Lekcja Trójkąty Rozgrzewka Trójkąty ogólne



Pobieranie 63.09 Kb.
Data29.04.2016
Rozmiar63.09 Kb.
Lekcja 5. Trójkąty

Rozgrzewka
Trójkąty ogólne

1. Jeśli miary kątów trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to jeden z tych kątów ma na pewno miarę”

A. ; B. ; C. ; D.
2.Jeżeli boki trójkąta mają długości 3, 7, b, to spełniony jest warunek:

A. 3<b<7; B. 4<b<10; C. 3<b<10; D. 4<b<7.


3.Proste AB i CD przedstawione na rysunku są równoległe. O trójkątach ABC i ABD można na pewno powiedzieć, że:

A. są podobne; B. mają równe pola;

C. są przystające; D. są prostokątne.
4.Najdłuższy bok trójkąta ma 12 cm, a miary jego kątów są w stosunku 1:2:3. Oblicz

pole tego trójkąta.


Zadanie 1

Zbadaj, czy istnieje trójkąt, w którym średni bok stanowi połowę najdłuższego, a najkrótszy 1/3 najdłuższego


Zadanie 2

Jakim rodzajem trójkąta, ze względu na kąty, jest trójkąt, w którym

a) miara jednego kąta jest większa od sumy miar dwóch pozostałych kątów;

b) suma miar każdej pary kątów jest większa od .

Odp. a) rozwartokątny, b) ostrokątny
Zadanie 3.

a) Oblicz miary kątów αi β.

b) Jaki jest stosunek pola trójkąta ABD do pola trójkąta ACD, jeśli ?


odp. a)

b)

Zadanie 4

Wykaż, że jeśli w trójkącie ABC poprowadzimy z wierzchołka C dwusieczną i wysokość, to kąt między nimi równa się


Zadanie 5

W trójkącie ABC długość środkowej CS jest równa , a wysokość poprowadzona z wierzchołka C zawiera się w dwusiecznej kąta ACS. Oblicz miary kątów trójkąta ABC.

Odp
Zadanie 6.

Dwusieczna kąta A w trójkącie ABC przecina bok BC w punkcie D. Z wierzchołków B i C poprowadzono proste prostopadłe do AD przecinające proste AC i AB odpowiednio w punktach E i F. Wykaż, że oraz, że punkty E, D, F są współliniowe



Zadanie 7

Wykaż, że jeżeli dwie środkowe trójkąta są prostopadłe, to suma kwadratów długości dwóch boków tego trójkąta, do których poprowadzono te środkowe, jest 5 razy większa od kwadratu długości trzeciego boku.


Zadanie 8

Wysokość CD trójkąta ABC ma długość 20 cm i tworzy z bokiem AC kąt α, taki że , a z bokiem BC kąt β, taki że tg β = 2. Wyznacz obwód trójkąta.

Odp.
Zadanie 9

Punkty D i E są odpowiednio środkami boków BC i AC trójkąta ABC, zaś O jest środkiem ciężkości tego trójkąta. Zakładając, że pole trójkąta AOE=s oblicz pole:

a) trójkąta BOD, b) czworokąta CDOE; c) trójkąta EOD

Odp. a) s, b) 2s, c)



Zadanie 10

Czy istnieje trójkąt, którego wysokości są równe 3, , 1?



Zadanie 11

W prostokątnym układzie współrzędnych dane są punkty . Oblicz pole trójkąta OPQ.

Odp.

Praca domowa
Rozgrzewka
1. Dwa boki pewnego trójkąta mają długości 4 i 12. Jedna z podanych niżej liczb, to długość trzeciego boku. Która?

A. 16; B. 18; C. 12; D. 7.


2. Długości boków AB i BC trójkąta ABC są odpowiednio równe 2 i 3. Podaj przedział do którego należy długość AC.

3 Miary kątów trójkąta są w stosunku 1:5:3. Ile stopni ma każdy z tych kątów?



Zadanie 1

Długości wszystkich boków trójkąta wyrażają się całkowitą liczbą centymetrów. Jeden z boków ma długość 1 cm, a drugi 3 cm. Oblicz obwód trójkąta.

Odp: obwód = 7.
Zadanie 2

Jakim rodzajem trójkąta, ze względu na kąty, jest trójkąt, w którym

a) miara jednego kąta jest sumą miar dwóch pozostałych;

b) miara jednego kąta jest mniejsza od sumy miar dwóch pozostałych kątów;

Rozw.

a) - prostokątny



b) - ostrokątny

Odp. a) prostokątny, b) ostrokątny.


Zadanie 3

Boki AB i BC trójkąta ABC mają odpowiednio długości i 2. Na boku AC tego trójkąta można znaleźć taki punkt M, że AM=BM=1. Oblicz miarę kąta ABC

Odp:
Zadanie 4

Zbadaj, czy istnieje trójkąt, w którym miara jednego z kątów równa się różnicy miar pozostałych kątów.


