X wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów

X Wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów

Etap I – szkolny

Matematyka to „sztuka poprawnego rozumowania”.

Odpowiedź do każdego zadania należy uzasadnić, nie wystarczy odpowiedzieć tak lub nie.

W ciągu ostatniego tygodnia waga małej foczki wzrosła o 4%, a słoniątka o 4 kg. Skutkiem tego średnia waga obu zwierząt wzrosła o 3 kg, czyli o 2%. Ile waży obecnie słoniątko?

Ustaw w kolejności malejącej liczby: 3⁴² ; 4³⁵ ; 5²⁸ ; 6²¹ ; 7¹⁴

Liczbę 485 można zapisać w siódemkowym systemie pozycyjnym jako 1262₍₇₎

według następującej zasady:

485₍₁₀₎ = 1262₍₇₎ = 1 ^. 7³ + 2 ^. 7² + 6 ^. 7¹ + 2 ^. 7⁰

Podaj wartość poniższej sumy w trójkowym systemie pozycyjnym

112410₍₅₎ + 2131₍₄₎.

Dwa okręgi o promieniach 5 cm i 12 cm są wewnętrznie styczne. Prosta przechodząca przez punkt styczności wyznacza w każdym z okręgów cięciwę. Jedna z tych cięciw ma długość 8 cm. Jaką długość ma druga cięciwa?

W trójkącie prostokątnym ABC na przedłużeniu przeciwprostokątnej AB odłożono odcinki

Trapez prostokątny ma pole równe 96 cm². Krótsza przekątna dzieli go na dwa trójkąty równoramienne. Jaką długość ma dłuższa przekątna?

W ciągu ostatniego tygodnia waga małej foczki wzrosła o 4%, a słoniątka o 4 kg. Skutkiem tego średnia waga obu zwierząt wzrosła o 3 kg, czyli o 2%. Ile waży obecnie słoniątko?

Średnia waga zwierząt wzrosła o 3 kilogramy, zatem waga obu zwierząt wzrosła o 6 kilogramów.

6 – 4 = 2 Foczka przybrała na wadze 2 kilogramy.

4% ^. x = 2  x = 50 Foczka ważyła 50 kilogramów.

Ustaw w kolejności malejącej liczby: 3⁴² ; 4³⁵ ; 5²⁸ ; 6²¹ ; 7¹⁴

3⁴² = (3⁶)⁷ = 729⁷

4³⁵ = (4⁵)⁷ = 1024⁷

5²⁸ = (5⁴)⁷ = 625⁷

6²¹ = (6³)⁷ = 216⁷

7¹⁴ = (7²)⁷ = 49⁷

3⁶ = 3^{3 .} 3³ = 27 ^. 27 = 729

4⁵ = 4^{2 .} 4³ = 16 ^. 64 = 1024

Liczbę 485 można zapisać w siódemkowym systemie pozycyjnym jako 1262₍₇₎

według następującej zasady: 485₍₁₀₎ = 1262₍₇₎ = 1 ^. 7³ + 2 ^. 7² + 6 ^. 7¹ + 2 ^. 7⁰

Podaj wartość poniższej sumy w trójkowym systemie pozycyjnym

112410₍₅₎ + 2131₍₄₎.

Rozwiązanie:

112410₍₅₎ = 1 ^. 5⁵ + 1 ^. 5⁴ + 2 ^. 5³ + 4 ^. 5² + 1 ^. 5¹ + 0 ^. 5⁰ = 3125 + 625 + 250 + 100 + 5 + 0 = 4 105

2131₍₄₎ = 2 ^. 4³ + 1 ^. 4² + 3 ^. 4¹ + 1 ^. 4⁰ = 128 + 16 + 12 + 1 = 157

4 105 + 157 = 4 262

4262 : 3 = 1420 reszta = 2

1420 : 3 = 473 reszta = 1

473 : 3 = 157 reszta = 2

157 : 3 = 52 reszta = 1

52 : 3 = 17 reszta = 1

17 : 3 = 5 reszta = 2

5 : 3 = 1 reszta = 2

1 : 3 = 0 reszta = 1

12211212₍₃₎ = 1 ^. 3⁷ + 2 ^. 3⁶ + 2 ^. 3⁵ + 1 ^. 3⁴ + 1 ^. 3³ + 2 ^. 3² + 1 ^. 3¹ + 2 ^. 3⁰

Odpowiedź: 112410₍₅₎ + 2131₍₄₎ = 12211212₍₃₎.

Zadanie 4

Dwa okręgi o promieniach 5 cm i 12 cm są wewnętrznie styczne. Prosta przechodząca przez punkt styczności wyznacza w każdym z okręgów cięciwę. Jedna z tych cięciw ma długość 8 cm. Jaką długość ma druga cięciwa?

Trójkąty ABC i AEF są równoramienne i podobne, bo mają równe kąty.

Z podobieństwa trójkątów otrzymujemy proporcję

x = AE – długość drugiej cięciwy, AB = 8

a stąd x = 19,2

drugi przypadek:

x = AB - długość drugiej cięciwy, AE=8
a stąd
Odpowiedź: Dłuższa cięciwa ma długość 19,2 cm lub 3,(3) cm.

Zadanie 5

W trójkącie prostokątnym ABC na przedłużeniu przeciwprostokątnej AB odłożono odcinki

Trójkąty DAC i CBE są równoramienne, stąd

Trapez prostokątny ma pole równe 96 cm². Krótsza przekątna dzieli go na dwa trójkąty równoramienne. Jaką długość ma dłuższa przekątna?

Oba trójkąty, na które krótsza przekątna BD podzieliła trapez są równoramienne. W trójkącie BCD wysokość a podzieliła podstawę na dwie części równe a, zatem trójkąt BCD jest prostokątny.

Pole trapezu jest równe

Dłuższą przekątną trapezu p obliczamy z twierdzenia Pitagorasa

.