Spójność światła Klasyczny opis rzeczywistych źródeł światła



Pobieranie 40.65 Kb.
Data08.05.2016
Rozmiar40.65 Kb.

Andrzej J. Wojtowicz

Wykład z fizyki ogólnej III

IF UMK, Toruń

semestr zimowy 2008


WYKŁAD 11, uzupełnienie

Spójność światła

Klasyczny opis rzeczywistych źródeł światła


Rozważając interferencję fal elektromagnetycznych emitowanych przez dwa źródła punktowe S1 i S2 przyjęliśmy, że fale te opisane są następującymi wyrażeniami:

,

skąd wynika, że różnica faz 2πδ pomiędzy obu falami w dowolnym punkcie P jest stała i zależy wyłącznie od różnicy dróg (r1-r2). Średnia w czasie wartość natężenia wypadkowej fali wynosi wówczas:



i, ponieważ różnica faz 2 jest stała w czasie (choć zależna od położenia punktu P), przestrzenny rozkład wypadkowego natężenia jest także niezmienny w czasie. Na odpowiednio umieszczonym ekranie zaobserwujemy prążki interferencyjne, a wielkość:



,

którą możemy wyznaczyć doświadczalnie, nazwiemy widzialnością, kontrastem lub stopniem spójności (Imax, Imin są natężeniami odpowiednio w prążku jasnym i ciemnym). W rozważanym przypadku wielkość ta przyjmie wartość:



,

a o źródłach S1 i S2 powiemy, że są ze sobą całkowicie spójne. Emitowane przez oba źródła fale są ze sobą dokładnie skorelowane a obszar spójności, tzn obszar, w którym, po wstawieniu ekranu można obserwować prążki z maksymalnym kontrastem , jest nieograniczony.

Niestety, w rzeczywistości nigdy tak nie jest i wiąże to się w sposób podstawowy z charakterem rzeczywistych źródeł światła opartych na emisji spontanicznej (znacznie lepiej może być w przypadku laserów; wynika to stąd, że są to źródła światła oparte na emisji wymuszonej, a nie spontanicznej). Rzeczywiste źródła światła składają się bowiem z ogromnej liczby nieskorelowanych ze sobą elementarnych emiterów (wzbudzonych atomów lub cząsteczek). Klasycznie emitery te (wzbudzone atomy Lorentza) możemy opisać jako tłumione oscylatory harmoniczne, rozpoczynające emisję w różnej dla każdego atomu, przypadkowej chwili czasu tj. Załóżmy, że obserwujemy pewne źródło światła w dostatecznie długim czasie T, w którym wzbudzone zostanie N atomów. Wypadkowa fala elektromagnetyczna, emitowana przez zbiór takich oscylatorów (czyli źródło światła) będzie, dla 0 < t < T, opisana wyrażeniem:

,

z tym, że poszczególne składniki sumy są różne od zera tylko dla tj < t < T. Jak widzimy, nawet pierwszy człon nie całkiem dokładnie odpowiada nieograniczonej w czasie funkcji cosinus, ze względu na występowanie dodatkowego czynnika ze stałą  (nie /2, po podniesieniu do kwadratu będziemy mieli ), opisującego tłumienie oscylatora (odwrotność stałej  będzie równa czasowi życia wzbudzonego atomu). To jest komplikacja, ale to nie byłby jeszcze taki wielki problem (szkoda, że nie mamy więcej czasu, moglibyśmy go, z pomocą analizy Fouriera, dokładnie rozwiązać), prawdziwy problem wynika natomiast z istnienia drugiego członu. Ten drugi człon jest pewną liczbą zespoloną, której amplituda i faza zmieniać się będą chaotycznie w funkcji czasu t. Wynika to z włączania się, w miarę upływu czasu, kolejnych oscylatorów. Oczywiście wkład tych “wcześniejszych” oscylatorów będzie, ze względu na tłumienie, coraz mniej istotny tak, że co prawda całkowite natężenie będzie w miarę stałe, ale oczekiwać możemy pewnych “skoków” wartości fazy i amplitudy. Tak więc, w miarę upływu czasu początkowa duża korelacja pomiędzy “początkowymi” i “aktualnymi” wartościami amplitudy, ale przede wszystkim fazy wypadkowej fali, będzie malała i nawet jedno źródło światła przestaje być, w miarę upływu czasu, spójne ze sobą samym (taki rodzaj spójności, zależny od czasu, nazywamy spójnością czasową lub podłużną; zależy ona od monochromatyczności emitowanego światła). Oznacza to także, że dwa różne źródła światła oparte na emisji spontanicznej nie mogą być w ogóle spójne ze sobą; wyjątek stanowić mogą tylko wtórne źródła światła, które wzbudzane są przez to samo źródło pierwotne (np otwory lub szczeliny w ekranie oświetlonym przez to samo źródło S, to nie jest przypadek, że tylko tak można zaobserwować interferencję). Z drugiej strony należy podkreślić, że dla każdych dwóch źródeł prążki interferencyjne tak naprawdę to wystąpią; problem w tym, że będą się one bardzo szybko zmieniać w czasie, przesuwać itd, nie dając stabilnego obrazu interferencyjnego.

Należałoby zatem przyjąć, w naszych rozważaniach nad interferencją fal ze źródeł S1 i S2, że źródła te są w rzeczywistości źródłami wtórnymi i że emitowane przez nie fale nie muszą być ze sobą aż tak dokładnie skorelowane. Aby jakoś uwzględnić opisane wyżej efekty możemy przyjąć, że różnica faz, oprócz stałego wyrazu zależnego od różnicy dróg optycznych, zawierać będzie także inny, zmienny w czasie wyraz. Wielkość  może wówczas przyjąć każdą z wartości zawartych pomiędzy 0 i 1, a w szczególnym przypadku, gdy  = 0 i prążki interferencyjne w ogóle nie wystąpią, powiemy, że obie fale są ze sobą nieskorelowane, a źródła całkowicie niespójne. Warto sobie uświadomić, że w takim przypadku natężenie wypadkowe w każdym punkcie ekranu jest po prostu sumą natężeń z obu źródeł.

Z naszej dotychczasowej dyskusji wynika, że pojęcie spójności można odnieść nie tylko do źródeł światła, które działając jednocześnie wnoszą swoje wkłady do całkowitego pola promieniowania. (Możemy w tym sensie mówić o spójnych, niespójnych, lub częściowo spójnych źródłach światła.) Ponieważ jednak dwa różne źródła światła nie mogą być spójne ze sobą, pojęcie to właściwie ma sens tylko dla wtórnych źródeł światła wzbudzanych tym samym źródłem pierwotnym, albo, innymi słowy, możemy mówić o korelacji faz i amplitud pomiędzy polami w dwóch różnych punktach przestrzeni wytwarzanymi przez jedno i to samo źródło pierwotne. Możemy po prostu przyjąć, że stopień spójności pomiędzy dwoma źródłami wtórnymi, którymi są dwa małe otworki w ekranie, jest także stopniem spójności pomiędzy dwoma odpowiadającymi im punktami w polu promieniowania źródła pierwotnego i jest, wobec tego, cechą charakteryzującą to pole.

Wiemy zatem jak doświadczalnie scharakteryzować spójność pola promieniowania dowolnego źród­ła! To proste, choć może pracochłonne; wystarczy zmierzyć wielkość  dla każdej pary punktów w tym polu...

Spójność w polu promieniowania źródła rozciągłego - twierdzenie van Citterta-Zernikego


Interesujący i ważny praktycznie jest problem spójności w polu promieniowania pochodzącego od rozciągłego źródła składającego się z wielkiej liczby całkowicie ze sobą niespójnych źródeł elemen­tarnych. (Ciekawe, czy w takich warunkach można w ogóle mówić o jakiejkolwiek spójności?). Rozpatrzymy zatem interferencję Fraunhofera na dwóch otworkach umieszczonych w ekranie (układ współrzędnych xy) oświetlonym przez rozciągłe źródło umieszczone w układzie współrzędnych OXY. Prążki interferencyjne obserwować będziemy na ekranie obserwacyjnym, z tym, że punkt obserwacji P umieszczamy na osi  równoległej do prostej, na której umieszczone są dwa otworki (rys. 59) (spo­dziewamy się przecież prążków prostopadłych do tej osi). Punkt P0 leży na normalnej do ekranu z otworkami, która przechodzi przez punkt O i jeden z otworków, Pr. Otworek Pr traktować będziemy jako referencyjny; będziemy badać strukturę interferencyjną (widzialność prążków) dla zmieniającej się odległości s. W ten sposób spróbujemy zbadać spójność pomiędzy dwoma punktami w polu pro­mieniowania źródła rozciągłego w funkcji ich wzajemnej odległości. Zakładamy, że odległości w układzie (tzn L) są wystarczająco duże, żeby można było stosować podejście Fraunhofera.




