Matematyka finansowa 07.06.2004 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy
XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r.
Część I
Matematyka finansowa
Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:
......................................................................
Czas egzaminu: 100 minut
1. Trzy osoby biorą z banku kredyty w wysokości 100 każdy, spłacane za pomocą rat płatnych na koniec każdego roku przez najbliższe 10 lat. Każda z osób ma inny plan spłaty kredytu. Osoba pierwsza spłaca kredyt za pomocą rat postaci: X, X+4, X+8,......, X+36. Osoba druga spłaca kredyt za pomocą rat postaci: Y, 2*Y, 3*Y,....,10*Y. Osoba trzecia spłaca kredyt za pomocą rat postaci: Z, 1,3*Z, 1.32*Z, .....,1,39*Z. Roczna efektywna stopa procentowa wynosi i = 10%. Ile wynoszą sumaryczne odsetki zapłacone przez wszystkich trzech kredytobiorców w całym okresie spłacania kredytów (proszę podać najbliższą wartość) ?
Odpowiedź:
A. 241
B. 251
C. 261
D. 271
E. 281
2. Bieżąca sytuacja na rynku finansowym oraz przewidywania (prawdopodobieństwa) co do jej stanu za rok przedstawiają się następująco:
cena akcji spółki krajowej – cena w PLN
|
Cena bieżąca
|
Cena za rok
|
Prawdopodobieństwo
|
|
|
66
|
50%
|
|
60
|
50
|
50%
|
kurs PLN/USD
|
Kurs bieżący
|
Kurs za rok
|
Prawdopodobieństwo
|
|
|
4,95
|
60%
|
|
4,7
|
4,4
|
40%
|
krzywa zerokuponowa PLN
|
Bieżąca
|
Za rok
|
Prawdopodobieństwo
|
w %
|
|
x/4
|
50%
|
|
x/3
|
x/2
|
50%
|
krzywa zerokuponowa USD
|
Bieżąca
|
Za rok
|
Prawdopodobieństwo
|
w %
|
|
x/3
|
70%
|
|
x/4
|
x/5
|
30%
|
Która z poniższych strategii daje najwyższą oczekiwaną stopę zwrotu (w PLN) w ciągu najbliższego roku przy przyjęciu powyższych założeń:
-
zakup 5-letniej zerokuponowej obligacji denominowanej w USD,
-
zakup po nominale 100 PLN rocznej obligacji zamiennej na 1,6 akcji spółki krajowej z rocznym kuponem 4,5%. Wykonanie zamiany na akcje oznacza również rezygnację przez inwestora z odsetek od obligacji. Zamiana może mieć miejsce wyłącznie w dniu wykupu obligacji,
-
zakup rocznej europejskiej opcji typu put na kurs dolara amerykańskiego z ceną wykonania 4,6 PLN za 0,075 PLN,
-
zakup rocznej europejskiej opcji put na akcję zagraniczną z ceną wykonania 20USD za 1,3 USD,
-
zakup rocznej europejskiej opcji call na 5 letnią obligację zerokuponową denominowaną w PLN (o nominale 100PLN)z ceną wykonania 91,2 PLN za 1,3 PLN.
Uwaga : opcje i kontrakty futures rozliczane są gotówkowo bez dostarczania instrumentu bazowego po upływie roku. Zamiana obligacji na akcję odbywa się poprzez wypłatę inwestorowi kwoty 1,6 * cena_akcji w momencie zamiany. Krzywa zerokuponowa zdefiniowana jest jako funkcja okresu do wykupu (parametr x) liczonego w latach.
3. Wartość amerykańskiej opcji typu put na akcję firmy X z ceną wykonania 45 zostaje wyznaczona przy zastosowaniu trzyokresowego modelu dwumianowego. Wiadomo, że :
-
obecna cena akcji wynosi 45,
-
w każdym z trzech okresów cena akcji może zmienić się o 15% w odniesieniu do jej wartości z początku okresu, a prawdopodobieństwa zmian są jednakowe w każdym okresie,
-
wartość opcji call na akcję firmy X wygasającej na koniec pierwszego okresu i cenie wykonania 45 wyznaczona przy zastosowaniu tego samego modelu dwumianowego wynosi 4,79
-
efektywna stopa procentowa w okresie wynosi i = 8%.
