Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXII egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I matematyka finansowa Imię I nazwisko osoby egzaminowanej

Czas egzaminu: 100 minut

Która z poniższych strategii daje najwyższą oczekiwaną stopę zwrotu (w PLN) w ciągu najbliższego roku przy przyjęciu powyższych założeń:

1. 
   zakup 5-letniej zerokuponowej obligacji denominowanej w USD,
   
2. 
   zakup po nominale 100 PLN rocznej obligacji zamiennej na 1,6 akcji spółki krajowej z rocznym kuponem 4,5%. Wykonanie zamiany na akcje oznacza również rezygnację przez inwestora z odsetek od obligacji. Zamiana może mieć miejsce wyłącznie w dniu wykupu obligacji,
   
3. 
   zakup rocznej europejskiej opcji typu put na kurs dolara amerykańskiego z ceną wykonania 4,6 PLN za 0,075 PLN,
   
4. 
   zakup rocznej europejskiej opcji put na akcję zagraniczną z ceną wykonania 20USD za 1,3 USD,
   
5. 
   zakup rocznej europejskiej opcji call na 5 letnią obligację zerokuponową denominowaną w PLN (o nominale 100PLN)z ceną wykonania 91,2 PLN za 1,3 PLN.
   

• 
  obecna cena akcji wynosi 45,
  
• 
  w każdym z trzech okresów cena akcji może zmienić się o 15% w odniesieniu do jej wartości z początku okresu, a prawdopodobieństwa zmian są jednakowe w każdym okresie,
  
• 
  wartość opcji call na akcję firmy X wygasającej na koniec pierwszego okresu i cenie wykonania 45 wyznaczona przy zastosowaniu tego samego modelu dwumianowego wynosi 4,79
  
• 
  efektywna stopa procentowa w okresie wynosi i = 8%.
  

Oblicz wartość amerykańskiej opcji put (podaj najbliższą wartość):

1. 
   0,93
   

2. 
   1,22
   

3. 
   1,48
   

4. 
   1,71
   

5. 
   1,97
   

1 USD = 4 PLN

roczna depozytowa stopa PLN = 7%

roczna depozytowa stopa USD = 3%

Ceny europejskich opcji walutowych na kurs USD z okresem wykonania 1 rok (1 opcja opiewa na 1 USD):

cena wykonania opcji (w PLN)	3,95	4,1	4,25	4,35	4,45
cena opcji put ( w PLN)	0,11	0,21	0,32	0,41	0,5

Bank oferuje swoim klientom roczną lokatę otwieraną w PLN, która po roku wypłaca jedną z dwóch (wybraną w dniu wypłaty przez Bank) kwot :

• 
  kwota w PLN : wartość depozytu w PLN powiększoną o 15% lub
  
• 
  kwota w USD : (wartość depozytu w PLN / 4 ) * (1+X)
  

Przy podanej wyżej bieżącej sytuacji na rynku finansowym, jakie najwyższe X może Bank zaoferować klientowi, który chce ulokować na powyższej lokacie 1 mln. PLN, aby mieć pewność osiągnięcia na niej zysku (podaj najbliższą wartość):

1. 
   9,60%
   
2. 
   10,10%
   
3. 
   11,60%
   
4. 
   12,10%
   
5. 
   12,60%
   

PLN/USD USD/EURO

kupno 4,5 1,2

sprzedaż 4,6 1,22

Kwotowania podawane są od strony Banku, tak więc inwestor jest np. w stanie kupić USD za 4,6 PLN (kurs sprzedaży Banku) oraz sprzedać EURO za 1,2 USD (kurs kupna Banku).

Ponadto możliwe jest dokonywanie przez inwestora depozytów i zaciąganie pożyczek według poniższych stóp procentowych (stopy w skali roku, pożyczki spłacane jednorazowo na koniec okresu wraz z odsetkami):

PLN USD EURO

oprocentowanie depozytu 5% 2% 3,5%

koszt pożyczki 6,5% 4% 5%

Kurs terminowy USD/EURO z gwarantowanym rozliczeniem transakcji za rok wynosi (nie ma wymogu depozytów zabezpieczających) – kwotowania od strony Banku:

USD/EURO

kupno 1,16

sprzedaż 1,18

Dla którego z poniższych kwotowań terminowych PLN/USD (z gwarantowanym rozliczeniem za rok, brak wymogu depozytów zabezpieczających) jest możliwy arbitraż (kwotowania podawane od strony Banku, kurs kupna jest kursem dostępnym klientowi, gdy sprzedaje on USD) ?

A) PLN/USD kupno : 4,51 sprzedaż : 4,56

B) PLN/USD kupno : 4,56 sprzedaż : 4,61

C) PLN/USD kupno : 4,61 sprzedaż : 4,66

D) PLN/USD kupno : 4,66 sprzedaż : 4,71

E) żaden z powyższych


Uwaga : PLN/USD - jest kwotowaniem w PLN za jednostkę USD

USD/EURO - jest kwotowaniem w USD za jednostkę EURO

1. 
   1,95
   
2. 
   2,08
   
3. 
   2,21
   
4. 
   2,4
   
5. 
   2,55
   

• 
  Pierwsza z nich jest rentą o rosnących w postępie arytmetycznym ratach, płatnych rocznie z góry. Pierwsza płatność z tytułu tej renty wynosi 100 zł, kolejne przyrosty wynoszą 50 zł.
  
• 
  Druga z nich jest rentą o ratach tworzących ciąg geometryczny o stopie wzrostu 5.5% i początkowej płatności równej 1000 zł oraz ratach płatnych rocznie z dołu.
  

Zakładamy, że stopa procentowa r jest w każdym roku zmienną losową o następującym rozkładzie dyskretnym (stopy w kolejnych latach są niezależnymi zmiennymi):

ri	P(r = ri)
3.0%	θ
4.5%	1 – θ

Wiadomo, że wartość obecna sumy płatności z tytułu obydwu rent na koniec drugiego roku (jest to jednocześnie początek trzeciego roku) obliczona przy stopie równej wartości oczekiwanej stopy procentowej r, stanowi 96.734% zdyskontowanych sum płatności tych rent z początku roku pierwszego i drugiego.

Rozważmy wartość sumy płatności z tytułu obydwu rent na koniec dziewiętnastego roku. Obliczyć różnicę pomiędzy wartością oczekiwaną wartości obecnej tej kwoty (przy założeniu, że w każdym roku stopa procentowa r ma powyższy rozkład) a wartością obecną tej kwoty obliczoną przy stopie równej wartości oczekiwanej stopy procentowej r.
Wskaż najbliższą wartość:

1. 
   1.70 zł
   
2. 
   2.70 zł
   
3. 
   3.20 zł
   
4. 
   3.70 zł
   
5. 
   4.00 zł.
   

1. 
   0.1235
   
2. 
   0.1435
   
3. 
   0.1635
   
4. 
   0.1835
   
5. 
   0.2035
   

1. 
   udziela kredytu 10-letniego, ze stałym oprocentowaniem i = 10%, spłacanego w równych rocznych ratach (na koniec roku),
   
2. 
   inwestuje w portfel akcji,
   
3. 
   nabywa jednostki uczestnictwa w funduszu inwestycyjnym.
   

Wariancja stopy zwrotu z akcji wynosi 400%, wariancja stopy zwrotu z funduszu inwestycyjnego wynosi 225%, stopy zwrotu z akcji i funduszu inwestycyjnego są doskonale ujemnie skorelowane. Ile wynosi kwota odsetek uzyskanych przez bank w piątej racie kredytu, jeżeli wiadomo, że proporcje inwestowania w akcje i fundusz inwestycyjny są ustalone tak, aby zminimalizować ryzyko portfela, udzielony kredyt jest inwestycją bez ryzyka, natomiast bank inwestuje w akcje środki równe dokładnie połowie kwoty udzielonego kredytu?

1. 
   28 803
   
2. 
   29 811
   
3. 
   30 854
   
4. 
   31 809
   
5. 
   32 713
   

• 
  odchylenie standardowe zmienności cen akcji wynosi σ = 0.3,
  
• 
  roczna stopa procentowa wolna od ryzyka wynosi 10%.
  
• 
  akcja nie wypłaca dywidendy.
  

T	0	0.05	0.1	0.15	0.2	0.25	0.3	0.35
N(t)	0.5000	0.5199	0.5398	0.5596	0.5793	0.5987	0.6179	0.6368
T	0.4	0.45	0.5	0.55	0.6	0.65	0.7	0.75
N(t)	0.6554	0.6736	0.6915	0.7088	0.7257	0.7422	0.7580	0.7734
t	0.8	0.85	0.9	0.95	1	1.05	1.1	1.15
N(t)	0.7881	0.8023	0.8159	0.8289	0.8413	0.8531	0.8643	0.8749
t	1.2	1.25	1.3	1.35	1.4	1.45	1.5	1.55
N(t)	0.8849	0.8944	0.9032	0.9115	0.9192	0.9265	0.9332	0.9394
t	1.6	1.6500	1.7	1.75	1.8	1.85	1.9	1.95
N(t)	0.9452	0.9505	0.9554	0.9599	0.9641	0.9678	0.9713	0.9744
t	2	2.05	2.1	2.15	2.2	2.25	2.3	2.35
N(t)	0.9772	0.9798	0.9821	0.9842	0.9861	0.9878	0.9893	0.9906
t	2.4	2.45	2.5	2.55	2.6	2.65	2.7	2.75
N(t)	0.9918	0.9929	0.9938	0.9946	0.9953	0.9960	0.9965	0.9970
t	2.8	2.85	2.9	2.95	3	3.05	3.1	3.15
N(t)	0.9974	0.9978	0.9981	0.9984	0.9987	0.9989	0.9990	0.9992

Ile wyniósł zysk inwestora z całego portfela po 1 miesiącu, jeżeli w tym czasie cena akcji spadła do 9,5 zł ? Odpowiedź (wskaż najbliższą wartość):

1. 
   617
   
2. 
   597
   
3. 
   577
   
4. 
   557
   
5. 
   537
   

Imię i nazwisko: .................................................................