Prawdopodobieństwo i statystyka 12. 2005 r



Pobieranie 40.03 Kb.
Data04.05.2016
Rozmiar40.03 Kb.

Prawdopodobieństwo i statystyka 5.12.2005 r.

___________________________________________________________________________



Zadanie 1.

W konkursie złożonym z trzech etapów startuje niezależnie n uczestników. Prawdopodobieństwo, że uczestnik odpadnie po pierwszym etapie jest równe . Prawdopodobieństwo, że uczestnik, który przeszedł etap pierwszy, odpadnie w etapie drugim też jest równe . Niech K oznacza liczbę uczestników, którzy odpadli w pierwszym etapie, zaś M liczbę uczestników, którzy odpadli w etapie drugim. Jeżeli , to prawdopodobieństwo dla jest równe


(A)
(B)
(C)

(D)


(E)

Zadanie 2.

Niech T oznacza liczbę pełnych okresów przeżytych przez pacjenta po pewnej operacji. Załóżmy, że T jest zmienną losową o rozkładzie geometrycznym



, ,

przy czym jest nieznanym parametrem. Obserwujemy losową grupę 100 niezależnych pacjentów, przy czym



  • dla tych pacjentów, dla których , znamy T dokładnie,

  • jeżeli pacjent żyje co najmniej sześć okresów, to jego czas życia jest nieznany, zatem dla każdego z pozostałych pacjentów wiemy tylko, że .

Estymujemy na podstawie tych obserwacji. Wyznacz wartość estymatora największej wiarogodności parametru wiedząc, że:

  • suma okresów życia pacjentów, którzy przeżyli co najwyżej 5 pełnych okresów jest równa 120;

  • liczba tych pacjentów jest równa 40.

(A)


(B)
(C)
(D)
(E)

Zadanie 3.

Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego , a niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego . Wszystkie zmienne są niezależne, a parametry są nieznane. Testujemy hipotezę przy alternatywie . Hipotezę H odrzucamy, gdy spełniona jest nierówność



,

gdzie , i .

Wyznacz c tak, aby rozmiar testu był równy 0,05.
A) 0,9063
(B) 0,5538
(C) 0,5504



  1. 0,4973

(E) 0,5474



Zadanie 4.

Skuteczność strzelca mierzymy prawdopodobieństwem trafienia w cel pojedynczym strzałem (w pewnych odpowiednio wystandaryzowanych warunkach). W pewnej populacji strzelców (załóżmy dla uproszczenia, iż jest to populacja nieskończona) rozkład skuteczności jest jednostajny na przedziale .

Wybieramy przypadkowego strzelca, który oddaje 12 strzałów. Zakładamy, że prawdopodobieństwo trafienia w kolejnej próbie nie zależy od wyniku prób poprzednich. Okazuje się, że wybrany strzelec trafił 7 razy. Prosimy go o oddanie trzynastego strzału. Prawdopodobieństwo, iż tym razem trafi jest równe


























Zadanie 5.

Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym , gdzie są nieznanymi parametrami. Niech , . Wyznacz estymator nieobciążony o minimalnej wariancji parametru


(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

Zadanie 6.

Rzucamy trzema sześciennymi kostkami do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kostkami, na których nie wypadły „jedynki”. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kostkami, na których do tej pory nie wypadły „jedynki”.

Oblicz prawdopodobieństwo, że po trzech rundach na wszystkich kostkach będą „jedynki” (wybierz najbliższą wartość).
(A) 0,021

(B) 0,050

(C) 0,026
(D) 0,017
(E) 0,075

Zadanie 7.

Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie zadanym gęstością



Wyznacz , gdzie jest ustaloną liczbą z przedziału .



























Zadanie 8.

Zmienne losowe mają jednakową wartość oczekiwaną , jednakową wariancję i współczynnik korelacji dla . Zmienne losowe są nawzajem niezależne oraz niezależne od zmiennych losowych i mają rozkłady postaci . Oblicz wariancję zmiennej losowej .


(A)
(B)
(C)
(D)
(E)


Zadanie 9.

Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu wykładniczego o gęstości



gdzie jest nieznanym parametrem. Dla parametru zakładamy rozkład a priori o gęstości



Estymujemy parametr przy funkcji straty postaci



.

Wyznacz estymator bayesowski a parametru , jeżeli zaobserwowano próbkę i .


(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Wskazówka: Wartość estymatora bayesowskiego a, gdy obserwowana zmienna losowa przyjmuje wartość x, minimalizuje ryzyko a posteriori , czyli wartość oczekiwaną funkcji wyznaczoną, gdy ma rozkład a posteriori.

Zadanie 10.

Załóżmy, że dysponujemy pojedynczą obserwacją z rozkładu , gdzie jest rozkładem normalnym i jest rozkładem Laplace’a o gęstości



.

Rozważmy zadanie testowania hipotezy



przeciw alternatywie



.

Podaj rozmiar testu najmocniejszego, jeśli wiadomo, że obszar krytyczny testu jest sumą przedziałów rozłącznych, z których jeden jest równy .


(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka

Arkusz odpowiedzi*


Imię i nazwisko : .......................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ............................
Pesel ...........................................


Zadanie nr

Odpowiedź

Punktacja

1

D




2

A




3

D




4

E




5

B




6

E




7

C




8

D




9

A




10

C















* Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

 Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.






©absta.pl 2019
wyślij wiadomość

    Strona główna