Oblicz wartość amerykańskiej opcji put (podaj najbliższą wartość):
-
0,93
-
1,22
-
1,48
-
1,71
-
1,97
4. Bieżący stan rynku finansowego jest następujący:
1 USD = 4 PLN
roczna depozytowa stopa PLN = 7%
roczna depozytowa stopa USD = 3%
Ceny europejskich opcji walutowych na kurs USD z okresem wykonania 1 rok (1 opcja opiewa na 1 USD):
cena wykonania opcji (w PLN)
|
3,95
|
4,1
|
4,25
|
4,35
|
4,45
|
cena opcji put ( w PLN)
|
0,11
|
0,21
|
0,32
|
0,41
|
0,5
|
Bank oferuje swoim klientom roczną lokatę otwieraną w PLN, która po roku wypłaca jedną z dwóch (wybraną w dniu wypłaty przez Bank) kwot :
-
kwota w PLN : wartość depozytu w PLN powiększoną o 15% lub
-
kwota w USD : (wartość depozytu w PLN / 4 ) * (1+X)
Przy podanej wyżej bieżącej sytuacji na rynku finansowym, jakie najwyższe X może Bank zaoferować klientowi, który chce ulokować na powyższej lokacie 1 mln. PLN, aby mieć pewność osiągnięcia na niej zysku (podaj najbliższą wartość):
-
9,60%
-
10,10%
-
11,60%
-
12,10%
-
12,60%
Uwaga : Bank otrzymuje pieniądze od klienta i może dokonywać lokat PLN oraz USD (po uprzednim zakupie USD), nabywać opcje lub USD. Może również pozyskiwać dodatkowe środki z tytułu wystawiania opcji i przeznaczać je na te same cele. Na koniec roku poza realizacją zawartych transakcji(depozyty, opcje) może nabyć lub sprzedać USD po kursie, który ustali się w przyszłości (dzisiaj nieznanym). Opcje nie wymagają depozytów zabezpieczających a ich rozliczenie jest gwarantowane. Na rynku nie istnieją żadne inne instrumenty poza wymienionymi. Bank nie angażuje żadnych dodatkowych środków poza pozyskanymi od klienta tytułem lokaty lub uzyskanymi z wystawiania opcji.
5. Stan fragmentu rynku walutowego, przedstawia oferta dużego banku w dniu X:
PLN/USD USD/EURO
kupno 4,5 1,2
sprzedaż 4,6 1,22
Kwotowania podawane są od strony Banku, tak więc inwestor jest np. w stanie kupić USD za 4,6 PLN (kurs sprzedaży Banku) oraz sprzedać EURO za 1,2 USD (kurs kupna Banku).
Ponadto możliwe jest dokonywanie przez inwestora depozytów i zaciąganie pożyczek według poniższych stóp procentowych (stopy w skali roku, pożyczki spłacane jednorazowo na koniec okresu wraz z odsetkami):
PLN USD EURO
oprocentowanie depozytu 5% 2% 3,5%
koszt pożyczki 6,5% 4% 5%
Kurs terminowy USD/EURO z gwarantowanym rozliczeniem transakcji za rok wynosi (nie ma wymogu depozytów zabezpieczających) – kwotowania od strony Banku:
USD/EURO
kupno 1,16
sprzedaż 1,18
Dla którego z poniższych kwotowań terminowych PLN/USD (z gwarantowanym rozliczeniem za rok, brak wymogu depozytów zabezpieczających) jest możliwy arbitraż (kwotowania podawane od strony Banku, kurs kupna jest kursem dostępnym klientowi, gdy sprzedaje on USD) ?
A) PLN/USD kupno : 4,51 sprzedaż : 4,56
B) PLN/USD kupno : 4,56 sprzedaż : 4,61
C) PLN/USD kupno : 4,61 sprzedaż : 4,66
D) PLN/USD kupno : 4,66 sprzedaż : 4,71
E) żaden z powyższych
Uwaga : PLN/USD - jest kwotowaniem w PLN za jednostkę USD
USD/EURO - jest kwotowaniem w USD za jednostkę EURO
Inwestor nie dysponuje środkami własnymi i może operować jedynie na zdefiniowanych powyżej instrumentach. Inwestor nie może dokonywać krótkiej sprzedaży walut (sprzedaż waluty lub depozyt muszą być poprzedzone zakupem waluty).