Rys. 1. Rozciągłe źródło światła oświetlające ekran z dwoma identycznymi otworkami. Oś  jest równoległa do linii, na której leżą otworki.

Weźmy pod uwagę element powierzchni źródła d o współrzędnych X, Y. Ponieważ L jest bardzo duże może­my przyjąć, że:



.

Natężenie światła emitowanego przez element źródła d w punkcie Pr wyniesie:



,

gdzie współczynnik proporcjonalności, N(,), jest mocą emitowaną przez element źródła d z jednostki powierzchni źródła i w jednostkowy kąt bryłowy. Natężenie światła w punkcie P, od ele­mentu d i od obu otworów, Pr i P, wyniesie:



,

gdzie drugi wyraz jest czynnikiem interferencyjnym dla dwóch otworów, czynnikiem, który uwzglę­dnia różnicę faz pochodzących od tych otworów fal. W eksponencie sinusy zostały zastąpione kąta­mi; całe zaś wyrażenie jest analogiczne do tego, które wyprowadziliśmy przedtem dla N otworów, a także, jako specjalny przypadek, dla dwóch otworów.

Zakładamy dalej, że fale emitowane przez różne elementy źródła są ze sobą całkowicie niespójne. Zatem nie ma potrzeby uwzględniania dodatkowej różnicy faz, wystarczy sumować natężenia:



.

Ponieważ pierwsza całka po prawe stronie jest całkowitym natężeniem światła wysyłanego przez całe źródło w punkcie Pr, wyrażenie na I(P) można zapisać w postaci:



,

gdzie i .

Zapisując (x,y) jako: ,

otrzymamy ostatecznie: ,

wyrażenie, które dla  = 1 i  = 0 przechodzi w wyrażenie I(P) = 2 I(Pr) (1 + cos 2). Identyczny wzór otrzymaliśmy przy założeniu pełnej spójności pomiędzy źródłami S1 i S2. Z kolei dla  = 0 ma­my I(P) = 2 I(Pr), wyrażenie charakteryzujące natężenie wypadkowej fali z dwóch źródeł przy całkowitym braku spójności. Dla   0 otrzymamy zatem prążki jasne i ciemne, przy czym odległość po­między kolejnymi prążkami jasnymi będzie wynosiła:

,

tak jak poprzednio i tak jak zawsze dla doświadczenia Younga. Z postaci wzoru na I(P) wynika także, że moduł zespolonej wielkości (x,y), tzn , będzie równy widzialności prążków czyli stopniowi spójności:



.

Wielkość (x,y) będziemy za Zernikem nazywali zespolonym stopniem spójności. Gdyby w praktyce było możliwe wyznaczenie położenia punktu P0 to przesunięcie zerowego prążka względem tego punktu (o ile można rozpoznać, który z nich to prążek zerowy) pozwoliłoby także wyznaczyć wielkość  czyli fazę, co pozwoliłoby na wyznaczenie wielkości zespolonej (x,y) choć, z drugiej strony, nie bardzo w tej chwili wiemy, jaki sens fizyczny może mieć ta faza tzn kąt . Wydaje się na razie, że wszystko czego możemy potrzebować to wielkość ; wystarcza ona w zupełności do scharakteryzowania spójności pola promieniowania pochodzącego od badanego źródła rozciągłego.

Zbadajmy dokładniej wyrażenie na (x,y), które otrzymaliśmy wyżej:

.

Korzystając z następujących związków: ,

gdzie  i  są kątami ustalającymi położenie drugiego otworu w punkcie (x,y) względem początku układu współrzędnych OXY, możemy dokonać zamiany zmiennych; od (x,y;,) do (‘,‘;X,Y). Nie będzie problemu z funkcją N(,), możemy przejść do zmiennych X, Y przez podstawienie N(,) = N(X/L,Y/L) = N’(X,Y), powyższe relacje pozwalają także na zamianę zmiennych w eksponencie. Ostatnia sprawa, to dd = dXdY/L2. Podstawiając wszystko co potrzeba otrzymamy:

.

Dla przypomnienia, niedawno wyprowadziliśmy wyrażenie na czynnik dyfrakcyjny dla otworu o kształcie opisanym funkcją T(x,y):



,

gdzie położenie punktu P możemy opisać albo przy pomocy zmiennych X2, Y2 albo 2, 2 (X2/L = sin2, Y2/L = sin2). Porównując oba wyrażenia widzimy, że są one bardzo podobne. Mamy zatem sposób na obliczenie stopnia spójności w punkcie (x,y) w polu promieniowania pochodzącego od rozciągłego źródła światła. W obliczeniach tych należy założyć, że interesujące nas źródło światła zostało zastąpione przez ekran z otworem o kształcie tego źródła. Ekran ten jest oświetlony przez (hipotetyczne) punktowe źródło światła umieszczone w kierunku 1 = 1 = 0 (czyli na osi optycznej) w odpowiednio dużej od tego ekranu odległości. Interesujący nas punkt (x,y) powinien oczywiście znaleźć się na ekranie obserwacyjnym umieszczonym prostopadle do osi optycznej. Wartość zespolonego czynnika dyfrakcyjnego w punkcie (x,y) odpowiadająca opisanej wyżej hipotetycznej sytuacji będzie równa zespolonemu stopniowi spójności pomiędzy punktem (x,y) i punktem odniesienia Pr (leżącym na osi optycznej) w polu promieniowania wytworzonym przez interesujące nas źródło rozciągłe. Równość stopnia spójności i amplitudy hipotetycznego fraunhoferowskiego obrazu dyf­rakcyjnego jest treścią tzw twierdzenia van Citterta-Zernikego, które właśnie udowodniliśmy.

Twierdzenie van Citterta-Zernikego daje nam pożyteczne narzędzie do rozwiązywania różnych problemów związanych z interferencją i dyfrakcją, jak trochę pobieżnie, ale jednak pokażemy za chwilę, kiedy rozważymy dwa różne przykładowe zagadnienia; problem spójnego i niespójnego oświetlenia powierzchni przez źródła rozciągłe i interferometr gwiazdowy Michelsona.

Spójne i niespójne oświetlenie płaszczyzny przez rozciągłe źródło światła


Na rys. 2 pokazano dwa sposoby oświetlenia powierzchni . W części a) rozciągłe źródło oświetla ekran  poprzez układ składający się z otworka w ekranie umieszczonym w płaszczyźnie ogniskowej soczewki. Dla obserwatora na powierzchni  efektywne źródło znajduje się w nieskończoności, a jego wymiar kątowy  jest równy a/f, gdzie a jest średnicą otworka a f ogniskową soczewki. Ponieważ pierwsze minimum dla dyfrakcji na otworze kątowym odpowiada wartości 1.22/, wymiar obszaru spójności s0 wyniesie:





Rys. 2. Dwa sposoby oświetlenia powierzchni; a) wysoki stopień spójności, b) niski stopień spójności punktów na powierzchni  pomimo przybliżonej równości kątów .
.

Dla a = 0.1 mm i f = 10 cm, f/a = 103 i s0  103  0.5 mm. Wartość ta wydaje się intuicyjnie dość niewielka; wydawać by się mogło, na pierwszy rzut oka, że ponieważ każdy punkt źródła jest rzutowany na całą niemal oświetloną część płaszczyzny o średnicy soczewki i że część wspólna różnych rzutów jest bardzo duża, wymiar obszaru spójności powinien być niemal równy średnicy soczewki. Rozumowanie to jest jednak błędne (czy wiecie, gdzie jest błąd?), widać, że warto mieć bardziej dokładną metodę analizy; dostarcza jej właśnie twierdzenie van Citterta-Zernikego. Oczywiście, bardzo łatwo “poprawić” nasz wynik; nie wysililiśmy się na razie zbyt mocno. Można łatwo zmniejszyć otworek, a także dobrać soczewkę o dłuższej ogniskowej i uzyskać s0 rzędu 104. W drugim przypadku, b), prosta analiza sugeruje zerowy stopień spójności, z optyki geometrycznej wynika bowiem, że każdy punkt źródła jest obrazowany na jeden tylko punkt ekranu, a tymczasem różne punkty źródła są ze sobą niespójne (czyli każde dwa punkty na ekranie są niespójne). Tak zupełnie źle jednak nie jest ze względu na dyfrakcję. Z punktu widzenia obserwatora na powierzchni  źródłem światła jest soczewka; co prawda zastępujący ją (w analizie van Citterta-Zernikego) otwór będzie duży i blisko leżący, ale jednak wystąpi ugięcie światła, które powinno dawać pewien, chociaż bardzo niewielki obszar odpowiadający krążkowi Airy’ego. Spodziewamy się zatem, że obszar spójności będzie rzędu 1.22/, co przy  około 10-20 (co daje z grubsza połowę radiana) daje na s0 wartość zaledwie 2-3 (mało, ale jednak nie zero).


