = x2 – y2 + 2x d) u(x,y) = ex cos y + y e) v(x,y) = 2x22y2 + x f) v(x,y) = arctg (y/x), x > 0

g) v(x,y) = e2x sin 2y + x2 – y2 h) v(x,y) = 4x3y – 4 xy3 + 1 (Wsk.: Równania Cauchy –Riemanna)
Punkty osobliwe. Residuum funkcji. Liczenie całek.
1) Znaleźć miejsca zerowe funkcji f(z) i zbadać ich krotność:

a) f(z) = (z3 + 1)2z4; (0 – zero czterokrotne; i – zera dwukrotne) b) f(z) = z(ei z – 1); (z=0 – zero dwukrotne; 2ki, gdzie k0 – zera jednokrotne; c) f(z) = (z2 + 1)3(z + i) (i – zero trzykrotne, –i – zero czterokrotne) d) f(z) = sin z (ei z – 1) z=2k – zera dwukrotne, z=(2k+1) – zera jednokrotne;

e) z=0, z=(/2+k)i – zera jednokrotne.

2) Wyznaczyć punkty osobliwe skończone funkcji f(z), zbadać ich rodzaj i w przypadku biegunów znaleźć ich krotność:

a) f(z) = (i – bieguny jednokr. ) b) f(z) = ; (0 – pkt istotnie odobl.) c) f(z) = ; 0 – osobliwość usuwalna); d) f(z) = ; (0, 1 – bieguny jednokrotne; 1 – biegun trzykrotny) e) f(z) = ; (k – bieguny jednokrotne) f) f(z) = tg2z (/2+k – bieguny jednokr.)

g) f(z) = [(2k+1) – bieg. jednokr.) h) f(z) = (z=i – bieguny trzykrotne) i) f(z) = (z=i – bieguny trzykrotne); j) f(z) = (z=2k – bieguny pojedyncze) k) f(z) = (z =  – bieguny pojedyncze) l) f(z) = (z=2ki – punkty o osobliwości usuwalnej; z=(2k+1)i – bieguny jednokrotne)

3) Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego:

a) b) c)

d) e) f)

4) Znaleźć rozwinięcie funkcji w szereg Laurenta:

a) f(z) = w pierścieniu 0 < | z – 1 | < 1

b) f(z) = w pierścieniu  1 < | z | < 3  3 < | z | <

c) f(z) = w pierścieniu  2 < | z | <  0 < | z–1 | < 1  1 < | z – 1 | <

d) f(z) = w pierścieniu  0 < | z | < 1  1 < | z | < 2  2 < | z | <

Odp.: a) ;

b)  ;  ;

c) ;  ;  ;

d) ;  ;

;



5) Obliczyć residua w punktach osobliwych:

a) f(z) = ; b) f(z) = ; c) f(z) = ; d) f(z) = (nietryw. – poza programem); e) f(z) = f) f(z) =

g) f(z) = h) f(z) =

i) f(z) = ; res(2k+1)i = –1;

j) ; res0f(z)=0, reskf(z)=; k) ; res1f(z)=2;

l) ; ; m) ; resf(z)= i/(2);

n) ; res0f(z)=0, res/2+2kf(z) = –1;

o) ; res2kif(z)=2; p) ; resz=1 = –1/2

r) ; z=0 – pkt o osobliwości usuwalnej; ;

s) ; resz=0f(z)=1/(i) (punkt istotnie osobliwy, rozwinąć w szereg potęgowy i odczytać a–1).
6) Obliczyć całkę wzdłuż krzywej C: (z1 – początek krzywej, z2 (lub z3) – koniec krzywej).

(Wskazówka ogólna: jeżeli pod całką występuje funkcja analityczna – co na ogół zdarza się, gdy występują tam znane funkcje elementarne zmiennej zespolonej, natomiast nie występuje znak Re, Im, moduł – to całkę liczymy podobnie do całek funkcji zmiennej rzeczywistej, znajdując (zespoloną) funkcję pierwotną F(z), która formalnie ma zapis podobny jak analogiczna funkcja pierwotna w dziedzinie rzeczywistej, i licząc F(b)–F(a), gdzie a i b – początek i koniec konturu całkowania. W pozostałych, nietypowych przypadkach –trzeba sparametryzować krzywą całkowania i zamienić całkę na całkę oznaczoną funkcji zespolonej – por. przykłady a), b), d), g), i), j), k) w bieżącym zadaniu. Wreszcie, jeżeli kontur całkowania jest krzywą zamkniętą, to – jeżeli na tej krzywej i w obszarze ograniczonym tą krzywą funkcja podcałkowa nie ma żadnych osobliwości, to całka jest równa zeru; w przeciwnym przypadku – całka jest równa 2i razy suma residuów funkcji podcałkowej leżących w tym obszarze; szczególnym przypadkiem tego ostatniego jest wzór całkowy Cauchy’ego i wzór na n-tą pochodną funkcji holomorficznej; zastosowania tych wzorów występują w zad. 7, zaś przykłady na ogólne zastosowanie wzoru z residuami – w zad. 8; residua w punktach będących biegunami liczy się łatwo, jeżeli znana jest krotność tego bieguna – istnieje odpowiedni wzór; w punktach istotnie osobliwych można tylko mieć nadzieję, że da się znaleźć rozwinięcie Laurenta, a przynajmniej jego wyraz a–1.)