6. Firma ubezpieczeniowa posiada zobowiązania wynikające z portfela rent pewnych. Renty te są płatne w wysokości PLN 1 m na koniec każdego roku przez najbliższe 20 lat oraz w wysokości PLN 0.5 m przez kolejne 20 lat. Firma ulokowała całość swoich rezerw w 15 letniej obligacji z 10% kuponem rocznym. Oblicz różnicę pomiędzy duration pasywów i aktywów, zakładając efektywną roczną stopę zwrotu i = 6% (podaj najbliższą wartość).
-
1,95
-
2,08
-
2,21
-
2,4
-
2,55
7. Rozważmy dwie 20-letnie renty pewne:
-
Pierwsza z nich jest rentą o rosnących w postępie arytmetycznym ratach, płatnych rocznie z góry. Pierwsza płatność z tytułu tej renty wynosi 100 zł, kolejne przyrosty wynoszą 50 zł.
-
Druga z nich jest rentą o ratach tworzących ciąg geometryczny o stopie wzrostu 5.5% i początkowej płatności równej 1000 zł oraz ratach płatnych rocznie z dołu.
Zakładamy, że stopa procentowa r jest w każdym roku zmienną losową o następującym rozkładzie dyskretnym (stopy w kolejnych latach są niezależnymi zmiennymi):
-
ri
|
P(r = ri)
|
3.0%
|
θ
|
4.5%
|
1 – θ
|
Wiadomo, że wartość obecna sumy płatności z tytułu obydwu rent na koniec drugiego roku (jest to jednocześnie początek trzeciego roku) obliczona przy stopie równej wartości oczekiwanej stopy procentowej r, stanowi 96.734% zdyskontowanych sum płatności tych rent z początku roku pierwszego i drugiego.
Rozważmy wartość sumy płatności z tytułu obydwu rent na koniec dziewiętnastego roku. Obliczyć różnicę pomiędzy wartością oczekiwaną wartości obecnej tej kwoty (przy założeniu, że w każdym roku stopa procentowa r ma powyższy rozkład) a wartością obecną tej kwoty obliczoną przy stopie równej wartości oczekiwanej stopy procentowej r.
Wskaż najbliższą wartość:
-
1.70 zł
-
2.70 zł
-
3.20 zł
-
3.70 zł
-
4.00 zł.
8. Rozważmy 5-letnią rentę ciągłą, płatną w taki sposób, że intensywność płatności w chwili t wynosi:
Intensywność oprocentowania jest zmienna w czasie i jest funkcją , o której wiemy, że szybkość jej zmiany powiększona o kwadrat samej funkcji stale wynoszą 0, zaś w chwili t = 0 intensywność oprocentowania wynosi 1. Przy jakiej wartości parametru α wartość obecna renty jest minimalna?
Odpowiedź (wskaż najbliższą wartość):
-
0.1235
-
0.1435
-
0.1635
-
0.1835
-
0.2035
9. Bank inwestuje środki finansowe w wysokości 1 000 000 zł na trzy sposoby:
-
udziela kredytu 10-letniego, ze stałym oprocentowaniem i = 10%, spłacanego w równych rocznych ratach (na koniec roku),
-
inwestuje w portfel akcji,
-
nabywa jednostki uczestnictwa w funduszu inwestycyjnym.
Wariancja stopy zwrotu z akcji wynosi 400%, wariancja stopy zwrotu z funduszu inwestycyjnego wynosi 225%, stopy zwrotu z akcji i funduszu inwestycyjnego są doskonale ujemnie skorelowane. Ile wynosi kwota odsetek uzyskanych przez bank w piątej racie kredytu, jeżeli wiadomo, że proporcje inwestowania w akcje i fundusz inwestycyjny są ustalone tak, aby zminimalizować ryzyko portfela, udzielony kredyt jest inwestycją bez ryzyka, natomiast bank inwestuje w akcje środki równe dokładnie połowie kwoty udzielonego kredytu?
