Niedziesiątkowe systemy liczenia



Pobieranie 68.77 Kb.
Data08.05.2016
Rozmiar68.77 Kb.
Niedziesiątkowe systemy liczenia
Do napisania i zajęcia się tym bardzo starym i powszechnym tematem skłoniła mnie sytuacja, która ma często miejsce na zajęciach matematyki w szkole podstawowej, gimnazjum a nawet szkole średniej. Otóż w kontakcie ucznia z pisaniem, czytaniem liczb wiąże się problem ich zaszeregowania do odpowiedniego systemu, większość uczniów nie wie lub nie zastanawia się skąd pochodzi nazwa systemu dziesiątkowego, dwójkowego.

W tej pracy postaram się uczniom przybliżyć historię, zasady funkcjonowania i wykonywania działań na liczbach w różnych systemach.


Pojęcie i historia systemów

Przez system liczbowy rozumiemy sposób zapisywania i nazywania liczb. Rozróżniamy pozycyjne systemy liczbowe i addytywne systemy liczbowe.

W pozycyjnych systemach liczbowych liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych znaków cyfrowych zależy od ich położenia (pozycji) względem sąsiednich znaków cyfrowych. Przykładami takiego systemu są m.in. dziesiątkowy system liczbowy, dwójkowy system liczbowy.

W addytywnych systemach liczbowych wartość przedstawionej liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. Na addytywnym systemie zapisu opierają się systemy liczbowe: hieroglificzny, rzymski, alfabetyczny.

Zanim system dziesiątkowy stał się systemem powszechnym, różne narody i plemiona posługiwały się innymi systemami. Na przykład system dwójkowy spotykano u niektórych plemion Australii i Polinezji. Układ piątkowy zaś u indiańskiego plemienia Szoszonów w Ameryce Południowej. Natomiast Majowie w I w. p.n.e. używali układu dwudziestkowego. Pozostałości niektórych systemów spotykamy do dnia dzisiejszego np. zastosowanie systemu dwunastkowego znajdujemy w podziale roku na 12 miesięcy. W handlu przetrwała jednostka tuzin. W miarach czasu i kąta zachował się częściowo system sześćdziesiątkowy, pochodzący od Babilończyków.

System dwójkowy jest powszechnie stosowany w maszynach cyfrowych dzięki następującym własnościom:



  • cyfry 0 i 1 łatwo jest realizować technicznie przez procesy fizyczne, w których wyróżnia się tylko dwa stany: jeden z nich reprezentuje 0, drugi 1; np. w elektronicznej maszynie cyfrowej element półprzewodnikowy może znajdować się w jednym z dwóch stanów- przewodzi prą elektryczny (cyfra 1) lub nie przewodzi (cyfra 0).

  • algorytmy działań w tym systemie są prostsze niż w innych systemach liczbowych

  • cyfry 0, 1 mogą być interpretowane jako wartości logiczne zdań

Aby uniknąć nieporozumień przyjęto następujące zapisy liczb w innych układach pozycyjnych niż dziesiątkowy, np. :

w dwójkowym (101)2 lub 101(2)

w czwórkowym (3210)4 lub 3210(4)


Liczbę np. 110(2) czytamy „jeden-jeden-zero w systemie dwójkowym” a nie „sto dziesięć”.


Przykłady budowy systemów liczenia





  1. System dziesiątkowy:




    • do zapisywania każdej liczby wystarczy 10 cyfr (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

    • jednostka każdego następnego rzędu licząc od końca jest dziesięć razy większa od rzędu poprzedniego




  1. System dwójkowy:




    • do zapisywania każdej liczby wystarczają dwie cyfry (0,1)

    • jednostka każdego następnego rzędu jest dwa razy większa od jednostki rzędu poprzedniego




  1. System ósemkowy:

    • dowolne liczby zapisujemy za pomącą nie więcej niż ośmiu cyfr (0,1,2,3,4,5,6,7)

    • jednostka każdego następnego rzędu jest 8 razy większa od jednostki poprzedniego rzędu

Każdą liczbę naturalną można przedstawić w dowolnym systemie wg schematu:


system

dziesiąt-kowy



rząd, pozycja

0

1

2

3

4

5

jednostka rzędu

1

100



10

101



100

102



1000

103



10000

104



100000

105



system

dwójkowy


rząd, pozycja

0

1

2

3

4

5

jednostka rzędu

1

20



2

21



4

22



8

23



16

24



32

25



system trójkowy

rząd, pozycja

0

1

2

3

4

5

jednostka rzędu

1

30



3

31



9

32



27

33



81

34



243

35



system

piątkowy


rząd, pozycja

0

1

2

3

4

5

jednostka rzędu

1

50



5

51



25

52



125

53



625

54



3125

55


A więc każda liczba naturalna m może być zapisana w postaci:

m=cnqn+cn-1qn-1+...+c2q2+c1q+c0, nN 0

gdzie liczby c0, c1,... , cn są równe 0,1, ... , q-1 oraz cn0.


