Tabela Przykład macierzy wypłat z punktem siodłowym

Dwa konkurujące przedsiębiorstwa A (zwane graczem A) i B (zwane graczem B), zajmujące się produkcją pralek, mają do wyboru po trzy strategie działania. Dla gracza A: A₁ – produkcja 30 tys. sztuk, A₂ – produkcja 60 tys. sztuk i A₃ – produkcja 90 tys. sztuk. Natomiast dla gracza B: B₁,- produkcja 20 tys. sztuk, B₂, – produkcja 40 tys. sztuk i B₃ – produkcja 60 tys. sztuk. W tabeli 2. przedstawione są wypłaty obu przedsiębiorstw w mln zł. Określić, którą strategię powinny wybrać przedsiębiorstwa A i B oraz jakie osiągną wypłaty?

	B1	B2	B3
A1	5	2	6
A2	4	3	5
A3	-1	1	-2

	B1	B2	B3	MIN	MAX
A1	5	2	6	2	3
A2	4	3	5	3
A3	-1	1	-2	-2
MAX	5	3	6
MIN	3

Na rynku działają dwa przedsiębiorstwa, które zajmują się produkcją kosiarek do trawy. Przedsiębiorstwo A ma do wyboru cztery strategie działania: A₁ - produkcja 5 tys. sztuk, A₂ – produkcja 15 tys. sztuk, A₃ – produkcja 25 tys. Sztuk. Przedsiębiorstwo B ma również do wyboru cztery strategie B₁, B₂, B₃ i B₄, gdzie B₁ - produkcja 5 tys. sztuk, B₂ – produkcja 15 tys. sztuk, B₃ – produkcja 25 tys. sztuk oraz B₄ - produkcja 35 tys. Sztuk. W tabeli 5 przedstawione są wypłaty obu przedsiębiorstw w mln zł. Które strategie powinny stosować przedsiębiorstwa A i B oraz jakie osiągną wtedy wypłaty?

Zgodnie z regułą maksiminu gracz A wybiera wartości minimalne: 0, 5, 1 i 3, a następnie z nich wartość maksymalną 5. Gracz B natomiast wybiera wartości 12, 10, 7 i 10, a następnie z nich wybiera wartość minimalną 7.

	B1	B2	B3	B4	MIN	MAX
A1	12	13	5	7	5	5
A2	7	1	8	8	1
A3	0	8	4	5	0
MAX	12	13	8	8
MIN	8

W przypadku gdy macierz wypłat jest macierzą wygranych gracza A, strategia zdominowana (X^A) to strategia o wartościach nie większych od wartości innej strategii (Y^A) gracza A. Mówimy wtedy, że strategia X^A została zdominowana przez strategię Y^A. Tej strategii gracz A nie powinien stosować w ogóle. Dla gracza B, strategia zdominowana (X^B) to strategia o wartościach nie mniejszych od wartości innej strategii (Y^B) gracza B. Mówimy wtedy, że strategia X^B została zdominowana przez strategię Y^B. Tej strategii gracz B nie powinien stosować w ogóle.

W zadaniu strategią zdominowaną gracza A jest strategia A₃, natomiast strategią zdominowaną gracza B jest strategia B₄. Tych strategii gracze nie powinni stosować. Przy określaniu modeli liniowych dla obu graczy pomija się te strategie.

Przyjmujemy następujące zmienne dla gracza A:

V- wygrana gracza A

x₁ - częstość stosowania strategii A₁

x₂ - częstość stosowania strategii A₂

Model dla gracza A przedstawia się następująco:

Warunki:

Obustronnie 1, 2 i 3 ograniczenie dzielimy przez V:

otrzymując:

Następnie dokonujemy podstawienia oraz :

Ponieważ:

stąd funkcja celu ze zmiennymi przyjmuje następującą postać:

Ostatecznie model liniowy przyjmuje postać:

Powyższy model rozwiązujemy na układzie współrzędnych. Rozwiązaniem optymalnym jest punkt o współrzędnych (7/99;8/99).

Ponieważ , oraz :

Na podstawie podstawień oraz :

Odpowiedź: Gracz A (przedsiębiorstwo A) powinien stosować strategię A1 (produkować 5 tys. sztuk) z częstością oraz strategię A2 (produkować 15 tys. sztuk) z częstością , strategii A3 (produkować 25 tys. sztuk) nie powinien stosować w ogóle, wtedy jego wygrana wyniesie 6,6 mln. zł.

Dla gracza B przyjmujemy następujące zmienne:

V- przegrana gracza B

y₁ - częstość stosowania strategii B₁

y₂ częstość stosowania strategii B₂

y₃ - częstość stosowania strategii B3

Model dla gracza B przedstawia się następująco:

Warunki:

Obustronnie 1 i 2 ograniczenie dzielimy przez V.

otrzymując:

Następnie dokonujemy podstawienia , oraz

Ponieważ:

stąd funkcja celu ze zmiennymi przyjmuje następującą postać:

Ostatecznie model liniowy dla gracza B przyjmuje postać:

W celu znalezienia rozwiązania dla gracza B wykorzystujemy twierdzenie o komplementarności (niech (x₁^’, x₂^’,..., x_n^’) oraz (y₁^’, y₂^’,..., y_m^’) będą rozwiązaniami dopuszczalnymi odpowiednio modeli z funkcją Fc^’ oraz G^’). Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby oba te rozwiązania były optymalnymi jest aby spełniony był układ równań:

Na tej podstawie otrzymujemy następujące równania:

Podstawiając za , otrzymujemy:

Stąd:

Następnie otrzymujemy:

W dalszej kolejności rozwiązujemy układ równań:

Stąd:

otrzymujemy:

Na podstawie , oraz otrzymujemy:

Odpowiedź: Gracz B nie powinien stosować strategii B1 (produkować 5 tys. sztuk) natomiast strategię B2 (produkować 15 tys. sztuk) powinien stosować z częstością oraz strategię B3 (produkować 25 tys. sztuk) z częstością , strategii B4 (produkcja 35 tys. sztuk) nie powinien stosować w ogóle (produkować 35 tys. sztuk), wtedy jego przegrana (strata) wyniesie 6,6 mln. zł.

Na rynku działają dwa przedsiębiorstwa, które zajmują się produkcją kosiarek do trawy. Przedsiębiorstwo A ma do wyboru trzy strategie działania: A₁ – produkcja 10 tys. sztuk, A₂ – produkcja 20 tys. sztuk, A₃ – produkcja 30 tys. Sztuk. Przedsiębiorstwo B ma również do wyboru cztery strategie B₁, B₂, B₃ i B₄, gdzie B₁ - produkcja 10 tys. sztuk, B₂ – produkcja 20 tys. sztuk, B₃ – produkcja 30 tys. sztuk oraz B₄ - produkcja 40 tys. Sztuk. W tabeli 5 przedstawione są wypłaty obu przedsiębiorstw w mln zł. Które strategie powinny stosować przedsiębiorstwa A i B oraz jakie osiągną wtedy wypłaty?

Zgodnie z regułą maksiminu gracz A wybiera wartości minimalne: 7, 6, i 5 a następnie z nich wartość maksymalną 7. Gracz B natomiast wybiera wartości 12, 8, 14, 8, a następnie z nich wybiera wartość minimalną 8. W przypadku tego zadania nie znajdujemy rozwiązania w zbiorze strategii czystych (punktu siodłowego), należy więc znaleźć rozwiązanie modeli liniowych dla obu graczy.

	B1	B2	B3	B4	MIN	MAX
A1	9	7	13	8	7	7
A2	6	8	8	8	6
A3	12	5	14	6	5
MAX	12	8	14	8
MIN	8

Wartość V należy do przedziału (7;8).

Przyjmujemy następujące zmienne dla gracza A:

V- wygrana gracza A

x₁ - częstość stosowania strategii A₁

x₂ - częstość stosowania strategii A₂

x₃ - częstość stosowania strategii A₃

Model dla gracza A przedstawia się następująco:

Warunki:

Zmienne x₁, x₂ i x₃ określają częstość stosowania poszczególnych strategii gracza A: A₁, A₂ i A₃ Obustronnie 1 i 2 ograniczenie dzielimy przez V.

otrzymując:

Następnie dokonujemy podstawienia , oraz

Ponieważ:

stąd funkcja celu ze zmiennymi przyjmuje następującą postać:

Ostatecznie model liniowy przyjmuje postać:

Ponieważ powyższy model zawiera 3 niewiadome nie możemy rozwiązać go na układzie współrzędnych. Zaczynamy więc od poszukiwania rozwiązania dla gracza B.

Dla gracza B przyjmujemy następujące zmienne:

V- przegrana gracza B

y₁ - częstość stosowania strategii B₁

y₂ częstość stosowania strategii B₂

Model dla gracza B przedstawia się następująco:

Warunki:

Zmienne y₁, y₂ określają częstość stosowania poszczególnych strategii gracza B: B₁, B₂. Zmienna V określa wartość przegranej gracza B.

Obustronnie 1, 2 i 3 ograniczenie dzielimy przez V.

Warunki:

otrzymując:

Warunki:

Następnie dokonujemy podstawienia oraz

Ponieważ:

stąd funkcja celu ze zmiennymi przyjmuje następującą postać:

Ostatecznie model liniowy przyjmuje postać:

Powyższy model rozwiązujemy na układzie współrzędnych. Rozwiązaniem optymalnym jest punkt o współrzędnych (1/30;3/30).

Ponieważ , oraz :

Na podstawie podstawień oraz :

Odpowiedź: Gracz B powinien stosować strategię B₁ (produkować 10 tys. sztuk) z częstością oraz strategię B₂ (produkować 20 tys. sztuk) z częstością , strategii B₃ oraz B₄ nie powinien stosować w ogóle, wtedy jego wygrana wyniesie 7,5 mln. zł

W celu znalezienia rozwiązania dla gracza A wykorzystujemy Twierdzenie o komplementarności (model dla gracza A ze zmiennymi jest modelem dualnym dla modelu dla gracza B ze zmiennymi ) i otrzymujemy następujące równania:










Podstawiając za , otrzymujemy:

Stąd:

Następnie otrzymujemy:

W dalszej kolejności rozwiązujemy układ równań:

Stąd:

otrzymujemy:

Na podstawie , oraz otrzymujemy: