W
1 kin
ykład 1
Literatura
między innymi:
1. Jan Misiak Mechanika Techniczna t. 2 WNT
2. Jerzy Leyko Mechanika Ogólna t. 1 i t. 2, PWN
3. L. M. Laudański Mechanika porządkiem
geometrycznym wyłożona t. 1 WPW
4. E. Antoniuk Zadania z mechaniki ogólnej t.2 WPW
itd.
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się badaniem ruchu ciał materialnych.
Mechanika ogólna, zwana również mechaniką teoretyczną,
zajmuje się ustaleniem ogólnych praw ruchu ciał materialnych oraz zastosowaniem tych praw do pewnych wyidealizowanych schematów ciał rzeczywistych jakimi są
punkt materialny oraz ciało doskonale sztywne.
Mechanikę ogólną dzielimy na dwa zasadnicze działy:
kinematykę i dynamikę.
Kinematyka zajmuje się badaniem ilościowym ruchu ciał niezależnie od czynników fizycznych wywołujących ruch, jest więc pewnego rodzaju geometrią ruchu w czasie.
Dynamika rozpatruje ruch ciał materialnych w zależności od sił działających na te ciała.
Ciało doskonale sztywne stanowi przybliżony model ciała stałego i wystarczy dla rozwiązania niektórych ważnych dla zastosowań przypadków ruchu i równowagi.
Hydromechanika gałąź mechaniki zajmująca się badaniem ruchu cieczy.
Aeromechanika gałąź mechaniki zajmująca się badaniem ruchu gazów.
Pierwsze podstawy kinematyki i dynamiki zostały stworzone przez Galileusza (1564-1642), a następnie przez
Newtona (1642-1772).
R
2 kin.
uchem ciała nazywamy zachodzącą w czasie
zmianę jego położenia względem innego ciała, które
umownie przyjmujemy za nieruchome.
Układ związany z ciąłem nieruchomym nazywamy układem odniesienia.
Z powyższego wynika, że przed przystąpieniem do badania
ruchu jakiegoś ciała należy najpierw ustalić, względem jakiego innego ciała ruch te będziemy badali. Przestrzeń,
w której w ten sposób określamy położenie punktów, nosi nazwę przestrzeni Euklidesa.
   satelita
     zS ziemia
   yS
  
  xS Rys.1
    z satelita
 y
 
 
 ziemia x Rys.2
Równania ruchu punktu we współrzędnych prostokątnych
    z l
   A r promień wektor
 
 r z y
   Rys.3
x
 x y
W 3kin przypadku gdy punkt porusza się, czyli zmienia
z upływem czasu swoje położenie wówczas
 x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t) (1)
P ołożenie początkowe położenie punktu w chwili t = 0
T or punktu linia będąca miejscem geometrycznym
chwilowych położeń punktu (linia l rys.3)
Jeśli torem punktu jest linia płaska to może być
 np. z = con. wtedy: x = f1(t), y = f2(t), (2)
P romień wektor r jest funkcją wektorową czasu i
  i oznaczamy to r = r (t) (3)
J eśli początek r pokrywa się z początkiem układu 0xyz to
 rx = x(t), ry = y(t), rz = z(t) (4)
  z
 z(t)
  A
   k r
    0 y(t) y
  i j
  x(t) Rys.4
x
r = i x(t) + j y(t) + k z(t) (5)
Przykład 1
Punkt A porusza się w po płaszczyźnie, przy czym jego
równania ruchu mają postać:
 x = a sin(kt), y = b cos2(kt) (6)
gdzie a, b oraz k oznaczają pewne stałe. Należy wyznaczyć
tor punktu A.
Rozwiązanie
jeśli x i y mają miano np. cm to a i b też muszą być w cm
j eśli t są mierzone w sekundach to k ma miano rad sek
lub 10/s.
z
4kin
równań (5)  ,  (a)
k orzystając ze związku  (b)
wstawiając (a) do (b) otrzymujemy równanie toru
   stąd  (7)
Torem punktu A jest parabola przedstawiona na rys.5.
Jak wynika z równań ruchu (6), współrzędne poruszającego się punktu muszą spełniać następujące warunki:   .
Torem punktu nie jest cała parabola a tylko jej łuk A1,Ao,A2. W chwili początkowej tj. t = 0 punkt znajduje się
w wierzchołku paraboli Ao.
y
    Ao A
 
