Mechanika kwantowa iib (Mechanika kwantowa układów wielu ciał)



Pobieranie 27.96 Kb.
Data08.05.2016
Rozmiar27.96 Kb.
Stanisław G. Rohoziński

Instytut Fizyki Teoretycznej UW




MECHANIKA KWANTOWA IIB

(Mechanika kwantowa układów wielu ciał)

2003



  1. Wstęp

Przedmiot zainteresowania mechaniki kwantowej wielu ciał: ilu ciał? Układy mikroskopowe, mezoskopowe i makroskopowe. Fermiony i bozony. Elektrony, nukleony i fotony. Cząstki identyczne. Mechanika kwantowa wielu ciał a mechanika relatywistyczna i kwantowa teoria pola.


  1. Sformułowanie mechaniki kwantowej wielu ciał

Przestrzeń konfiguracyjna: zbiór argumentów funkcji falowej układu wielu ciał – położenia cząstek, spiny cząstek, izospiny (rodzaje) cząstek. Liczba stopni swobody. Przestrzeń Hilberta funkcji falowych N cząstek. Hamiltonian układu wielu ciał. Oddziaływanie wielociałowe. Równanie Schroedingera. Operatory przestawiania cząstek. Grupa symetryczna (permutacji). Rząd grupy. Dekrement permutacji. Reprezentacje grupy permutacji. Diagramy Younga. Operatory symetryzacji i antysymetryzacji. Jednowymiarowe bazy reprezentacji. Grupa symetrii Hamiltonianu. Układ cząstek identycznych. Pojęcie nierozróżnialności cząstek. Postulat o nierozróżnialności cząstek identycznych. Postulat o „związku spinu ze statystyką”. Zasada Pauliego. Wektory stanu. Abstrakcyjna przestrzeń Hilberta. Podprzestrzenie stanów symetrycznych (bozonowa) i antysymetrycznych (fermionowa). Operatory jedno-, dwu- i wielociałowe. Ogólna postać oddziaływania dwuciałowego. Siły Wignera, Heisenberga, Majorany i Bartletta.


  1. Układy cząstek niezależnych

Hamiltonian układu cząstek niezależnych (nieoddziałujących). Ogólna postać potencjału jednociałowego (zewnętrznego). Stany jednocząstkowe. Jednocząstkowe liczby kwantowe. Funkcje falowe i energie własne układu cząstek niezależnych. Struktura przestrzeni Hilberta stanów cząstek niezależnych. Ortogonalność i zupełność w przestrzeni Hilberta. Układy niezależnych identycznych fermionów lub bozonów. Przestrzenie stanów fizycznych identycznych bozonów lub fermionów. Unormowanie stanów fizycznych. Zupełność przestrzeni stanów fizycznych. Wyznaczniki Slatera i permanenty. Liczby obsadzeń. Elementy macierzowe symetrycznych operatorów jedno- i dwucząstkowych pomiędzy stanami fizycznymi cząstek identycznych. Konstrukcja funkcji falowych wielu ciał o określonym całkowitym momencie pędu. Składanie momentów pędu. Współczynniki Clebscha-Gordana. Symbole 3nj. Tensory sferyczne. Twierdzenie Wignera-Eckarta.


  1. Przestrzeń Focka i reprezentacja liczby obsadzeń

Stan próżni. Stany o określonej liczbie cząstek. Przestrzeń Focka. Warunek zupełności w przestrzeni Focka. Standardowe uporządkowanie stanów jednocząstkowych. Reprezentacja liczby obsadzeń stanów układu fermionów lub bozonów w przestrzeni Focka. Ortogonalność i zupełność w reprezentacji liczby obsadzeń. Wartości średnie operatorów jedno- i dwucząstkowych dwucząstkowych reprezentacji liczby obsadzeń. Operatory kreacji i anihilacji cząstki w danym stanie. Operator liczby cząstek w danym stanie. Własności algebraiczne operatorów kreacji i anihilacji – reguły przemienności. Transformacje operatorów kreacji i anihilacji przy zmianach bazy stanów jednocząstkowych. Baza położeniowa: operatory pola. Wyrażenie operatorów jedno-, dwu- i wielocząstkowych przez operatory kreacji i anihilacji. Hamiltonian wielu ciał w reprezentacji liczby obsadzeń. Hamiltonian jako funkcjonał operatorów pola. Potencjały nielokalne. Operatory przekazu cząstek.