Zadanie 5

W trójkącie ABC poprowadzono środkową AD. Wykaż, że odległości punktów B i C od prostej AD są równe.


Zadamie 6

Dane są długości boków trójkąta . Wyznacz stosunek wysokości .

Odp

Lekcja 6. Trójkąt równoboczny i równoramienny
Rozgrzewka
1. Niech r oznacza promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a, a R promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Która równość jest nieprawdziwa?

A. ; B. ; C. ; D. .


2. Które z poniższych zdań dotyczy trójkąta równobocznego o boku 12?

A. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi .

B. Wysokość trójkąta wynosi ;

C. Pole trójkąta wynosi ;

D. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi .
3. Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie 12. Wysokość jest o 2 krótsza od ramienia trójkąta. Wyznacz długość wysokości tego trójkąta.
4. Jeśli jeden z kątów trójkąta równoramiennego mam miarę , to na pewno żaden z kątów tego trójkąta nie jest równy:

A. ; B. ; C. ; D.


Zadanie 1.

Na bokach AB, BC, CA trójkąta równobocznego ABC obieramy, odpowiednio, punkty D, E, F takie, że AD = BE = CF < AB. Wykaż, że punkty, w których przecinają się proste AE, CD, BF są wierzchołkami trójkąta równobocznego.


Zadanie 2

Wierzchołek P trójkąta równobocznego APB jest punktem wewnętrznym kwadratu ABCD. Oblicz miary kątów BPC, CPD, DPA.

Odp: ,
Zadanie 3
Półkole przedstawione na rysunku ma średnicę równą 12. Jakie pole ma zaznaczony obszar?

Odp.


Zadanie 4

W trójkącie równoramiennym ABC (AC=AB) środkowe poprowadzone z wierzchołków B i C są prostopadłe. Wyznacz stosunek długości boków AC i BC.

Odp.


Zadanie 5

Na rysunku mamy AB=BC . Wykaż, że trójkąt BDE jest równoramienny. Wskaż pary trójkątów przystających widocznych na rysunku.


Zadanie 6

Dwusieczne kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego ABC przecinają ramiona AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Wykaż, że czworokąt ABDE jest trapezem , który ma trzy boki równej długości. Oblicz to pole, jeżeli ramiona trapezu mają długość b, a podstawa a.


Praca domowa

Rozgrzewka

1. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy . Oblicz bok tego trójkąta.


2. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy . Oblicz bok tego trójkąta.
3. Wysokość trójkąta równobocznego jest równa . Oblicz jego pole.

4. Dany jest trójkąt ABC, w którym AC=BC=8, zaś wysokość CD=4. Znajdź kąty tego trójkąta.


Zadanie 1

Oblicz miary kątów trójkąta równoramiennego wiedząc, że wysokość opuszczona na podstawę trójkąta ma długość równą połowie długości podstawy.

Odp
Zadanie 2.

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC = CB. Na prostej AB obieramy dwa różne punkty D i E tak, aby AE = BD. Zbadaj, czy trójkąt ECD jest równoramienny.

Odp. Trzeba rozpatrzyć wszystkie przypadki położenia punktów C i D względem punktów A i B.
Lekcja 7. Trójkąt prostokątny
Rozgrzewka
1. Jedna z przyprostokątnych jest 3 razy dłuższa od drugiej przyprostokątnej. Długość przeciwprostokątnej jest równa 20. Wyznacz długość krótszej przyprostokątnej.
2. Boki trójkąta prostokątnego mają długości . Wyznacz x.

.

3. Na szczycie masztu o wysokości 5 m zamocowano dwie liny o długościach odpowiednio 15 m i 12 m. Oblicz odległość między punktami A i B. Wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.


4. Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego ma długość 122 cm, a pozostałe są w stosunku 11:60. Oblicz długości pozostałych boków.


5. Gdzie leży środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym?
6. Oblicz długość środkowej wychodzącej z wierzchołka kąta prostego w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej c.
Zadanie 1

Do końców dwóch dwumetrowych tyczek odległych od siebie o 10 m przywiązano sznur długości 11 m. Aby go napiąć umieszczono pośrodku między tyczkami trzecią tyczkę. Jaką wysokość ma ta tyczka?

Odp.
Zadanie 2

W trójkącie prostokątnym ABC z wierzchołka kąta prostego B poprowadzono wysokość BD i dwusieczną BP kąta DBC. Okazało się wówczas, że . Oblicz miary kątów trójkąta ABC i wykaż, że BP jest jego środkową.