Jeśli np. chcemy zapisać liczbę 53 w systemie dwójkowym, możemy ją zapisać w postaci sumy, której składniki są potęgami liczby 2 ( od największej do najmniejszej)
53= 32+21=32+16+5=32+16+4+1=

125+124+023+122+021+120=110101(2)

Chcąc zapisać liczby w systemach pozycyjnych o podstawie większej niż dziesięć należy dysponować większą ilością cyfr. Np. w systemie szesnastkowym bierzemy pierwszych 10 cyfr zgodnych z systemem dziesiątkowym, zaś dalsze to:

A oznacza 10 w syst. dziesiątkowym

B „ 11 „

C „ 12 „


D „ 13 „

E „ 14 „


F „ 15 „
A więc liczba (D4)16 oznacza 212 w systemie dziesiątkowym.

Działania w systemach innych niż dziesiątkowy





  1. System dwójkowy- jeśli przy dodawaniu otrzymujemy dwie jednostki rzędu niższego, zapisujemy je jako jedną jednostkę rzędu następnego, np.

101(2)

+ 11(2)

_____________

1000(2)




  1. System trójkowy- jeśli w wyniku dodawania otrzymujemy w jakimś rzędzie trzy jednostki, stanowią one wtedy jedną jednostkę rzędu następnego, np.

1201(3)

+ 212(3)

_____________

2120(3)

Odejmowanie w innych systemach wykonuje się analogicznie jak w systemie dziesiątkowym, np.
1201(3)

- 212(3)



_____________

212(3)


Ponieważ w odjemnej jest mniej jedności niż w odjemniku „rozmieniamy” jedną jednostkę rzędu 2 (dziewiątkę) na 3 jednostki rzędu poprzedniego (pierwszego), zostawiając w tym rzędzie 2 jednostki, a jedną „rozmieniamy” na 3 jedności, otrzymujemy 4 jedności. Odejmujemy jedności 4-2=2, następnie cyfry rzędu pierwszego 2-1=1 itd.
Obliczając iloczyny i ilorazy liczb naturalnych w systemach niedziesiątkowych korzystamy z tabel mnożenia .
Tabelka w systemie dwójkowym:


x

0

1

0

0

0

1

0

1

Tabelka w systemie trójkowym:




x

0

1

2

0

0

0

0

1

0

1

2

2

0

2

11

Tabelka mnożenia w systemie piątkowym:





x

0

1

2

3

4

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

2

0

2

4

11

13

3

0

3

11

14

22

4

0

4

13

22

31

Mnożąc liczby sposobem pisemnym, korzystamy z tablic mnożenia, np.


212(3)

x 22(3)



________

1201


+ 1201

______________

20211(3)

Do wykonania dzielenia sposobem pisemnym wystarcza znajomość tabeli mnożenia, gdy dzielnik nie przekracza podstawy systemu liczenia.
Zamiana systemu liczenia
Jest kilka sposobów przedstawiania liczby w innym systemie niż jest obecnie:


  • jeżeli mamy liczbę np. w systemie czwórkowym i chcemy przedstawić ją w systemie piątkowym, zapisujemy tę liczbę najpierw w systemie dziesiątkowym, a potem z systemu dziesiątkowego przechodzimy na piątkowy wg wcześniej opisanej metody

  • wykonując operację innym sposobem można wykonać prościej: chcąc przejść z podaną liczbą z systemu dziewiątkowego na trójkowy , należy każdą cyfrę liczby zapisać jako liczbę dwucyfrową w układzie trójkowym:



1

0

2

3

8

4

(9)

1

00

02

10

22

11

(3)

Czyli:


102384(9) = 10002102211(3)
Mam nadzieję, że przybliżyłem Ci pojęcie, nazwę i sposoby pisania liczb w różnych systemach. Korzystając głównie z systemu dziesiątkowego warto pamiętać też o innych systemach.


Publikację opracował :


Zenon Szubarczyk- nauczyciel

Publicznego Gimnazjum Nr 3



w Białej Podlaskiej






Pobieranie 68.77 Kb.





©absta.pl 2020
wyślij wiadomość

    Strona główna