  1. Kwantowanie pola elektromagnetycznego

Równania fal elektromagnetycznych (równania Maxwella swobodnego pola elektromagnetycznego). Cechowanie Coulomba. Pole coulombowskie i pole promieniowania. Fala płaska. Polaryzacja kołowa. Skrętność fali płaskiej. Całki Fouriera na potencjał wektorowy, pola elektryczne i magnetyczne. Energia (Hamiltonian) swobodnego pola elektromagnetycznego. Hipoteza Plancka o kwantach energii. Fotony. Kwantowanie liczby fotonów. Operatory kreacji i anihilacji fotonów. Operator pola elektromagnetycznego. Hamiltonian pola elektromagnetycznego. Przestrzeń Focka dla fotonów. Oddziaływanie coulombowskie pomiędzy cząstkami naładowanymi. Oddziaływanie minimalne cząstek naładowanych z polem promieniowania. Przybliżenie nierelatywistyczne oddziaływania pola magnetycznego ze spinem cząstki. Pola multipolowe typu elektrycznego i magnetycznego. Emisja i absorpcja fotonów. Prawdopodobieństwo przejścia promienistego. Zredukowane prawdopodobieństwa przejść.


  1. Rozwiązywanie zagadnienia własnego Hamiltonianu wielu ciał

Diagonalizacja Hamiltonianu w bazie stanów cząstek niezależnych. „Zmieszanie konfiguracji”. Wymiary macierzy Hamiltonianu i ich ograniczenie – „obcięcie bazy”, wykorzystanie symetrii Hamiltonianu. Rachunek zaburzeń Rayleigha-Schroedingera.

Podział Hamiltonianu na część swobodną i zaburzenie. Operator rzutowy na stan swobodny. Równanie całkowe na stan zaburzony. Szeregi perturbacyjne na poprawki do funkcji falowej i energii własnej. Macierze gęstości – jedno- i dwucząstkowa. Wyrażenie wartości średnich operatorów przez ślady z macierzami gęstości.




  1. Ewolucja stanu kwantowego w czasie

Równanie Schroedingera na ewolucję czasową stanu kwantowego. Operator ewolucji czasowej. Równanie różniczkowe dla operatora ewolucji. Unitarność, składanie i sprzęganie operatora ewolucji. Równanie różniczkowe na wartości średnie operatorów jako funkcji czasu. Stany (niezależne od czasu) i operatory (zależne od czasu) Heisenberga. Równanie ewolucji czasowej operatorów Heisenberga. Hamiltonian w obrazie Heisenberga. Hamiltonian swobodny i zaburzenie (oddziaływanie). Ewolucja swobodna. Stany w obrazie oddziaływania (Diraca). Operatory w obrazie oddziaływania. Operator ewolucji w obrazie oddziaływania. Równanie całkowe na operator ewolucji. Operatory kreacji i anihilacji w obrazach Heisenberga i Diraca. Pola swobodne i pola Heisenberga. Równanie ruchu dla pola Heisenberga. Iloczyny chronologiczne operatorów – definicje Wicka i Dysona. Operatory Greena. Wyrażenie operatorów Heisenberga przez operatory Greena. Równanie ruchu dla operatorów Greena. Macierz gęstości stanu mieszanego w przestrzeni Focka. Funkcje Greena – mikrokanoniczna, kanoniczna i statystyczna (wielka kanoniczna). Związek jedno- i dwucząstkowej macierzy gęstości z funkcjami Greena.

  1. Rachunek zaburzeń dla funkcji Greena

Rozwiązanie iteracyjne całkowego równania ewolucji. Operator ewolucji w postaci iloczynu chronologicznego Dysona operatora wykładniczego. Szereg perturbacyjny dla operatora ewolucji w obrazie oddziaływania. Włączanie adiabatyczne oddziaływania. Stany Heisenberga opóźnione i przedwczesne. Operator S (ewolucja od - do +). Twierdzenie Gell-Manna i Lowa. Niezaburzony a zaburzony stan podstawowy. Stan opóźniony a przedwczesny. Szereg perturbacyjny na wartość średnią iloczynu chronologicznego operatorów Heisenberga. Szereg perturbacyjny dla jednocząstkowej funkcji Greena.


  1. Twierdzenie Wicka i transformacje kanoniczne

Iloczyn normalny operatorów kreacji i anihilacji. Zwężenie operatorów. Zwężenia pol swobodnych. Lemat o iloczynie normalnym. Twierdzenie Wicka. Transformacje kanoniczne operatorów kreacji i anihilacji. Unitarność transformacji kanonicznych dla fermionów (transformacji Bogolubowa). Operatory antyliniowe. Operator sprzężenia zespolonego. Odwrócenie czasu. Jednocząstkowy operator odwrócenia w czasie. Stany jednocząstkowe odwrócone w czasie. Degeneracja Kramersa. Szczególna transformacja Bogolubowa. Stany obsadzone i nieobsadzone – dziury i cząstki. Operatory pola dziur i cząstek. Zwężenia operatorów pól jako swobodne funkcje Greena (propagatory). Wyrażenie wyrazów szeregu perturbacyjnego jako sum po permutacjach argumentów iloczynów swobodnych funkcji Greena.