-
28 803
-
29 811
-
30 854
-
31 809
-
32 713
10. Inwestor posiada kapitał w wysokości 10 000 zł. Aktualna rynkowa cena akcji spółki X wynosi 10 zł. Wiadomo, że:
-
odchylenie standardowe zmienności cen akcji wynosi σ = 0.3,
-
roczna stopa procentowa wolna od ryzyka wynosi 10%.
-
akcja nie wypłaca dywidendy.
Inwestor zakupił 3 miesięczną europejską opcję sprzedaży (put option) na 10000 akcji spółki X po cenie wykonania 9 zł a resztę kapitału przeznaczył na 1-miesięczną lokatę, z której odsetki wyniosły 1% ? Do oszacowania wartości opcji należy użyć modelu Blacka-Scholesa. Przybliżone wartości dystrybuanty rozkładu normalnego podaje tabela. Dla wartości pośrednich należy użyć aproksymacji liniowej.
-
T
|
0
|
0.05
|
0.1
|
0.15
|
0.2
|
0.25
|
0.3
|
0.35
|
N(t)
|
0.5000
|
0.5199
|
0.5398
|
0.5596
|
0.5793
|
0.5987
|
0.6179
|
0.6368
|
T
|
0.4
|
0.45
|
0.5
|
0.55
|
0.6
|
0.65
|
0.7
|
0.75
|
N(t)
|
0.6554
|
0.6736
|
0.6915
|
0.7088
|
0.7257
|
0.7422
|
0.7580
|
0.7734
|
t
|
0.8
|
0.85
|
0.9
|
0.95
|
1
|
1.05
|
1.1
|
1.15
|
N(t)
|
0.7881
|
0.8023
|
0.8159
|
0.8289
|
0.8413
|
0.8531
|
0.8643
|
0.8749
|
t
|
1.2
|
1.25
|
1.3
|
1.35
|
1.4
|
1.45
|
1.5
|
1.55
|
N(t)
|
0.8849
|
0.8944
|
0.9032
|
0.9115
|
0.9192
|
0.9265
|
0.9332
|
0.9394
|
t
|
1.6
|
1.6500
|
1.7
|
1.75
|
1.8
|
1.85
|
1.9
|
1.95
|
N(t)
|
0.9452
|
0.9505
|
0.9554
|
0.9599
|
0.9641
|
0.9678
|
0.9713
|
0.9744
|
t
|
2
|
2.05
|
2.1
|
2.15
|
2.2
|
2.25
|
2.3
|
2.35
|
N(t)
|
0.9772
|
0.9798
|
0.9821
|
0.9842
|
0.9861
|
0.9878
|
0.9893
|
0.9906
|
t
|
2.4
|
2.45
|
2.5
|
2.55
|
2.6
|
2.65
|
2.7
|
2.75
|
N(t)
|
0.9918
|
0.9929
|
0.9938
|
0.9946
|
0.9953
|
0.9960
|
0.9965
|
0.9970
|
t
|
2.8
|
2.85
|
2.9
|
2.95
|
3
|
3.05
|
3.1
|
3.15
|
N(t)
|
0.9974
|
0.9978
|
0.9981
|
0.9984
|
0.9987
|
0.9989
|
0.9990
|
0.9992
|
Ile wyniósł zysk inwestora z całego portfela po 1 miesiącu, jeżeli w tym czasie cena akcji spadła do 9,5 zł ? Odpowiedź (wskaż najbliższą wartość):
-
617
-
597
-
577
-
557
-
537
Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r.
Matematyka finansowa
Arkusz odpowiedzi*
Imię i nazwisko: .................................................................
Pesel: ...........................................
OZNACZENIE WERSJI TESTU ............
Zadanie nr
|
Odpowiedź
|
Punktacja
|
1
|
E
|
|
2
|
E
|
|
3
|
D
|
|
4
|
A
|
|
5
|
A
|
|
6
|
A
|
|
7
|
A
|
|
8
|
B
|
|
9
|
E
|
|
10
|
D
|
|
|
|
|
|