a) C - odcinek z1 = 0, z2 = 1 + i; Odp.: (1+i)/2

b) C - krzywa z = , – zmienia się od  do 0 (Odp.: –2 ??.)

c) C - krzywa regularna z1 = 0, z2 = i;

d) C - odcinek z1 = 0, z2 = 2 + i;

e) C - krzywa regularna z1 = 0, z2 =  i; f) C - krzywa regul. z1 = i, z2 = 0;

g) C - odcinek z1 = – i, z2 = i; h) C - krzywa regul. z1 = 0, z2 = /2;

i) C - łamana z1 = 0, z2 = 1, z3 = 1 + i

j) C - odcinek z1 = 1, z2 = i; Odp.: –/2 (Uwaga: w II t. zbioru zadań Stankiewicza, zad. 401 str. 222, całka ta jest błędnie policzona – podaje się tam wynik 3/2. Prawidłową odpowiedź można otrzymać gdy uwzględni się, jak zmienia się argument wyrażenia t(–1–i)+1, gdy t zmienia się od 0 do 1. Wspomniane wyrażenie zmienia się przy tym od 1 do –i – oczywiście również po odcinku łączącym te punkty (1 oraz –i). Widać więc, że przyrost argumentu wynosi –/2 (jeżeli za argument 0 przyjmie się 0, to za argument –i trzeba przyjąć –/2, aby argument zmieniał się w sposób ciągły, gdy punkt przebiega odcinek od –i do 0 – tak więc przyrost argumentu wynosi 0 – (–/2) = /2; całka jest zaś równa

Arg(–/2) – Arg(0) = –/2.)



k) C - łamana zamknięta o wierzchołkach z1= 0, z2 = ½, z3= ½ + ½ i , skier. dodatnio;

l) C - łuk paraboli y = x2, z1 = 0, z2 = 1 + i;

m) C - łuk okręgu | z | = 1, y  0 o początku w z1 = 1 i końcu w z2 = –1.

7) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego względnie ze wzoru na odpowiednią pochodną funkcji holomorficznej obliczyć całki (zob. przykład na końcu):

a) C - okrąg | z – 2 | = 2 skierowany dodatnio (Odp.:–2i/6);

b) C - okrąg | z – 3i | = 2, skierowany dodatnio;

c) C - dowolny kontur zawierający punkt z = i, skierowany dodatnio;

d) C - okrąg o środku w początku układu i promieniu 3, skierowany ujemnie;

e) C - okrąg o środku w punkcie 2i i promieniu 2, skierowany dodatnio;

f) C - okrąg o środku w punkcie 2i i promieniu 2, skierowany ujemnie;

g) C - dowolny kontur zawierający punkt z = – 2, skierowany dodatnio;

h) C - okrąg | z | = 2, skierowany ujemnie;

i) C - łamana skierowana dodatnio o wierzchołkach: 1, i, –1, – i;

j) C - okrąg | z | = 2, skierowany dodatnio;

k) C - łamana zamknięta skierowana dodatnio o wierzchołkach : 0, 1 + 2i, –1 + 2i;

l) C - łamana zamknięta skierowana dodatnio o wierzchołkach:

 0, –2 + i, –2– i  0, 2 + i, 2 – i  0, –1 –2i, 1 – 2i.



Przykład St., Wojt. t. II zad. 404 str. 223.

Obliczyć całkę , gdzie K jest elipsą .

Niech – na mocy wzoru całkowego Cauchy’ego dla n=2, wystarczy obliczyć .

Mamy:


, czyli

.

Z kolei


lub


W punkcie odpowiednie sinusy są równe , zaś kosinusy , więc



więc


.

Powyższe obliczenie jest kuriozalnie żmudne, bardzo łatwo się pomylić. Znacznie łatwiej liczy się, jeżeli przedstawić w postaci . Wtedy



,

,

więc

i w konsekwencji , jak poprzednio.
8) Policzyć całki (korzystając ze wzoru wyrażającego całkę poprzez odpowiednie residua):

a) C - okrąg | z | = 2 skierowany dodatnio

b) C - okrąg | z – 1 | = 1 skierowany dodatnio (czy można policzyć także metodą z poprzedniego zadania?)

c) C - okrąg | z – 1 – i | = 1 skierowany dodatnio

d) C - okrąg | z + 1 | = 1 skierowany dodatnio

e) C - okrąg | z – 1 | = 2 skierowany dodatnio (Odp.: 2i)

f) C - okrąg | z + ½ i | = 1 skierowany dodatnio

g) C - okrąg | z | = 4 skierowany dodatnio

h) C - okrąg | z – 4i | = 5 skier. dodatnio (Odp.: –2 sinh(2).)

i) C – okrąg | z | = 1 skier. dodatnio (Odp.: 2i; residuum w punkcie z=0 oblicza się, rozwijając funkcję podcałkową w szereg Laurenta i odczytując współczynnik a–1 w tym rozwinięciu: a–1=1)









©absta.pl 2019
wyślij wiadomość

    Strona główna