Interferometr gwiazdowy Michelsona - pomiar średnicy kątowej gwiazd


Innego bardzo interesującego przykładu zastosowania twierdzenia van Citterta-Zernikego dostarcza interferometr gwiazdowy, skonstruowany przez Michelsona, amerykańskiego fizyka polskiego pochodzenia. Interferometr gwiazdowy to jedna z kilku odmian interferometru Michelsona, jednego ze sławniejszych i szeroko używanych przyrządów optycznych (inna jego wersja służy między innymi do pomiarów tzw spójności podłużnej, o której wspomnieliśmy kiedyś na marginesie; ta spójność, którą omawialiśmy i omawiamy to tzw spójność poprzeczna).

Interferometr gwiazdowy Michelsona umożliwia pomiar spójności pomiędzy punktami w polu promieniowania, odległymi nawet o 15 m (Mt. Wilson Laboratory). Jest to możliwe dzięki zastosowaniu czterech zwierciadeł, z których dwa (nr 2 i 3 na rys. 61) są nieruchome, a dwa pozostałe (nr 1 i 4) mogą być rozsuwane na odległość d nie ograniczoną wymiarami soczewki. W doświadczeniu obserwuje się strukturę interferencyjną charakterystyczną dla doświadczenia Younga oraz widzialność prążków w funkcji odległości d pomiędzy zwierciadłami 1 i 4 w celu znalezienia takiej odległości d0, dla której prążki przestają być widzialne. Zwróćmy uwagę, że odległość pomiędzy prążkami na ekranie jest określona przez znacznie mniejszą i stałą odległość d’; dzięki czemu odległość między prążkami jest znacznie większa i stała. Umożliwia to wyznaczenie prawdziwej wartości d0 bez ryzyka, że prążki przestaną być rozróżnialne (zleją się), a nie, że przestaną być widzialne.

Prążki znikną, gdy stopień spójności pomiędzy punktami wyznaczonymi przez środki dwóch zew­nętrznych zwierciadeł będzie równy zero. Z twierdzenia van Citterta-Zernikego wynika, że nastąpi to wtedy, gdy odległość d będzie równa odległości pomiędzy maksimum i pierwszym zerem rozkładu Fraunhofera dla otworu, którym zastępujemy gwiazdę. Odległość ta wyniesie:

,

gdzie D jest średnicą gwiazdy, L odległością do gwiazdy, a  jej średnicą kątową.






Rys. 3. Interferometr gwiazdowy Michelsona. Zastosowa­nie czterech zwierciadeł umożliwia osiągnięcie bardzo dużych odległości pomiędzy otworami, a więc badanie bardzo dużych obszarów spójności charakteryzujących odległe świecące obiekty o skrajnie małych rozmiarach kątowych (gwiazdy).

W ten sposób można wyznaczyć średnicę kątową gwiazdy, a także, o ile znamy odległość L, jej rzeczywistą średnicę D. Pierwszy taki pomiar wykonał współpracownik Michelsona, Pease, dla gwiazdy imieniem Betelgeuza (to pewnie jedna z tych o większej średnicy ). Prążki zniknęły dla d0 = 306.5 cm pomimo, że były one ciągle dobrze widoczne dla innych gwiazd. Średnicę Betelgeuzy wyliczono na 4.1x108km, więcej, niż orbita Ziemi (3x108km).



wykład 11 bis, str.





©absta.pl 2019
wyślij wiadomość

    Strona główna