Wykład drugi

Logika i matematyka

{ a₁, a₂, ... , a_n}, dla n-elementowego zbioru, gdy n > 1 jest liczbą naturalną.

(1) Z_φ={x: φ(x)}

G. Malinowski Logika ogólna, s. 166

x - nazwa (dowolnego) przedmiotu

{x: W(x)} – operator abstrakcji; {x: } wiąże zmienną x

y{x: W(x)} – y jest elementem zbioru takich x, że zachodzi W(x)

Prawo eliminacji operatora abstrakcji
y{x: W(x)}  W(y)
Relacje między elementami a zbiorami:

Należenie elementu do zbioru: xA - x jest elementem zbioru A, x należy do A

A  B = x: xA  xB; x A  B  xA  xB

A  B = x: xA  xB; x A  B  xA  xB

A  B = x: xA  xB; x A  B  x A  xB







V = x: x = x; xV  x = x

 = x: x  x; x  x  x

x (x)  x (x  x)

x (x) - żaden przedmiot nie jest elementem zbioru pustego
A’ - dopełnienie zbioru A; dopełnieniem zbioru A jest zbiór tych i tylko przedmiotów, które nie są elementami zbioru A

A’ = x: xA; xA’  xA

xA’  xV  xA  xV  A

Zbiory A i B są różne wtedy i tylko wtedy, gdy nie są równe (identyczne).

Zbiór A zawiera się w zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B: A  B  x (xA  xB)

Właściwości zawierania się zbiorów: A  B  x (xA  xB)
A B – inkluzja właściwa; zbiór A jest podzbiorem właściwym zbioru B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B, ale istnieje taki element zbioru B, który nie jest elementem zbioru A.

A B  A  B  A B

Zbiory A i B są rozłączne wtedy i tylko wtedy, gdy nie mają elementów wspólnych.

Krzyżowanie się zbiorów A i B: A _

A _ B   [(A  B    AB    BA  ]

Dopełnienie dopełnienia zbioru A jest identyczne ze zbiorem A

Dowód:

a) x(A’)’  xA’ - na podstawie definicji dopełnienia zbioru

c) xA’  (xA) - na podstawie definicji dopełnienia zbioru

d) (xA)  xA - na podstawie prawa podwójnej negacji

e) x(A’)’  xA - na podstawie prawa przechodniości równoważności

Zbiór A zawiera się w zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy dopełnienie zbioru B zawiera się w dopełnieniu zbioru A.

Dowód na podstawie: definicji zawierania się zbiorów, prawa transpozycji prostej i definicji dopełnienia zbioru.
3) A = B  A’ = B’

Zbiory są identyczne wtedy i tylko wtedy, gdy ich dopełnienia są identyczne.

Zbiór A jest dopełnieniem zbioru B wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór B jest dopełnieniem zbioru A.

Dopełnienie sumy dwóch zbiorów jest równe iloczynowi dopełnień tych zbiorów.

Dopełnienie iloczynu dwóch zbiorów jest równe sumie dopełnień tych zbiorów.

Dowolny zbiór jest zawarty w zbiorze uniwersalnym.

Iloczyn dowolnego zbioru A i zbioru uniwersalnego jest równy zbiorowi A.

Zbiór uniwersalny odgrywa w teorii mnogości przy mnożeniu zbiorów rolę analogiczną do liczby 1 przy mnożeniu liczb, gdzie a 1 = a.
10)   A

Zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru.

Suma dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równa zbiorowi A.

Zbiór pusty odgrywa przy dodawaniu zbiorów rolę analogiczną do liczby 0 przy dodawaniu liczb, gdzie a + 0 = a.
12) V’ = 

Dopełnieniem zbioru uniwersalnego jest zbiór pusty.

Dopełnieniem zbioru pustego jest zbiór uniwersalny.

A  B’  A  B = V

x  A, y  B, z  C, u  D

1) ( x, y =  z, u)  (x = z  y = u)

Pary uporządkowane są identyczne wtedy i tylko wtedy, gdy ich pierwsze elementy są ze sobą identyczne i ich drugie elementy są ze sobą identyczne.
2)  y, x    x, y , zachodzi bowiem x, x, y  y, y, x
3) ( x, y    z, u )  (x  z  y  u)

Dwie pary uporządkowane są różne wtedy i tylko wtedy, gdy ich pierwsze elementy są od siebie różne lub ich drugie elementy są od siebie różne.

- układ uporządkowany o n-elementach:  x₁, x₂, … , x_n > : x_i  X_i

A x B - iloczyn kartezjański zbiorów A i B to zbiór wszystkich par

uporządkowanych: x, y, gdzie x  A, y  B
A x B = x, y: xA, yB

Jeśli A = B, piszemy: A² = A x A, ogólnie: Aⁿ = A x A x … x A (n razy)

R – zbiór liczb rzeczywistych

R ² = R x R

R ³ = R x R x R,

2) R ³ = R x R x R – przestrzeń 3-wymiarowa:  x, y, z : x, y, z R

3) R ⁴ = R x R x R x R – przestrzeń euklidesowa 4-wym.: x, y, z, v : x, y, z, v  R



Rys. Iloczyn kartezjański zbiorów A i B

Właściwości iloczynu kartezjańskiego zbiorów

1) (A  B) x C = (A x C)  (B x C)

f - funkcja (matematyczna); f: X  Y, y x y = f (x)

Funkcja f jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego dziedziny i przeciwdziedziny (X x Y):

f  X x Y, gdzie X x Y =  x, f (x) : xX  f(x)Y

f = x, f (x)

1 – V (zbiór uniwersalny)

0 –  (zbiór pusty)
Algebrą Boole'a zbiorów jest aksjomatyczny system teorii mnogości, zbudowany w oparciu o następujące aksjomaty:
l) A _ B _
2) A _ B _
3) A _ (B _
4) A _ (B _
5) A _ (B _)
6) A _ (B _{ })
7) A _ 0 _
8) A _ 1 _
9) A _ A’ _
10) A _ A’_
Na podstawie aksjomatów 1-10 można, stosując reguły dowodowe (pod­stawiania i zastępowania) udowodnić każde prawo teorii mnogości.

Na podstawie tych aksjomatów można też wprowadzić, za pomocą odpowiednich definicji dalsze działania nazw zbiorach oraz relacje między zbiorami, np.