Odp.
Zadanie 3

W trójkącie prostokątnym ABC, w którym kąt C jest prosty i , poprowadzono dwusieczną kąta B, przecinającą bok AC w punkcie D. Wykaż, że



Zadanie 4

Dwie środkowe trójkąta mają długości 12 i 9 i przecinają się pod kątem prostym. Oblicz długości boków tego trójkąta i długość trzeciej środkowej.

Odp. (trzecia środkowa)
Zadanie 5.

Przyprostokątna BC trójkąta prostokątnego ABC jest średnicą okręgu, który dzieli przeciwprostokątną AB na odcinki w stosunku1:3. Oblicz miary kątów ostrych trójkąta ABC

Odp.
Zadanie 6

Wyznacz miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego, jeśli odcinek dwusiecznej kąta prostego zawarty w trójkącie ma tę samą długość co jedna z przyprostokątnych.

Odp
Zadanie 7

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych AC i BC. Odcinek CD jest wysokością trójkąta, , a punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie. Wyznacz miarę kąta DCO.

Odp
Zadanie 8

W trójkącie ABC długości boku AC, wysokości BD i środkowej BE są odpowiednio równe . Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.

O
A

dp.


Zadanie 9

Wykaż, że w dowolnym trójkącie o bokach a, b, c i odpowiednich wysokościach zachodzi równość:


Praca domowa
Rozgrzewka
1. Dany jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 26 i jednej z przyprostokątnych 10. Oblicz pole tego trójkąta.
2. Boki trójkąta prostokątnego mają długości 5 i 13. Wyznacz długość trzeciego boku.
3. W trójkącie prostokątnym równoramiennym najdłuższy bok jest równy 2a. Oblicz długości pozostałych boków.
4. Najkrótszy bok trójkąta prostokątnego ma długość 12, a długości dwóch pozostałych boków różnią się o 2 cm. Oblicz długości pozostałych boków.



Zadanie 1

Oblicz długość odcinka x zaznaczonego na rysunku.

Odp.


Zadanie 2.

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę . Z wierzchołka kąta prostego poprowadzono wysokość i dwusieczną. Wyznacz miarę kąta zawartego między nimi.

Odp.


Zadanie 3

Dane są 3 okręgi zewnętrznie styczne o promieniach a, b, b. Dla jakich wartości a i b środki tych okręgów są wierzchołkami trójkąta prostokątnego?

Odp.
Zadanie 4

Znajdź wszystkie trójkąty prostokątne, których długości boków w cm są:



  1. trzema kolejnymi liczbami parzystymi;

  2. trzema kolejnymi wielokrotnościami liczby 3;

  3. trzema kolejnymi wielokrotnościami liczby 5;

  4. trzema kolejnymi wielokrotnościami ustalonej liczby naturalnej n.

odp: a) 6,8,10; b) 9,12, 15; c)15, 20, 25; d) 3n, 4n, 5n.
Zadanie 5

Długość jednej przyprostokątnej trójkąta prostokątnego stanowi 75% długości drugiej przyprostokątnej, natomiast przeciwprostokątna jest o 14 cm dłuższa od jednej z przyprostokątnych. Oblicz długości boków trójkąta.

Odp: 42, 56,70 lub 21, 28, 35.

Lekcja 8 i 9 Trójkąty, przystawanie i podobieństwo.
Rozgrzewka

1.Trójkąty ACD i BCD wpisano w okrąg. Które z podanych trójkątów są na pewno podobne?

A. AED i CDE; B. AED i BEC; C. CDE i BEC; D. ACD i BDC;

2. Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A’B’C’. Kąty przy wierzchołkach C i C’ są proste. Najdłuższy bok trójkąta A’B’C’ ma długość 39, a dwa krótsze boki trójkąta ABC mają długości 12 i 5. Oblicz skalę podobieństwa trójkątów.


3. Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A’B’C’. Pole trójkąta ABC jest równe 6 cm2, pole trójkąta A’B’C’ jest równe 24 cm2, zaś obwód trójkąta ABC jest równy 18 cm. Oblicz obwód trójkąta A’B’C’.

Zadanie 1 Wiadomo, że . Wskaż pary trójkątów podobnych widocznych na rysunku.
Zadanie 2.

Długości boków trójkąta ABC są równe 36, 63, 81. Wyznacz długości boków trójkąta DEF podobnego do trójkąta ABC, którego obwód jest równy 140.

Odp. 28, 49, 63
Zadanie 3.

Dane jest koło i punkt P należący do wnętrza koła. Przez punkt P prowadzimy średnicę AB dowolną cięciwę CD. Wykaż, że


Zadanie 4

Cięciwy AB i CD okręgu przecinają się w punkcie P. Wiedząc, że AB = 42, AP: PB = 3:4 i



CP : PD =1:3, oblicz długość odcinka CD.

Odp.


Zadanie 5

W trójkącie ABC mamy dane: AC=BC=b AB=a. Dwusieczne kątów A i B przecinają boki w punktach K i L. Oblicz KL.