  A1 -a +a A2 x
Rys.5
Równania ruchu punktu we współrzędnych krzywoliniowych Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie
    y l
 A r = f1(t), φ = f2(t)
  
 y r φ
  x, = 0 Rys.6
 x
   (8)
W
5kin
spółrzędne biegunowe w przestrzeni
z
   r = f1(t)
 φ = f2(t) (9)
z A = f3(t)
  
 r y
        O x
x
φ
 Rys.7
 x
  (10)
Współrzędne walcowe
 z
    r’ = f1(t)
 φ = f2(t) (11)
 z z = f3(t)
 y A
      y
x r’ z
φ
x Rys.8
x = r’cos φ, y = r’ sin φ, z z (12)
R
6kin
ównanie ruch punktu na torze
Gdy punkt A porusza się po torze, współrzędna s jest
pewną funkcją czasu. Równanie ruchu ma wtedy postać:
  (13)
równanie to nosi nazwę równanie ruchu punktu na torze.
   A
  z s(t)
  Ao
   l
  O y
Jeśli dla t = 0 jest s = 0
x Rys.9 i s(t) jest rosnące to
s jest drogą punktu A
w czasie t.
Przykład 2
Punkt A porusza się na płaszczyźnie, przy czym jego równania ruchu we współrzędnych prostokątnych są następujące:
  ,  (a)
gdzie a i oznaczają stałe. Wyznaczyć tor punktu, oraz
równanie ruchu punktu na torze.
Rozwiązanie
 x2 + y2 = a2 (b)
Torem punktu jest okrąg o promieniu a (rys.10)
 y
     A
  a φ=ωt y a = OA
  O x x
  Ao
 Rys.10 x = a cosφ, y = a sinφ (c)
Z
7kin
porównania równań (a) i (c) wynika że:
φ = t
Zgodnie ze wzorem (13) równanie ruchu punktu na torze
ma postać:
s = aφ = at
Prędkość i przyśpieszenie punktu
Prędkość średnia i chwilowa (Jan Misiak st.23, tom II
  Kin. i Dyn.)
   V s A2 Vśr
           A1 tor punktu A
    r
 r = r2 (t2) – r1(t1) (14)
 r1 r2 s = A1A2
0 Rys.11
Wektorem prędkości średniej nazywamy stosunek przyrostu
 r promienia wektora w dwóch położeniach do czasu t potrzebnego na przejście z pierwszego położenia w drugie
 (15)
gdzie t = t2 – t1 czas potrzebny na przejścia punktu A z położenia A1 do A2.
Wektor prędkości średniej ma kierunek r
Wektorem prędkości chwilowej punktu A nazywamy granicę, do której dąży wektor prędkości średniej, gdy przyrost czasu t dąży do zera  (16)
 Wektor prędkości V jest styczny do toru punktu.
W
8kin
artość bezwzględna wektora prędkości
  (17)
W układzie współrzędnych prostokątnych (rys.4)
  (a)
 (b)
  (18)
przyrównując (b) z (18) otrzymujemy:
   (19)
 z Vz
   
        V
 A
       z(t) Vy
Vx
l
   0 y(t) y
 x(t)
 Rys.15
x
W
9kin
artość bezwzględna prędkości:
  (20)
Przykład 3
Należy wyznaczyć prędkość punktu poruszającego się w jednej płaszczyźnie, którego równania ruchu mają następującą postać:
 x = 5cos(0.1t) cm, y = 3sin(0.1t) cm, t sek
Określić wartość prędkości dla t = 1.4 sek oraz współrzędne punktu A. Rozwiązanie
Rugując z równań ruchu czas t otrzymujemy równanie toru
 torem punktu jest elipsa (rys.16)
 y
    V
  A
  x
 A0
Rys.16
Zgodnie z wzorami (19) mamy:
10kin
Określenie wartości współrzędnych punktu A:
x = 5cos (0.11.4) = 4.9511cm, y = 3sin (0.11.4) = 0.4186cm
|
