Podstawowe struktury algebraiczne



Pobieranie 281.89 Kb.
Strona1/10
Data08.05.2016
Rozmiar281.89 Kb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

A B


PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE
przez system algebraiczny rozumiemy:

(X, ), X – zbiór niepusty, : XnX (n  Z+) – dane odwzorowanie, zwane n-argumentowym działaniem w X. (n=0 – wyróżniamy element x  X; n = 1 – działanie jedno arg.; n = 2 – działanie binarne).

(X, ),  działanie binarne – grupoid

Def. Grupoid nazywamy półgrupą, jeżeli  jest działaniem łącznym, tzn.

Uwaga: (  * - notacja muliplikatywna,   + - notacja addytywna).



Def. Działanie binarne  o własności: nazywamy przemiennym. (Np. (N, ) (x,y) = xy nie jest przemienne)

Def. (X, ) – grupoid: element e o własności nazywamy elementem jednostkowym działania .

Lemat: Element jednostkowy, jeżeli istnieje, to jest jedyny. J:

element jednostkowy: lewy (el) el x = x, prawy (ep) x ep = x. Jeśli istnieje ep i el , to ep = el = e.

notacja: addytywna  e  1; multiplikatywna  e  0.

Def. Półgrupę (X, ) z jednością o własności: nazywamy grupą.

Lemat: Element x’ jest jedyny.
Bezpośrednia definicja grupy

Grupa to system algebraiczny (X, ) z jedynym działaniem binarnym , przy czym spełnione są żądania:



  1. Działanie  jest łączne:





Lemat: Półgrupa (X, ) jest grupa wtedy i tylko wtedy, gdy: 1) 2)

Fakt: Jeżeli (G, ) jest grupą, to dla każdego a, b G równanie: (a, x) = b | (x, a) = b ma jedno rozwiązanie

J: (a, x) = b. Przypuśćmy, że rozwiązanie x istnieje to a  a-1 (a-1, (a, x) = ((a-1, a), x) = (e, x) = x, prawa strona równania: (a-1, b), stąd: x = (a-1, b). x = (a-1, b) spełnia równanie: (a, x) = b: (a, (a-1, b)) = ((a, a-1), b) = (e, b) = b

Uwaga:  = G0G – nazywamy podgrupą, jeżeli G0 jest podzbiorem zamkniętym ze względu na działanie grup.
Pierścień: To system algebraiczny z wyróżnionym układem dwóch działań binarnych (R, +, ) przy czym: 1) (R, +) jest grupą przemienną ( gr. Abelowa); 2) (R, ) jest półgrupą ( łączne); 3) rozdzielność działania  względem działania +, tzn. . Jeśli działanie  przemienne – pierścień przemienny. Jeśli działanie  ma element jednostkowy – pierścień z jednością.
Ciało: (K, +, )  (K, +, , 0, 1), przy czym: 1) (K, +, ) jest pierścieniem z jednością; 2) (K \ {0} , +, 1) jest grupą
Przestrzeń liniowa:

Def. Strukturą liniową zbioru X (X = ) nad ciałem K nazywamy układ dwóch odwzorowań: 1) XxX  (x, y)  x + y  Xwynik dodawania w X; 2) KxX  (, x)  x  X – mnożenie elementów przez skalary ciała.

  1. (X, +) – jest grupą abelową (przemienną)

  2. ( + ) x =  x +  x |  (x + y) =  x +  y |  ( x) = ( ) x | 1x = x

Def. Parę uporządkowaną (X, ), gdy jest strukturą liniową w X nad K, nazywamy przestrzenią liniową nad ciałem K.

Def. Jeżeli X0 jest niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej X, to pary (X0, ) nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej X.

Lemat (elementarne własności przestrzeni liniowej):

1) x 0x = x0 = 0 | 0x1 +(x1 + x2) = (0x1 + 1x1) + x2 = (0 + 1)x1 + x2 = 1x1 + x2 = x1 + x2 | podobnie x10 + (x1 + x2) = x1 + x2x + 0 = x

2) x = 0 = 0 lub x = 0

3) – (x + y) = - x - y | (x - y) = x - y


Układy elementarne w przestrzeni liniowej

Układy skończone: X – przestrzeń liniowa nad K, x1, ... , xnX.

Def. Każdy element postaci x = 1 x1 + ... + n xn i K nazywamy kombinacją liniową (o współczynnikach 1, ..., n) rozpiętą na układzie skończonym.

Def. Układ skończony nazywamy:

1) liniowo niezależnym, jeżeli 1 x1 + ... + n xn = 0  1 = ... = n = 0.

2) liniowo zależnym, gdy nie jest niezależnym, więc istnieją niezerowe współczynniki 1, ..., n, że 1 x1 + ... + n xn = 0

Tw. Układ {e |   A} jest liniowo niezależny, jeżeli każdy jego podukład skończony jest liniowo niezależny.

Def. Jeżeli E = {e |   A} jest układem elementów przestrzeni liniowych X nad K, to zbiór span E jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych rozpiętych na układzie E. . span E jest podprzestrzenią X (powłoka liniowa rozpięta na zbiorze E).

Tw. (podstawowe) X przestrzeń liniowa nad K. Jeżeli B0 jest zbiorem liniowo niezależnym w X, to istnieje maksymalny zbiór liniowo niezależny B  B0

Def. Bazą przestrzeni liniowej X nazywamy każdy maksymalny podzbiór liniowo niezależny B.

Wn. Każda przestrzeń liniowa X nad K ma bazę.

Wn. Jeżeli przestrzeń liniowa X ma bazę to zachodzi jednoznaczna reprezentacja

Komentarz: Zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B, jeżeli istnieje bijekcja f:AB. Piszemy wtedy A~B mówiąc, że zbiory A i B są równoliczne.

Postulat: Jeżeli A jest zbiorem, to odpowiada jemu (?) przedmiot card A XA nazywamy liczbą kardynalną zb. A. Przy tym: dwa zb. A, B mają tą samą liczbę kardynalną wyłącznie wtedy, gdy są równoliczne, a więc card A= card B A~B Np. A={1,...,n} B={1,...,m}, A~B  m=n

Tw. W przestrzeni liniowej dowolne dwie bazy są równoliczne [B1,B2 - bazy w X, to card B1 = card B2]

Def. Wymiarem przestrzeni liniowej X nad ciałem K nazywamy moc bazy tej przestrzeni: dim X = card B | B - baza w X ( cardk B) Np. dim Rn=n ; dimQ R=

Tw. Przestrzeń liniowa X nad K jest skończenie wymierna jeżeli dim X = n (nZ+) - przestrzeń n-wymiarowa




  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10


©absta.pl 2019
wyślij wiadomość

    Strona główna