Odp.
Zadanie 6

W trójkącie równoramiennym dane są: Podstawa AB=c, wysokość poprowadzona z wierzchołka C równa h. Oblicz długość boku kwadratu wpisanego w trójkąt tak, że dwa wierzchołki kwadratu należą do podstawy trójkąta, a dwa pozostałe do jego ramion.

Odp.
Zadanie 7

Trójkąt ABC, w którym AB=c, BC=a, AC=b podzielono prostą równoległą do boku AB na dwie części o równych polach Oblicz długości boków każdej z tych części.

Odp.
Zadanie 8

Znajdź miary kątów trójkąta równoramiennego, jeśli wiadomo, że dwusieczna kata przy jego podstawie odcina trójkąt podobny do danego trójkąta..

Odp.




Zadanie 9

i . Mając dane pole trapezu ABDE = s oblicz pole trójkąta FCG oraz pole trapezu EDGF

Odp.


Zadanie 10

Na przekątnej AC prostokąta ABCD obrano taki punkt K, że AK : KC = 2:3. Następnie z punktu poprowadzono półproste prostopadłe do boków DC i AD, przecinające te boki odpowiednio w punktach L, M. Zakładając, że pole prostokąta DMKL jest równe s oblicz pole prostokąta ABCD.

Odp.
Zadanie 11

W trójkącie równoramiennym ABC stosunek ramienia AC do podstawy AB jest równy 5:6. Wyraź za pomocą wysokości tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka C, odległość środka okręgu wpisanego w ten trójkąt od wierzchołka C.


Zadanie 12

Na rysunku obok przedstawiono prostokąt ABCD o bokach długości 3 i 8 oraz okrąg o średnicy AB . Jeden z punktów, w którym okrąg przecina bok CD prostokąta, oznaczono literą E.

a) Wykaż, że trójkąty ADE, BCE, ABE są podobne.

b) Oblicz długość odcinka ED.


Odp. ED =

Zadanie 13.

W trójkącie prostokątnym ABC poprowadzono odcinek DE równoległy do przeciwprostokątnej AB, taki, że . Długość tego odcinka jest równa długości przyprostokątnej AC, zaś kąt przeciwległy tej przyprostokątnej ma miarę α. Oblicz stosunek pola trójkąta DEC do pola trójkąta ABC.

Odp: s =

Praca domowa
Zadanie 1

. Oblicz DE, jeżeli BC:BD=3:2 i AC=9.

Odp.

Zadanie 2.

W trójkącie ABC dane są: AB=12, AC=6, BC=8. Poprowadzono prostą równoległą do boku AB, która przecięła bok AC w punkcie E odległym od punktu C o 2, a bok BC w punkcie F. Oblicz obwód trójkąta EFC.

Odp.
Zadanie 3

Cięciwy AB i CD okręgu przecinają się w punkcie K. Wykaż, że


Zadanie 4

Podstawy trapezu AB i CD mają odpowiednio długości 21 i 13. , a ramię AD ma długość 11. Proste zawierające ramiona przecinają się w punkcie S. Oblicz AS.

Odp.
Zadanie 5.

Przekątne AC i BD trapezu ABCD przecinają się w punkcie S w ten sposób, że AS : AC = 3:4. W jakim stosunku zostaną podzielone ramiona trapezu przez prostą równoległa do jego podstaw i przechodzącą przez punkt S

Odp.
Zadanie 6

Długości boków AB, BC, AC trójkąta ABC są odpowiednio równe 6 cm, 8 cm, 9 cm. Przez punkt M obrany na boku AC i dzielący ten bok w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka A, poprowadzono prostą . Oblicz długości boków trójkąta i trapezu, które w ten sposób powstały.

Odp. AM = 6, MC = 3, ,


Zadanie 7

oraz . Mając dane pole czworokąta ADEF równe s, oblicz pole trójkąta ABC.

Odp.


Zadanie 8

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach i przeciwprostokątnej c. Oblicz:

długości odcinków na jakie podzieliła przeciwprostokątną dwusieczna kąta prostego

Odp.


Zadanie 9

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Symetralna przeciwprostokątnej AB dzieli jedną z przyprostokątnych na odcinki o długości 3 cm i 6 cm. Wyznacz długość drugiej przyprostokątnej i przyległy do niej kąt ostry.

Odp.
Zadanie 10

Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równy 1:3. Wyznacz stosunek odcinków, na jakie wysokość CD podzieliła przeciwprostokątną AB.

Odp.
Zadanie 11

W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego ma długość 1, a przyprostokątna trójkąta ma długość 2. Oblicz pole tego trójkąta.



Odp.

Pobieranie 63.09 Kb.





©absta.pl 2020
wyślij wiadomość

    Strona główna