  1. Diagramy Feynmana

Elementy graficzne znakowanego diagramu Feynmana: wierzchołek znakowany argumentami x, t; skierowana od wierzchołka x’,t do wierzchołka x,t linia (ciągła) propagatora G0(xt,x’t’); linia (przerywana) oddziaływania (2πiλ/2h)v(x,x’) łącząca wierzchołki x,t i x’,t’. Przyporządkowanie diagramów wyrazom w szeregu perturbacyjnym. Rząd diagramu; znak diagramu; pętla zamknięta. Diagramy funkcji Greena i diagramy funkcji S. Węzły swobodne. Diagramy połączone i niepołączone. Twierdzenie Goldstone’a o diagramach połączonych. Diagramy nieznakowane. Ostateczna postać szeregu perturbacyjnego odpowiadająca diagramom nieznakowanym. Diagramy nieznakowane I i II rzędu. Jawna postać propagatora. Analiza fourierowska szeregu perturbacyjnego i całkowanie po czasach. „Ubieranie” linii propagatorów – linia podwójna odpowiadająca ścisłej funkcji Greena. Redukowalna i nieredukowalna część własna. Równanie Dysona.


  1. Przybliżenia nieperturbacyjne w problemach wielu ciał

Odwrotna funkcja Greena. Energia własna. Wzór na energię własną w I rzędzie rachunku zaburzeń. Ubieranie w linii diagramach energii własnej I rzędu – przybliżenie Hatree’go-Focka. Samozgodny Hamiltonian jednocząstkowy. Funkcje własne Hamiltonianu samozgodnego. Metoda iteracyjna rozwiązywania równań Hartree’go-Focka. Konstrukcja funkcji Greena w przybliżeniu Hartree’go-Focka. Metoda wariacyjna Hartree’go-Focka. Średni potencjał samozgodny. Średnie potencjały fenomenologiczne – modele powłokowe: atomowy i jądrowy. Metoda Hartree’go-Focka-Bogolubowa. Dwucząstkowa funkcja Greena w przybliżeniu Hartree’go-Focka. Część wierzchołkowa (oddziaływanie efektywne). Transformaty Fouriera dwucząstkowej funkcji Greena i części wierzchołkowej. Hierarchiczne równanie ruchu dla funkcji Greena. Związek pomiędzy energią własną a częścią wierzchołkową. Część wierzchołkowa w I rzędzie rachunku zaburzeń.
Przybliżenie drabinowe (Bruecknera) części wierzchołkowej. Równanie Bethego-Salpetera. Część polaryzacyjna,

Przybliżenie pętlowe (chaotycznej fazy – RPA) części polaryzacyjnej.



LITERATURA

na temat kwantowej teorii wielu ciał

Po polsku

  1. A.L. Fetter, J.D. Walecka, Kwantowa teoria układów wielu cząstek, (PWN, Warszawa, 1982)


W językach obcych

  1. A.A. Abrikosov, L.P. Gor’kov, I.E. Działoszynskij, Metody kvantovoj teorii pola w statisticzeskoj fizikie, (Gosizdat. Fiz.-Mat. Lit., Moskwa, 1962)

  2. F.A. Berezin, metod wtoricznogo kwantowania, (Nauka, Moskwa, 1986)

  3. J.P. Blaizot, G. Ripka, Quantum Theory of Finite Systems, (MIT Press, Cambridge, 1986)

  4. W.L. Boncz-Brujewicz, S.W. Tiablikow, Metod funkcji Greena w statisticzeskoj mechanikie, (Gosizdat. Fiz.-Mat. Lit., Moskwa, 1961)

  5. R.M. Dreizler, E.K.U. Gross, Density Functional Theory, (Springer, Heidelberg, 1990)

  6. L.P. Kadanoff, G. Baym, Quantum Statistical Mechanics, (Benjamin, New York, 1962)

  7. D.A. Kirżnic, Polewyje metody mnogich czastic, (Gosatomizdat, Moskwa, 1963)

  8. G.D. Mahan, Many-Particle Physics, (Plenum Press, New York, 1990)

  9. R.D. Mattuck, A Guide to Feynman Diagrams in the Many-Body Problem, (McGraw Hill, London, 1967)

  10. A.B. Migdał, Teoria koniecznych Fermi-sistem I swojstwa atomnych jadier, (Nauka, Moskwa, 1965)

  11. J.W. Negele, H. Orland, Quantum Many-Particle Systems, (Addison-Wesley, Redwood City, 1988)

  12. P. Nozieres, Theory of Interacting Fermi Systems, (Benjamin, Amsterdam, 1964)

  13. D. Pines, The Many-Body Problem, , (Benjamin, Amsterdam, 1961)

  14. G. Rickayzen, Green’s Functions and Condensed Matter, ( )

  15. D.J. Thouless, The Quantum Mechanics of Many-Body Systems, (Academic Press, New York, 1972)









©absta.pl 2019
wyślij wiadomość

    Strona główna